Prova di Modelli Statistici per l\'economia e la finanza 2019 PDF

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Anno accademico 2018/12 aprile 2019Prova intermedia di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)1) Nel seguente modello di regressione:yi xi' , 1,2, ..., β i i Ndove le osservazioni sono relative ad un campione di unità statistiche estratte casualmente, si usano gliOLS per stimare ...

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Anno accademico 2018/19 12 aprile 2019 Prova intermedia di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Nel seguente modello di regressione:

y i  x i ' β   i , i  1, 2, ..., N dove le osservazioni sono relative ad un campione di unità statistiche estratte casualmente, si usano gli OLS per stimare il vettore di parametri β . Discutere le proprietà dello stesso stimatore in campioni finiti dopo aver stabilito le ipotesi necessarie. Nel caso di correlazione fra alcune delle variabili esplicative e l’errore, definire lo stimatore consistente dei parametri.

2) Si è stimata, mediante gli OLS, una funzione di costo generalizzata di tipo Cobb-Douglas su un campione di 158 imprese statunitensi di un determinato settore in un dato anno: Dependent Variable: LOG(COST) Method: Least Squares Included observations: 158 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C LOG(Q) (LOG(Q))^2 LOG(PL) LOG(PK) LOG(PF)

-6.738661 0.402981 0.030440 0.146085 0.157079 0.684705

0.800648 0.051938 0.003252 0.081338 0.058064 0.048685

-8.416507 7.758912 9.361578 1.796035 2.705258 14.06393

0.0000 0.0000 0.0000 0.0745 0.0076 0.0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid

0.992227 0.991971 0.138237 2.904618

Mean dependent var F-statistic Prob(F-statistic) Durbin-Watson stat

3.071619 3880.407 0.000000 1.798041

dove COST, Q, PL, PK e PF misurano, rispettivamente, i costi totali in milioni di dollari, la produzione totale, il prezzo del lavoro, il prezzo del capitale e il prezzo di un fattore importante. Scrivere il modello parametrico sottostante e, dopo aver spiegato perché vengono calcolati gli standard error di White, verificare la significatività dei singoli parametri e spiegare gli effetti attesi stimati delle variabili esplicative. L’ipotesi di omogeneità di grado 1 nei prezzi degli input impone che la somma dei coefficienti delle variabili di prezzo sia pari ad 1. Spiegare come verifichereste questa ipotesi mediante un test F.

3) Le 344 osservazioni mensili, da luglio 1990 a febbraio 2019, sugli extrarendimenti, BHBM, di un portafoglio azionario costruito considerando i titoli azionari nel top 90% della capitalizzazione del mercato statunitense e con un alto rapporto tra valore di mercato e valore contabile, sono stati regrediti sugli extrarendimenti (dell’approssimazione) del portafoglio di mercato, RMRF, e sugli extrarendimenti di quattro portafogli fattoriali, SMB (Small Minus Big), HML (High Minus Low), RMW (Robust Minus Weak) e CMA (Conservative Minus Aggressive). Inoltre, nella specificazione è stato considerato l’effetto CRISIS, rappresentato da una variabile binaria che assume il valore 1 da ottobre 2008 a dicembre 2014. Usando gli OLS si sono ottenuti i seguenti risultati:

Dependent Variable: BHBM

Method: Least Squares Sample: 1990M07 2019M02 Included observations: 344 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C RMRF SMB HML RMW CMA CRISIS CRISIS*RMRF CRISIS*SMB CRISIS*HML CRISIS*RMW CRISIS*CMA

-0.168787 1.140555 -0.162452 0.794305 -0.094310 -0.179405 -0.094219 -0.017193 0.013838 0.052352 -0.410988 -0.164844

0.097817 0.028471 0.035524 0.047646 0.045350 0.058775 0.216944 0.056118 0.102220 0.122640 0.145908 0.163974

-1.725527 40.06023 -4.573003 16.67094 -2.079604 -3.052399 -0.434301 -0.306374 0.135377 0.426875 -2.816765 -1.005305

0.0854 0.0000 0.0000 0.0000 0.0383 0.0025 0.6644 0.7595 0.8924 0.6697 0.0051 0.3155

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid

0.916874 0.914120 1.526081 773.2025

Mean dependent var F-statistic Prob(F-statistic) Durbin-Watson stat

0.571773 332.9022 0.000000 1.689621

Scrivere il modello parametrico sottostante, spiegare gli effetti attesi delle diverse variabili esplicative e le differenze negli stessi effetti nei mesi della crisi finanziaria. Sono significative queste differenze singolarmente? Come ne verifichereste la significatività congiunta? Si verifichi l’ipotesi che, al di fuori della crisi, il portafoglio considerato sia più rischioso del portafoglio di mercato.

4) Nel modello specificato e stimato nella terza domanda c’è evidenza di autocorrelazione dell’errore? Come procedereste per verificare l’ipotesi di assenza di autocorrelazione nel caso in cui non si possa assumere indipendenza fra errore e variabili esplicative? Sapendo che l’applicazione del test di Breush-Godfrey ha portato ai seguenti risultati: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: Obs*R-squared

8.496724 Prob. Chi-Square(1)

0.0036

come li interpretereste? Quali sono, di conseguenza, le proprietà delle stime riportate nella terza domanda? Quale stimatore dei parametri incogniti preferireste?

Domanda Matlab a) Si considerino le seguenti variabili le cui osservazioni mensili vanno dal gennaio 1960 al dicembre 2002:

  

RCON: rendimento in eccesso per l’industria dell’edilizia RMRF: rendimento in eccesso del portafoglio di mercato JANDUM: variabile dummy, JANDUM=1 per il mese di gennaio

Si descrivano i seguenti comandi Matlab: table=table(RMRF,RCON); estimation=fitlm(table,'RCON~RMRF','Intercept',true) beta=estimation.Coefficients.Estimate b) Dato il modello stimato al punto precedente, come si può procedere per verificare la presenza di un effetto gennaio? Illustrare i comandi Matlab e indicare quali voci dell’output si possono controllare per rispondere alla precedente domanda.

Anno accademico 2018/19

31 maggio 2019 Prova parziale finale di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Si definisca cosa si intende per processo stocastico integrato di ordine uno e di ordine due, cioè I(1) e I(2). Come si può rendere stazionario un processo integrato e come si comporta un processo I(1) rispetto ad un processo stazionario, cioè I(0)? Cosa implica, in termini di vincoli sui parametri del modello AR(1), la presenza sia di un trend deterministico che di un trend stocastico in una serie osservata? Come si può verificare se una serie osservata è I(1) in un modello AR(1) e, in generale, in un modello AR(p)?

2) Si consideri un processo MA(q) e si spieghi sotto quali condizioni è stazionario in covarianza, o in senso debole. Si stabiliscano, quindi, le condizioni perché il processo MA(q) possa essere trasformato e interpretato come un AR(∞). Nel caso particolare di un MA(3), si calcoli la media non condizionata, la varianza non condizionata e la funzione di autocovarianza. Si calcoli, quindi, la previsione dinamica in T+h e la sua precisione.

3) Avendo ottenuto i seguenti valori delle autocorrelazioni campionarie, delle autocorrelazioni parziali campionarie e del test QK da una serie storica di 6400 osservazioni generata da un processo stocastico ARMA(p,q), spiegare come utilizzereste questi risultati e come procedereste all’identificazione di un primo modello da stimare. Come proseguireste l’analisi per giungere al modello parsimonioso che meglio si adatta ai dati?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

AC

PAC

0.639 0.072 -0.159 -0.137 -0.052 0.005 0.024 0.021 0.011 0.002 -0.008 -0.022 -0.031 -0.029 -0.018 0.000 0.014 0.014 0.004 -0.005 -0.012 -0.010 0.005 0.016

0.639 -0.567 0.326 -0.255 0.180 -0.135 0.112 -0.083 0.068 -0.052 0.021 -0.041 0.013 -0.030 0.020 -0.006 0.009 -0.011 0.009 -0.014 -0.002 0.009 0.011 -0.010

Q-Stat 2613.3 2646.9 2809.3 2929.2 2946.5 2946.6 2950.2 2953.1 2953.9 2953.9 2954.4 2957.6 2963.7 2969.2 2971.3 2971.3 2972.7 2973.9 2973.9 2974.1 2975.1 2975.8 2975.9 2977.5

Prob 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello AR(1) con trend lineare per la media condizionata della serie storica mensile dei rendimenti obbligazionari a 10 anni per gli Stati Uniti

e di un modello GARCH(1,1) per la varianza condizionata delle innovazioni della stessa serie storica: Dependent Variable: GS10 Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Sample (adjusted): 1982M02 2018M05 Included observations: 436 after adjustments Convergence achieved after 29 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*GARCH(-1) Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

C AR(1) TREND

9.827373 0.964533 -0.018552

0.848002 0.009712 0.003343

11.58886 99.31670 -5.550228

0.0000 0.0000 0.0000

3.766029 4.021529 2.375031

0.0002 0.0001 0.0175

Variance Equation C RESID(-1)^2 GARCH(-1)

0.027826 0.261385 0.332610

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

0.992201 0.992165 0.261142 29.52842 -14.09795

Inverted AR Roots

.96

0.007389 0.064996 0.140045

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

5.800917 2.950152 0.092192 0.148307 0.114338 1.337751

Si discutano i risultati della stima del modello per la media condizionata e si spieghi la ragione per cui si è modellata la varianza condizionata. Si presenti il modello GARCH(1,1) e si spieghi perché è stato scelto questo modello piuttosto che un modello ARCH(p). Il modello GARCH(1,1) stimato presenta una volatilità persistente (si motivi la risposta)?

Domanda Matlab a) Si consideri la seguente analisi basata sulla serie storica del prezzo medio mensile dell’azione ENEL (PEnel) dal gennaio 2001 al dicembre 2018: dLogEnel=price2ret(PEnel); [h,pValue]=adftest(dLogEnel,'model','ARD','Lags',0:12) ARMA=arima(4,0,2); modello_arma=estimate(ARMA,dLogEnel) Si descrivano i comandi utilizzati: price2ret, adftest, arima ed estimate. b) Come si svolge il test di Ljung-Box sui residui del modello stimato al punto precedente? Si illustrino i comandi Matlab per ottenere i residui e svolgere il test (non è richiesto il commento).

Anno accademico 2018/19 31 maggio 2019 Prova finale di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Si è stimato un modello che spiega come la crescita economica dei paesi possa essere determinata dalle banche e dai mercati azionari (Beck e Levine, 2004). Si considera un insieme di 40 paesi per i quali si dispone delle medie delle osservazioni annuali nel periodo fra il 1976 e il 1998. La crescita economica è misurata dalla media delle variazioni percentuali del GDP. Per valutare quanto è sviluppato il sistema bancario, si usa il bank credit diviso per il GDP, calcolato come media dei valori percentuali. Per valutare quanto è sviluppato il mercato azionario si usa il turnover ratio (TOR) della liquidità di mercato, calcolato come media dei valori percentuali. Nel modello START misura il GDP pro capite reale iniziale come variabile di controllo per la convergenza fra paesi, e SCHOOL gli anni medi di istruzione, come misura del capitale umano. Queste ultime sono variabili di controllo. Usando gli OLS con gli standard error di White si sono ottenuti i seguenti risultati: Dependent Variable: GROWTH Method: Least Squares Date: 30/05/19 Time: 12:04 Sample: 1 40 Included observations: 40 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

C LOG(START) SCHOOL LOG(bankcredit/GDP) LOG(TOR)

0.521857 -0.808594 0.065057 1.470768 0.798994

1.573141 0.256161 0.120660 0.366170 0.339735

0.331729 -3.156582 0.539177 4.016620 2.351820

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

0.535050 0.481913 1.168433 47.78325 -60.31346 10.06923 0.000016

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

Prob. 0.7421 0.0033 0.5932 0.0003 0.0244 2.077840 1.623314 3.265673 3.476783 3.342003 1.652975

Quali variabili mostrano effetti significativi sulla crescita del paese? Come interpretereste gli effetti della variabile bankcredit/GDP e della variabile TOR sulla crescita? Come spieghereste il segno negativo di START? Che informazione fornisce la F-statistic? Se volessimo dividere i paesi fra quelli appartenenti all’unione europea e quelli non-europei, per capire se gli effetti delle banche e dei mercati azionari siano diversi, come ri-specifichereste il modello e come verifichereste l’ipotesi?

2) Spiegare cosa si intende per stimatore BLU del vettore  dei parametri di un modello di regressione lineare. Nel caso particolare di errori che si sospetta siano caratterizzati da una matrice diagonale di varianze e covarianze condizionate, ma con valori diversi tra loro, come verifichereste questa ipotesi? Quali sarebbero le proprietà dello stimatore OLS in questo caso? Quale procedura di stima adottereste per avere stime BLU dei parametri?

3) Si consideri un processo MA(q) e si spieghi sotto quali condizioni è stazionario in covarianza, o in senso debole. Si stabiliscano, quindi, le condizioni perché il processo MA(q) possa essere trasformato e interpretato come un AR(∞). Nel caso particolare di un MA(3), si calcoli la media non condizionata, la varianza non condizionata e la funzione di autocovarianza. Si calcoli, quindi, la previsione dinamica in T+h e la sua precisione.

4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello AR(1) con trend lineare per la media condizionata della serie storica mensile dei rendimenti obbligazionari a 10 anni per gli Stati Uniti e di un modello GARCH(1,1) per la varianza condizionata delle innovazioni della stessa serie storica: Dependent Variable: GS10 Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 30/05/19 Time: 18:51 Sample (adjusted): 1982M02 2018M05 Included observations: 436 after adjustments Convergence achieved after 29 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*GARCH(-1) Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

C AR(1) TREND

9.827373 0.964533 -0.018552

0.848002 0.009712 0.003343

11.58886 99.31670 -5.550228

0.0000 0.0000 0.0000

3.766029 4.021529 2.375031

0.0002 0.0001 0.0175

Prob.

Variance Equation C RESID(-1)^2 GARCH(-1)

0.027826 0.261385 0.332610

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

0.992201 0.992165 0.261142 29.52842 -14.09795

Inverted AR Roots

.96

0.007389 0.064996 0.140045

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

5.800917 2.950152 0.092192 0.148307 0.114338 1.337751

Si discutano i risultati della stima del modello per la media condizionata e si spieghi la ragione per cui si è modellata la varianza condizionata. Si presenti il modello GARCH(1,1) e si spieghi perché è stato scelto questo modello piuttosto che un modello ARCH(p). Il modello GARCH(1,1) stimato presenta una volatilità persistente (si motivi la risposta)? Domanda Matlab a) Si consideri la seguente analisi basata sulla serie storica del prezzo medio mensile dell’azione ENEL (PEnel) dal gennaio 2001 al dicembre 2018: dLogEnel=price2ret(PEnel); [h,pValue]=adftest(dLogEnel,'model','ARD','Lags',0:12) ARMA=arima(4,0,2); modello_arma=estimate(ARMA,dLogEnel) Si descrivano i comandi utilizzati: price2ret, adftest, arima ed estimate. b) Come si svolge il test di Ljung-Box sui residui del modello stimato al punto precedente? Si illustrino i comandi Matlab per ottenere i residui e svolgere il test (non è richiesto il commento). l test (non è richiesto il commento).

Anno accademico 2018/19 20 giugno 2019 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Le osservazioni mensili, da gennaio 1960 a dicembre 2014, sugli extrarendimenti, R10, di un portafoglio azionario, costruito considerando il 10% di società ad alta capitalizzazione, quotate al NYSE, sono stati regrediti sugli extrarendimenti (dell’approssimazione) del portafoglio di mercato, RMRF, e sugli extrarendimenti di due portafogli fattoriali, SMB e HML, dove SMB misura la differenza fra il rendimento di un portafoglio di azioni a bassa capitalizzazione ed uno di azioni ad alta capitalizzazione e HML misura la differenza fra il rendimento di un portafoglio di azioni value ed uno di azioni growth. Inoltre, nella specificazione sono stati considerati gli effetti gennaio, variabile binaria JAN, e dicembre, variabile binaria DEC. Assumendo valide le ipotesi classiche e usando gli OLS si sono ottenuti i seguenti risultati (standard errors di Newey-West): Dependent Variable: R10 Method: Least Squares Included observations: 612 Newey-West HAC Standard Errors & Covariance (lag truncation=5) Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

C RMRF SMB HML JAN JAN*RMRF DEC DEC*RMRF

0.040312 0.970070 -0.293587 -0.074999 0.185487 0.035697 -0.167582 0.026731

0.025775 0.008525 0.009694 0.010038 0.094885 0.018297 0.078936 0.019266

1.563958 113.7945 -30.28673 -7.471757 1.954859 1.950949 -2.123020 1.387457

R-squared Adjusted R-squared Sum squared resid Log likelihood F-statistic

0.985250 0.985079 166.8628 -470.7249 5763.648

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Prob(F-statistic)

Prob. 0.1184 0.0000 0.0000 0.0000 0.0511 0.0515 0.0342 0.1658 0.382124 4.302938 1.564460 1.622195 0.000000

Scrivere il modello parametrico sottostante con le relative ipotesi, spiegare gli effetti stimati delle diverse variabili esplicative e come vanno interpretati, e, in particolare, gli effetti gennaio e dicembre. Si verifichi l’ipotesi che il portafoglio azionario considerato sia meno rischioso del portafoglio di mercato. Come verifichereste la stessa ipotesi nei mesi di gennaio e poi nei mesi di dicembre?

2) Sapendo che il test LM di Breusch-Godfrey, calcolato sui residui della prima domanda, per verificare l’autocorrelazione del primo ordine degli errori, è risultato pari a 5.513, spiegare come è stata condotta la verifica e come deve essere interpretato questo risultato e, inoltre, spiegare perché nella prima domanda sono stati calcolati gli standard errors di Newey-West. Quali proprietà soddisfano le stime della prima domanda?

3) Si consideri un processo stocastico ARMA(p, q) come generatore della serie storica osservata, si stabiliscano le condizioni perché sia stazionario e invertibile. Nel caso particolare di un ARMA(1,1), calcolare la sua media non condizionata e spiegare quale sarà il comportamento delle

funzioni di autocorrelazione ρk e di autocorrelazione parziale θkk. Per lo stesso ARMA(1,1), si calcolino le previsioni in T+1, T+2 e T+h.

4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello MA(1) per la media condizionata della serie storica giornaliera dei rendimenti dell’indice S&P500 per il periodo dal 2 gennaio 1963 all’1 maggio 2019, e di un modello GARCH(1,1) per la varianza condizionata delle innovazioni della stessa serie storica: Dependent Variable: SP500_RET Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Included observat...