Prova di Modelli Statistici per l\'economia e la finanza 2017 PDF

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Anno accademico 2016/28 aprile 2017Prova intermedia di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)1) Un insieme di dati riguardanti 526 lavoratori è stato usato per stimare un modello dove si assumeche il salario orario in dollari, WAGE, sia funzione di un insieme di variabili esplicativ...

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Anno accademico 2016/17 28 aprile 2017 Prova intermedia di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Un insieme di dati riguardanti 526 lavoratori è stato usato per stimare un modello dove si assume che il salario orario in dollari, , sia funzione di un insieme di variabili esplicative: gli anni di istruzione del lavoratore, ; gli anni di esperienza lavorativa, ; gli anni di lavoro presso la stessa azienda, ; una variabile binaria, , uguale ad 1 per le lavoratrici, e una variabile binaria, , uguale ad 1 se il lavoratore/lavoratrice è sposato. Supponendo valide le ipotesi classiche e usando gli OLS su una specificazione log-lineare, si ottengono i seguenti risultati ( in parentesi):

 0 39 0.097 (0.10) (0.052)

0 29

0 084

0 003

(0 06)

(0.007)

(0 002)

0 016

2

0 424

(0.003)

Qual è l'effetto atteso stimato delle variabili binarie in termini di differenze salariali nei quattro sotto-campioni? Sono significativi questi effetti? Se si supponesse che per le lavoratrici ci fossero effetti diversi rispetto ai lavoratori, sulla variabile dipendente, del fatto di essere sposate, degli anni di istruzione, di esperienza lavorativa e di lavoro presso la stessa azienda, come cambierebbe la specificazione parametrica del modello da stimare? Come si verificherebbe l'ipotesi che questi ultimi effetti siano congiuntamente nulli nelle due sotto-popolazioni? Se il valore ottenuto dalla verifica di questa ipotesi è =3.96, che conclusione si può trarre?

2) Supponendo valide le ipotesi classiche, si è stimata, mediante gli OLS, una funzione di domanda di carburante su un campione di N=342 osservazioni, e si sono ottenuti i seguenti risultati ( rs in parentesi): 2  2 251 0 342 0 101 =0.132

(0 285) (0.048)

(0.045)

dove rappresenta la quantità domandata di carburante per automobile, il reddito disponibile pro-capite e il prezzo reale del carburante. Aggiungendo all’insieme delle variabili esplicative la variabile che rappresenta il numero di auto pro-capite, si sono ottenuti i seguenti risultati ( rs in parentesi):

 2 391 0 890

0 892

0 763

2

=0.854

(0 117) (0.036) (0.030) (0.019) Quale importante problema di specificazione evidenzia la seconda stima rispetto alla prima e in che modo lo si evidenzia? Quali sono le proprietà dello stimatore adottato nella stima della prima specificazione e nella stima della seconda?

3) Aggiungendo, all’insieme delle variabili esplicative del secondo modello stimato nella domanda 2), la variabile ( ) 2 e stimandolo mediante gli OLS, si sono ottenuti i seguenti risultati ( rs in parentesi):

 2 104 0 804 (0 127) (0.039)

0 987 (0.035)

0 070( (0.014)

)2 0 737

,

2

=0.865

(0.019)

Quali effetti marginali misurano i parametri del modello stimato e come potrebbe essere verificata l’ipotesi di elasticità unitaria (negativa) della quantità domandata di carburante rispetto al suo prezzo reale, contro l’ipotesi alternativa che sia inelastica? Se sospettaste che la varianza condizionata degli errori fosse eteroschedastica, come verifichereste questa ipotesi? 2 =109.67, come lo Sapendo che il test di White ha fornito il seguente risultato: interpretereste?

4) Spiegare come si ottiene lo stimatore BLU del vettore dei parametri di un modello di 2 ( | ) σ regressione lineare in cui e spiegare quale sarà la matrice P di trasformazione delle osservazioni nel caso particolare di autocorrelazione del primo ordine degli errori e quale sarà la procedura di stima degli stessi parametri e le proprietà delle stime ottenute.

Anno accademico 2016/17 6 giugno 2017 Prova finale di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Avendo ottenuto i seguenti risultati dal test di radice unitaria esteso di Dickey e Fuller, applicato alla serie storica trimestrale LY, che rappresenta la trasformata logaritmica del Prodotto Nazionale Lordo per gli Stati Uniti:

ed i seguenti risultati sulla stessa serie LY differenziata:

spiegare, utilizzando i relativi modelli, come sono stati ottenuti questi i risultati e le conclusioni che potete trarre da questi risultati in termini di variabile osservata. 2) Si consideri un processo AR( ), si stabiliscano le condizioni che devono essere soddisfatte perché sia stazionario e, nel caso particolare di un AR(2), si calcolino le sue funzioni di

autocovarianza e di autocorrelazione (equazioni di Yule-Walker). Quale funzione campionaria utilizzereste per identificare un processo AR( ), dato un campione di osservazioni storiche quale può essere una serie storica di rendimenti di un titolo azionario, e come procedereste per identificarlo? 3) Analizzando una serie storica di 6400 osservazioni generata da un processo stocastico stazionario, si sono ottenuti i seguenti valori per le funzioni di autocorrelazione e di autocorrelazione parziale campionarie. Si scelga il processo ARMA parsimonioso sottostante questi valori, motivandone la scelta. Sulle stesse autocorrelazioni è stata calcolata anche la funzione test K con il relativo : si spieghi come sono stati ottenuti questi valori e come la stessa funzione test potrebbe essere utilizzata come test diagnostico. Una volta identificato il modello per il processo, si spieghi come si possono calcolare le previsioni per lo stesso processo in T+ , e come si misura la loro precisione.

4) Il fenomeno del clustering della volatilità: spiegare il concetto di eteroschedasticità condizionale autoregressiva e come possa esserne verificata la presenza negli errori di un modello autoregressivo o in una regressione. Specificare il modello GARCH( , ) in generale e per un GARCH(1,1) spiegare la condizione di stazionarietà e mostrare come possa essere scritto come un ARCH di ordine infinito.

Anno accademico 2016/17 6 giugno 2017 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Un insieme di dati riguardanti 428 lavoratrici è stato usato per capire l’andamento dell’offerta di lavoro delle donne sposate negli USA in un determinato anno. Per ciascuna lavoratrice, si dispone delle osservazioni relative a: il guadagno annuale in dollari, ; gli anni di esperienza lavorativa, ; il reddito famigliare annuale complessivo in migliaia di dollari, ; l’età della lavoratrice, ; gli anni di istruzione del marito ; una variabile binaria, , uguale ad 1 se in famiglia vi sono bambini di età inferiore ai sei anni. Usando gli OLS, si stima un modello log-lineare, ottenendo i seguenti risultati ( di White in parentesi):

 7 86 0.117 (0.41) (0.023)

0 002 (0 0007)

2

0 036

0 031

0 033

0 515

(0.009)

(0 008)

(0.020)

(0.186)

2

0 274

Qual è l'effetto atteso stimato della presenza di bambini in età prescolare? Quali sono gli effetti attesi stimati delle altre variabili esplicative? Sono significativi questi effetti? A che età, per le donne sposate si annulla, nel nostro campione, l’effetto atteso degli anni di esperienza lavorativa? Nella stima sono riportati gli di White. Spiegare perché gli di White sono preferibili agli OLS e in che modo differiscono fra di loro. 2) Nel seguente modello di regressione semplice: ' β

,

1, 2, ...,

dove le osservazioni sono relative ad un campione di dati storici, spiegare la procedura per ottenere lo stimatore OLS del vettore di parametri β e spiegare sotto quali condizioni lo stimatore è corretto e sotto quali è solo consistente. Nel caso in cui gli errori fossero autocorrelati di ordine uno, come trasformereste il modello per avere stime almeno consistenti dei parametri? Queste ultime stime sono anche efficienti?

3) Analizzando una serie storica di 6400 osservazioni generata da un processo stocastico stazionario, si sono ottenuti i seguenti valori per le funzioni di autocorrelazione e di autocorrelazione parziale campionarie. Si scelga il processo ARMA parsimonioso sottostante questi valori, motivandone la scelta. Sulle stesse autocorrelazioni è stata calcolata anche la funzione test K con il relativo : si spieghi come sono stati ottenuti questi valori e come la stessa funzione test potrebbe essere utilizzata come test diagnostico. Una volta identificato il modello per il processo, si spieghi come si possono calcolare le previsioni per lo stesso processo in T+ , e come si misura la loro precisione.

4) Il fenomeno del clustering della volatilità: spiegare il concetto di eteroschedasticità condizionale autoregressiva e come possa esserne verificata la presenza negli errori di un modello autoregressivo o in una regressione. Specificare il modello GARCH( , ) in generale e per un GARCH(1,1) spiegare la condizione di stazionarietà e mostrare come possa essere scritto come un ARCH di ordine infinito.

Anno accademico 2016/17 22 giugno 2017 Prova finale di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Dato un processo stocastico AR(3), stabilire la condizione per la presenza di una radice unitaria, spiegare come ne verifichereste la presenza e quali implicazioni avrebbe, in termini di conclusioni inferenziali, se ipotizzaste che la funzione test si distribuisca come una variabile casuale di Student. Se doveste verificare l’ipotesi nulla che il parametro δ associato alla costante fosse nullo, come procedereste con la verifica? Quale sarà il processo stocastico stazionario nel caso di presenza di radice unitaria e quale sarà la sua funzione di autocorrelazione?

2) Si considerino i seguenti valori delle autocorrelazioni e delle autocorrelazioni parziali ottenuti analizzando la serie storica delle differenze prime dei tassi di interesse , per un totale di 2500 osservazioni:

Si disegnino entrambi i correlogrammi, si scelga il processo ARMA parsimonioso che può aver generato questi valori, usando e spiegando i criteri relativi alle funzioni di autocorrelazione campionaria e di autocorrelazione parziale campionaria utilizzati per la scelta e come si procede alla scelta definitiva del modello usando sia i criteri informativi che il controllo diagnostico.

3) Si consideri un processo stocastico ARMA( , ), si stabiliscano le condizioni perché sia stazionario e invertibile, si spieghi come si possano ottenere previsioni periodi in avanti e come si possa valutare la precisione delle previsioni. Nel caso particolare di un AR(1), calcolare la previsione in + e la precisione della stessa previsione.

4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello MA(1) e di un ARCH(9) su una serie storica formata da 1974 osservazioni giornaliere di rendimenti relativi a una serie storica di tassi di cambio:

utilizzando i modelli parametrici sottostanti, si descrivano le diverse fasi della procedura e come i risultati vanno interpretati. Quale modello potrebbe essere più parsimonioso di un ARCH(9) in questo contesto e perché?

Anno accademico 2016/17 22 giugno 2017 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174) 1) Mediante gli OLS e usando dati trimestrali per il periodo dal primo trimestre del 1995 al primo trimestre del 2012, si è stimata una funzione di consumo delle famiglie italiane e si sono ottenuti i seguenti risultati:

dove LRC rappresenta il logaritmo del consumo reale, LRYD il logaritmo del reddito reale disponibile e LRWEALTH il logaritmo della ricchezza reale delle famiglie. Sulla base delle ipotesi sottostanti le stime OLS e delle informazioni riportate nella tabella, quali proprietà soddisfano le stime ottenute e perché? Si può condurre dell’inferenza valida sui parametri di regressione? Come si deve procedere per condurre dell’inferenza valida date le stime OLS? 2) Lo stesso modello della domanda 1) è stato stimato aggiungendo una variabile binaria CRISIS che assume il valore 1 dal terzo trimestre del 2007 fino alla fine delle osservazioni, variabile che viene fatta interagire anche con le due variabili esplicative LRYD e LRWEALTH. La funzione test per verificare la significatività congiunta delle nuove variabili assume valore pari a 145.12. Quale ipotesi è stata formulata e quale funzione test è stata applicata, e come si interpreta il risultato? Nello stesso modello è stata poi aggiunta la variabile binaria EURO che assume il valore 1 dal primo trimestre 2002, quando è stato introdotto l’euro. La stima OLS del nuovo modello ha portato ai seguenti risultati:

Quali proprietà soddisfano le stime ottenute e come interpretereste gli effetti stimati delle variabili? Sono significativi?

3) Dato un processo stocastico AR(3), stabilire la condizione per la presenza di una radice unitaria, spiegare come ne verifichereste la presenza e quali implicazioni avrebbe, in termini di conclusioni inferenziali, se ipotizzaste che la funzione test si distribuisca come una variabile casuale di Student. Se doveste verificare l’ipotesi nulla che il parametro δ associato alla costante fosse nullo, come procedereste con la verifica? Quale sarà il processo stocastico stazionario nel caso di presenza di radice unitaria e quale sarà la sua funzione di autocorrelazione? 4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello MA(1) e di un ARCH(9) su una serie storica formata da 1974 osservazioni giornaliere di rendimenti relativi a una serie storica di tassi di cambio:

utilizzando i modelli parametrici sottostanti, si descrivano le diverse fasi della procedura e come i risultati vanno interpretati. Quale modello potrebbe essere più parsimonioso di un ARCH(9) in questo contesto e perché?

Anno accademico 2016/17 13 luglio 2017 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Supponendo valide le ipotesi classiche, si è stimata, mediante gli OLS, una funzione di domanda di benzina per gli Stati Uniti, usando dati annuali per il periodo 1953-2004, e si sono ottenuti i seguenti risultati:

dove GEXPPC rappresenta la spesa pro-capite in benzina, INCPC il reddito disponibile procapite, PGAS l’indice di prezzo per la benzina, PNC l’indice di prezzo per le auto nuove e PUC l’indice di prezzo per le auto usate. Scrivere il modello parametrico sottostante e spiegare gli effetti marginali delle diverse variabili esplicative sulla variabile dipendente, verificandone anche la significatività. Come si verifica l’ipotesi che la spesa in benzina abbia elasticità unitaria sia rispetto al reddito disponibile che rispetto al prezzo della benzina. Sulla base delle informazioni riportate nella tabella, le procedure inferenziali proposte e usate sono valide, o sono fuorvianti? Quali procedure inferenziali valide dovrebbero essere adottate pur usando gli OLS?

2) Spiegare come si ottiene lo stimatore BLU del vettore dei parametri di un modello di 2 regressione lineare in cui ( | ) σ e spiegare quale sarà la matrice P di trasformazione delle osservazioni nel caso particolare di autocorrelazione del primo ordine degli errori e quale sarà la procedura di stima degli stessi parametri e le proprietà delle stime ottenute.

3) Si considerino i seguenti valori delle autocorrelazioni e delle autocorrelazioni parziali ottenuti analizzando la serie storica delle differenze prime dei tassi di interesse , per un totale di 2500 osservazioni:

Si disegnino entrambi i correlogrammi, si scelga il processo ARMA parsimonioso che può aver generato questi valori, usando e spiegando i criteri relativi alle funzioni di autocorrelazione campionaria e di autocorrelazione parziale campionaria utilizzati per la scelta e come si procede alla scelta definitiva del modello usando sia i criteri informativi che il controllo diagnostico.

4) Spiegare il concetto di distribuzione condizionale e non condizionale dell’innovazione e come lo stesso concetto di distribuzione condizionale sia stato usato da Engle per introdurre il modello ARCH( ) per modellare la varianza condizionale di una serie storica stazionaria e come si può verificare la presenza di effetti ARCH. Mostrare, quindi, la relazione fra varianza condizionale e non condizionale, stabilire le condizioni sui parametri e spiegare come si formano le previsioni dinamiche nel caso di un ARCH( )....