Lezione 2: modelli statistici per l\'economia e per la finanza PDF

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A Guide to ModernEconometricsCapitolo 2: Introduzione almodello di regressione lineareI minimi quadrati ordinariSupponiamo di voler approssimare una variabile y attraverso una combinazione lineare (2) di altre variabili, x 2 , ..., xK, e di una costante:1 + 2 x 2 +...+ KxK (2)I coefficienti di quest...

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A Guide to Modern Econometrics Capitolo 2: Introduzione al modello di regressione lineare

I minimi quadrati ordinari Supponiamo di voler approssimare una variabile y attraverso una combinazione lineare (2.1) di altre variabili, x2, …, xK, e di una costante: 1+

2x2+…+

KxK

(2.1)

I coefficienti di questa approssimazione possono essere determinati mediante i minimi quadrati ordinari (Ordinary Least Squares, OLS), una procedura che minimizza la somma dei quadrati delle differenze fra y e la combinazione lineare: min Σi ( yi - xi’ )2

(2.4)

Un’espressione analitica per la soluzione OLS può essere derivata:

b = ( Σi xi xi’ )-1 (Σi xi yi) (2.7) b = (X’X)-1 X’y (2.19)

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Figura 2.1 Modello di regressione lineare semplice: retta stimata e osservazioni

b1 = y -b2 x

b2 =

i (xi - x)(yi - y) 2  i (xi - x)

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Minimi quadrati ordinari Per costruzione, gli OLS forniscono la migliore approssimazione lineare di y ottenibile da x2, …, xK e da una costante. Comunque, senza ulteriori assunzioni, questa approssimazione ha un valore limitato: • i coefficienti non hanno un’interpretazione economica • non possiamo fare delle affermazioni statistiche su questi coefficienti • l’approssimazione è valida solo all’interno del campione • la relazione lineare non ha alcuna validità generale al di fuori dell’insieme di valori osservati (e.g. non può essere usata a scopi previsivi, o per unità non nel campione).

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Il modello di regressione lineare Assumiamo che esista una relazione lineare, del tipo (2.24), fra y e x1≡1 (costante), x2, …, xK, valida, in generale, per tutte le possibili osservazioni tratte da una popolazione ben definita. Specifichiamo la relazione come: yi = xi’β + εi (2.25) y=Xβ+ε

(2.26)

Questo è un modello statistico caratterizzato anche da un termine d’errore, εi, che rappresenta tutte le possibili variabili non esplicitamente incluse nel modello e i cui effetti sono difficilmente distinguibili. I coefficienti k, non noti, hanno un significato e misurano come cambia in media y se xk cambia (e tutte le altre variabili x rimangono invariate).

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