Lezione 4: Modelli statistici per l\'economia e per la finanza PDF

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Summary

Proprietà statistiche dello stimatore OLS(in campioni finiti) L’ipotesi (A2) può essere in parte indebolita: E(εi | xi ) = E(εi) = 0, che implica E( yi | xi ) = xi’β. e anche le ipotesi (A3) e (A4): Var(εi | xi ) = Var(εi) = σ 2 Cov(εi, εj | xi , xj ) = 0 Lo stimatore OLS: b = (X’X)-1X’y = (X’X)-1X’...

Description

Proprietà statistiche dello stimatore OLS (in campioni finiti) L’ipotesi (A2) può essere in parte indebolita: E(εi | xi ) = E(εi) = 0, che implica E( yi | xi ) = xi’β. e anche le ipotesi (A3) e (A4): Var(εi | xi ) = Var(εi) = σ2 Cov(εi, εj | xi , xj ) = 0 Lo stimatore OLS: b = (X’X)-1X’y = (X’X)-1X’(X β + ε) = β + (X’X)-1X’ε sotto l’ipotesi E(ε | X ) = 0 (A2 indebolita – esogeneità delle variabili esplicative): 1. è condizionatamente e incondinazionatamene corretto (unbiased), cioè E(b | X) = β + E[(X’X)-1X’ε | X] = β E(b) = EX[ E(b | X)] = EX[ β] = β

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sotto le ipotesi (A2 indebolita) e Var(ε | X ) = σ2IN (A3 e A4 indebolite): 2. ha una varianza condizionata data da Var(b | X) = E[(b - β)(b - β)’ | X] = E[(X’X)-1X’εε’X(X’X)-1 | X] = (X’X)-1X’ E[εε’| X] X(X’X)-1 = (X’X)-1X’ σ2IN X(X’X)-1 = σ2(X’X)-1 (2.32) oppure σ2( Σi xi xi’ )-1 (2.33) Teorema di Gauss-Markov: Lo stimatore OLS è BLUE (best linear unbiased estimator): è il migliore stimatore lineare e corretto per il vettore β di parametri incogniti migliore:

Var[b | X] < Var[b0 | X] per b ≠ b0

stimatore migliore ≡ stimatore efficiente

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Riassumendo: Lo stimatore OLS: b = (X’X)-1X’y sotto l’ipotesi (A2 indebolita): 1. è condizionatamente e incondizionatamente corretto E(b | X) = β E(b) = EX[ E(b | X)] = EX[ β] = β e, sotto le ipotesi (A2), (A3) e (A4) indebolite: 2. ha una varianza condizionata data da Var(b | X) = E[(b - β)(b - β)’ | X] = σ2(X’X)-1 La varianza incondizionata sarebbe pari a: Var(b) = EX[ Var(b | X)] + VarX[ E(b | X)] = σ2 EX [ (X’X)-1] che è un’espressione complessa da calcolare che richiede ulteriori assunzioni.

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Stimatore della varianza σ2 Lo stimatore della varianza omoschedastica del termine d’errore è la varianza campionaria dei residui. Ma, poiché i K parametri sono stimati in modo da minimizzare la somma dei quadrati dei residui, perché lo stimatore sia corretto, si deve usare una correzione per i gradi di libertà: s2 = (N-K) -1 Σi ei2

(2.35)

Sotto le ipotesi (A2)-(A4) indebolite, s2 è uno stimatore condizionatamente e incondizionatamente corretto di σ2. La stima della varianza condizionata di b è data da: Var[b | X] = s2(X’X)-1 = s2( Σi xi xi’ )-1 (2.36) La radice quadrata del k-esimo elemento sulla diagonale principale è lo standard error di bk, o se(bk).

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Una conveniente quinta ipotesi è che tutti i termini d’errore siano estrazioni indipendenti da una distribuzione normale, di media nulla e varianza omoschedastica σ2 : (A5’): εi ~ NID(0, σ2) (“normally and independently distributed”) (A5):

ε ~ N(0, σ2 IN )

L’ipotesi (A5) sostituisce le ipotesi (A1)+(A3)+(A4). In termini di distribuzione condizionata dei termini d’errore sarà: ε | X ~ N(0, σ2 IN ) e quindi,

y | X ~ N(X β, σ2 IN )

Lo stimatore OLS b è caratterizzato da una distribuzione condizionata normale con media β e matrice di varianzecovarianze Var[b | X] = σ2( X’X )-1.

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Normalità e omoschedasticità

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Normalità e eteroschedasticità

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Esempio: il salario orario individuale Consideriamo un campione casuale di N=3294 lavoratori (1569 femmine). Disponiamo delle osservazioni su salari orari, genere, esperienza lavorativa ed anni di istruzione. Nel modello considerato vogliamo capire come il genere spiega il salario orario. Il genere è misurato attraverso la variabile binaria male (= 1 se maschio, 0 se femmina). Modello: wagei = β1 + β2 malei + εi L’interpretazione è: il salario orario atteso di un lavoratore, dato il genere, è β1 + β2 malei . Cioè, il salario orario atteso condizionato di un qualsiasi lavoratore è β1 + β2, di una qualsiasi lavoratrice è β1. 8

Table 2.1 Stima OLS del modello per il salario orario

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Cosa implicano le ipotesi in questo esempio? (A1): soddisfatta se nel modello è presente la costante. (A2 indebolita): E(ε i | xi ) = 0, la conoscenza del genere dei lavoratori non è informativa circa i valori attesi dei termini d’errore (non osservabili) che determinano il salario individuale. (A3 indebolita) omoschedasticità, Var(ε i | xi ) = σ2 : la varianza condizionata è la stessa sia per i maschi che per le femmine. (A4 indebolita) no correlazione: Cov(εi, εj | xi , xj ) = 0, i ≠ j, è implicita, essendo il campione casuale. (A5) normalità: nessuna ragione perché εi sia normale. 10...