Calcolo Vettoriale - esercizi con risoluzione su gradiente divergenza rotore PDF

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ccanica (

ESERCIZI DI CALCOLO VETTORIALE con applicazioni all’equazione di continuit` a e alla legge di Biot-Savart.

1

Gradiente

Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni: 1. f (x, y) = x2 + 2xy − xy 2 ; 2. f (x, y, z) = xy 2 + yz 3 − z 2 ; 2

3. f (x, y) = ye2x ; 4. f (x, y) = y 2 e−x ; x

5. f (x, y) = e y ; 6. f (x, y, z) = y sin z + x sin y ; p Con r = x2 + y 2 + z 2 , r = xux + yuy + zuz , calcolare il gradiente delle seguenti funzioni usando le coordinate rettangolari (x, y, z) e le coordinate sferiche (r, ϑ, φ) (per queste ultime usare l’espressione di ∇f riportata nella Sez. 8.2). 7. f (x, y, z) = ln (x2 + y 2 + z 2 ) ≡ ln r 2 ; p 8. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ≡ r; p 9. f (x, y, z) = ln( x2 + y 2 + z 2 ) ≡ ln r ; 1

10. f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )−2 ≡

1 ; r

11. Calcolare la derivata direzionale del campo scalare f (x, y, z) = x2 yz + 4xz 2 nella direzione associata al vettore s = ux − 2uy − uz .

1

2

Divergenza

Calcolare la divergenza dei seguenti campi vettoriali: 1. C(x, y, z) = xyux + yzuy + xzuz ; 2. C(x, y, z) = (x2 + yz)ux + xyzuy + (x + y 2 z)uz ; 3. C(x, y, z) = x cos zux + y sin zuy + z cos yuz .

3

Divergenza e equazione di continuit` a

L’equazione di continuit`a per un fluido incomprimibile ha la forma ∇ · v = 0, r dove v `e la velocit` a del fluido. Verificare che il campo vettoriale v = 3 , r p dove r = x2 + y 2 + z 2 e r = xux + yux + zuz , rappresenta fisicamente un campo di velocit` a accettabile.

4

Rotore

Calcolare il rotore dei seguenti campi vettoriali: 1. C(x, y, z) = xyux + yzuy + xzuz ; 2. C(x, y, z) = (x2 + yz)ux + xyzuy + (x + y 2 z)uz ; 3. C(x, y, z) = x cos zux + y sin zuy + z cos yuz .

5

Rotore e conservativit` a 1. Determinare le espressioni delle costanti a e b affinch´e il campo vettoriale C = (axy + z 3 )ux + x2 uy + bxz 2 uz sia irrotazionale, ossia ∇ × C(x, y) = 0. 2. Le forze centrali sono conservative, vale pertanto la condizione di irrota−kq1 q2 zionalit` a. Mostrare che F = 3 (xux + yuy + zuz ) verifica (x2 + y 2 + z 2 ) 2 1 `e la costante di Coulomb, tale condizione. In Elettrostatica k = 4πǫ0 q1 e q2 sono cariche elettriche.

2

3. Un campo di forza F risulta legato all’energia potenziale U dalla relazione F = −∇U . Determinare l’espressione di F corrispondente all’energia potenziale U (x, y, z) = 21k (x2 + y 2 + z 2 ) + C. In Meccanica [k ] = N/m.

6

Irrotazionale vs. conservativo: l’esempio del campo magnetico (legge di Biot-Savart)

In coordinate rettangolari, il seguente campo vettoriale,   y x C(x, y) = k − 2 ux + − 2 uy , x + y2 x + y2 dove k `e una costante espressa nelle opportune unit` a di misura, `e definito sul dominio Ω = R2 − {0, 0}. Verificare che C(x, y) ` e irrotazionale ma non ` e conservativo. Determinare il significato fisico di C(x, y).

7

Laplaciano

Calcolare il laplaciano dei seguenti campi scalari: 1. f (x, y, z) = xy 2 + yz 3 − z 2 ; 2. f (x, y, z) = y sin z + x sin y ; p 3. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ≡ r; p 4. f (x, y, z) = ln( x2 + y 2 + z 2 ) ≡ ln r.

3

Soluzioni Gradiente Per determinare il gradiente delle funzioni date bisogna ricordare che in un sistema di riferimento cartesiano il gradiente di una funzione espressa in coordinate rettangolari, f (x, y, z), `e definito come il vettore che ha per componenti le derivate parziali prime di f (x, y, z) rispetto a x, y, z , ∂f ∂f . ∂f ux + uy + uz , ∇f (x, y, z) = ∂x ∂y ∂z

(1)

dove ux , uy e uz sono i versori degli assi x, y e z . 1. Per la funzione di due variabili f (x, y) = x2 + 2xy − xy 2 , le derivate parziali prime contenute nella definizione (1) sono ∂f ∂f ∂f = 2x + 2y − y 2 , = 2x − 2xy , = 0, ∂x ∂y ∂z e il gradiente risulta essere ∇f (x, y) = (2x + 2y − y 2 )ux + (2x − 2xy)uy . In modo analogo, ossia per applicazione diretta della (1), si risolvono i successivi esercizi 2 - 7. 2. Per la funzione f (x, y, z) = xy 2 + yz 3 − z 2 : ∇f (x, y, z) = y 2 ux + (2xy + z 3 )uy + (3yz 2 − 2z)uz . 2

3. Per la funzione f (x, y) = ye2x : 2

2

∇f (x, y) = 4xye2x ux + e2x uy . 4. Per la funzione f (x, y) = y 2 e−x : ∇f (x, y) = −y 2 e−x ux + 2ye−x uy . x

5. Per la funzione f (x, y) = e y : x x 1 x ∇f (x, y) = e y ux − 2 e y uy . y y 4

6. Per la funzione f (x, y, z) = y sin z + x sin y : ∇f (x, y, z ) = sin y ux + (sin z + x cos y) uy + y cos z uz . Nei successivi esercizi 7-10 il calcolo risulta di molto pi` u rapido se svolto in coordinate sferiche rispetto alle usuali coordinate rettangolari. Questo `e dovuto alla simmetria radiale dei campi scalari considerati. 7. Per la funzione f (x, y, z) = ln (x2 + y 2 + z 2 ) ≡ ln r 2 , il gradiente in coordinate rettangolari e in coordinate sferiche vale: ∇f (x, y) = ∇ ln r 2 =

x2

2x 2y 2z uz , ux + 2 uy + 2 2 2 2 2 x + y2 + z2 +y +z x +y +z

2 ur . r

p 8. Per la funzione f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ≡ r il gradiente in coordinate rettangolari e in coordinate sferiche vale: ∇f (x, y, z) = p

x x2

y2

z2

ux + p

+ + z uz , + p x2 + y 2 + z 2 ∇r = ur .

x2

y uy + y2 + z2

p 9. Per la funzione f (x, y, z) = ln x2 + y 2 + z 2 ≡ ln r, il gradiente in coordinate rettangolari e in coordinate sferiche `e: ∇f (x, y, z) = ∇ ln r =

x2

x y z uz , ux + 2 uy + 2 2 2 2 2 x + y2 + z2 +y +z x +y +z

1 ur . r 1

10. Per la funzione f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )−2 ≡

1 , poich´e r

1 ∂f 3 3 = − (x2 + y 2 + z 2 )− 2 2x = −x(x2 + y 2 + z 2 )− 2 , 2 ∂x 3 ∂f = −y(x2 + y 2 + z 2 )−2 , ∂y ∂f 3 = −z(x2 + y 2 + z 2 )−2 , ∂z 5

il gradiente in coordinate rettangolari vale: ∇f (x, y, z) = −

xux + y uy + zuz . (x2 + y 2 + z 2 )3

In coordinate sferiche si ha subito: 1 1 ∇ = − 2 ur . r r L’esercizio 10 e` importante per la sua applicazione in Elettrostatica dove il campo scalare f assume il significato fisico di potenziale elettrico q di una carica concentrata q, V = , e per il campo elettrico vale 4πǫ0 r la relazione E = −∇V . 11. La derivata direzionale df /ds di un campo scalare f si ottiene calcolando il prodotto scalare fra il gradiente di f e il versore us corrispondente alla direzione individuata dal vettore s, df = ∇f · us , ds in cui u√ e nel caso in esame s = s/||s||, essendo ||s|| la norma di s. Poich´ ||s|| = 6, si calcola:   ∂f ∂f ∂f 1 df = ∇f · us = ux + uy + uz · √ (ux − 2uy − uz ) ∂x ∂y ds ∂z 6   1 = √ 4z 2 + 2xyz − 2x2 z − x2 y − 8xz . 6

Divergenza Per determinare la divergenza dei campi vettoriali dati `e importante ricordare che, in coordinate rettangolari, la divergenza di un vettore continuo e differenziabile C(x, y, z) = C1 ux + C2 uy + C3 uz `e la seguente funzione scalare del punto: . ∂Cx ∂Cy ∂Cz . (2) ∇ · C(x, y, z) = + + ∂z ∂x ∂y 1. Per il campo vettoriale C(x, y, z) = xyux + yzuy + xz uz , 6

si ha Cx = xy, Cy = yz, Cz = xz e ∂Cy ∂Cz ∂Cx = x. =y, =z, ∂z ∂x ∂y Pertanto la divergenza ha espressione ∇ · C(x, y, z) = y + z + x . Si procede in modo analogo, ossia applicando la definizione (2), nei due casi successivi. 2. Per il campo vettoriale C(x, y, z) = (x2 + yz)ux + xyzuy + (x + y 2 z)uz : ∇ · C(x, y, z) = 2x + xz + y 2 . 3. Per il campo vettoriale C(x, y, z) = x cos zux + y sin zuy + z cos yuz : ∇ · C(x, y, z) = cos z + sin z + cos y .

Divergenza e equazione di continuit` a L’equazione di continuit`a esprime localmente la conservazione di una grandezza fisica e si scrive nella forma dell’equazione differenziale ∂ρ . (3) ∂t In Elettromagnetismo l’Eq. (3) esprime localmente la conservazione della carica elettrica: j e ρ sono il vettore densit` a di corrente e la densit` a di carica, −2 −1 −3 [j] = Cm s , [ρ] = Cm , essendo j = ρv dove v `e la velocit` a delle cariche. In Fluidodinamica, invece, l’Eq. (3) esprime localmente la conservazione della massa: in questo caso j e ρ sono la portata in massa per unit` a di superficie e la densit` a di massa del fluido, [j] = kgm−2 s−1 , [ρ] = kgm−3 e vale ancora la relazione j = ρv. Per un fluido incomprimibile, caratterizzato dalla condizione ρ = costante, l’Eq. (3) si riduce alla forma ∇ · v = 0. Bisogna pertanto calcolare la divergenza del campo vettoriale v assegnato: ∇·j = −

∇·v = =

z x y ∂ ∂ ∂ 3 + 3 + ∂x (x2 + y 2 + z 2 ) 2 ∂y (x2 + y 2 + z 2 ) 2 ∂z (x2 + y 2 + z 2 ) 23

(x2 + y 2 + z 2 − 3x2 ) + (x2 + y 2 + z 2 − 3y 2 ) + (x2 + y 2 + z 2 − 3z 2 ) 5

(x2 + y 2 + z 2 ) 2 (r 2 − 3x2 ) + (r 2 − 3y 2 ) + (r 2 − 3z 2 ) ≡ = 0, r5 7

essendo r 2 = x2 + y 2 + z 2 . L’annullarsi della divergenza di v dimostra che v r = 3 `e un campo di velocit` a accettabile. r

Rotore Per determinare il rotore dei campi vettoriali dati e` importante ricordare che, in coordinate rettangolari, il rotore di un vettore continuo e differenziabile C(x, y, z) = Cx ux + Cy uy + Cz uz `e il vettore che ha la seguente espressione:   ux uy uz   .  ∇ × C(x, y, z) = det  ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z   Cx Cy Cz       ∂Cy ∂Cx ∂Cx ∂Cz ∂Cz ∂Cy − − − uz . (4) uy + ux + = ∂x ∂z ∂y ∂y ∂x ∂z 1. Per il campo vettoriale C(x, y, z) = xy ux + yz uy + xz uz , le cui componenti sono Cx = xy, Cy = yz, Cz = xz, si calcolano le seguenti derivate parziali ∂Cx ∂Cx ∂Cx =x, =y, = 0, ∂y ∂x ∂z ∂Cy ∂Cy ∂Cy =z, =0, = y, ∂y ∂x ∂z ∂Cz ∂Cz ∂Cz = x. =z, =0, ∂z ∂x ∂y Pertanto il rotore ha espressione ∇ × C(x, y, z) = −yux − zuy − xuz . Si procede in modo analogo, ossia applicando la definizione (4), nei casi successivi. 2. Per il campo vettoriale C(x, y, z) = (x2 + yz)ux + xyzuy + (x + y 2 z)uz : ∇ × C(x, y, z) = (2yz − xy)ux + (y − 1)uy + (yz − z)uz . 3. Per il campo vettoriale C(x, y, z) = x cos zux + y sin zuy + z cos yuz : ∇ × C(x, y, z) = −(z sin y + y cos z)ux − x sin zuy + 0 uz . 8

Rotore e conservativit` a 1. Si applica la definizione (4) con Cx = axy + z 3

,

Cy = x2

Cz = bxz 2 ,

,

ottenendo il risultato ∇ × C = −(b − 3)z 2 uy + (2 − a)xuz . Segue che il campo C `e irrotazionale per a = 2 e b = 3. 2. Bisogna determinare il rotore ∇ × F usando l’Eq. (4). Indicando con Fx , Fy , Fz le componenti lungo x, y, z della forza F data, F=

(x2

−kq1 q2

3

+ y2 + z2)2

(xux + yuy + zuz ) ,

cio`e Fx =

(x2

−kq1 q2 x +

y2

+

3

z 2 )2

, Fy =

(x2

−kq1 q2 y +

y2

+

3

z2) 2

, Fz =

(x2

−kq1 q2 z

3

,

+ y2 + z2)2

le derivate parziali utili sono: kq1 q2 3xy ∂Fx = 5 ∂y (x2 + y 2 + z 2 ) 2 kq1 q2 3xy ∂Fy = 5 ∂x (x2 + y 2 + z 2 ) 2

, ,

kq1 q2 3xz ∂Fz = 5 ∂x (x2 + y 2 + z 2 ) 2

,

kq1 q2 3xz ∂Fx = 5 ∂z (x2 + y 2 + z 2 ) 2 kq1 q2 3yz ∂Fy = 5 ∂z (x2 + y 2 + z 2 ) 2 kq1 q2 3yz ∂Fz = 5 . ∂y (x2 + y 2 + z 2 ) 2

Per esempio, per la componente lungo ux di ∇ × F si trova   ∂Fz ∂Fy kq1 q2 3yz kq1 q2 3yz − = 5 = 0. 5 − ∂y ∂z (x2 + y 2 + z 2 ) 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 2 Con calcoli analoghi si verifica che sono nulle anche le componenti lungo uy e uz del rotore, che risulta pertanto identicamente nullo: la condizione di irrotazionalit` a `e verificata, come doveva essere dato che il campo di forza in esame `e conservativo. 3. Dall’espressione di U si calcola ∇U =

∂U ∂U ∂U uz = k(ux + uy + uz ) . ux + uy + ∂z ∂x ∂y

La forza F risulta pertanto avere l’espressione e il significato fisico di una forza di natura elastica nel caso tridimensionale: F = −∇U = −k (xux + y uy + zuz ) . 9

Irrotazionale vs. conservativo: l’esempio del campo magnetico (legge di Biot-Savart) Le componenti del campo vettoriale C(x, y) sono: Cx = −k

y x2 + y 2

,

Cy = k

x . x2 + y 2

Il rotore di C(x, y) si calcola dalla definizione (4):   ux uy uz    ∇ × C(x, y) = det   ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z  . Cx Cy 0 Le uniche derivate non nulle sono associate alla componente uz ,   ∂Cy = k (x2 + y 2 )−1 − 2x2 (x2 + y 2 )−2 , ∂x   ∂Cx = −k (x2 + y 2 )−1 − 2y 2 (x2 + y 2 )−2 , ∂y dalle cui espressioni segue che ∇ × C(x, y) = 0, ossia C(x, y) ` e un campo ` irrotazionale. E anche un campo conservativo? Per rispondere alla domanda bisogna osservare che il dominio Ω = R2 −{0, 0} su cui `e definito il campo vettoriale C(x, y) non `e semplicemente connesso1 . Non `e quindi possibile applicare il seguente importante risultato: Lemma di Poincar´ e: Se C `e un campo vettoriale irrotazionale ed `e definito su un dominio Ω semplicemente connesso, allora C `e conservativo. Bisogna pertanto individuare un altro parametro che sia associato alla conservativit` a di un campo vettoriale, per esempio la sua circuitazione Γ, ossia il lavoro in senso generalizzato svolto da C(x, y) lungo un percorso chiuso. Nel caso in esame, scegliendo un percorso chiuso L circolare di raggio R e indicando con ds l’elemento di percorso su L, si ha I I Γ= C(x, y) · ds = (Cx dx + Cy dy) . L

L

1

Ricordiamo che un dominio Ω si dice semplicemente connesso se qualunque linea chiusa contenuta in Ω pu` o essere ridotta a un punto mediante deformazione continua della curva stessa senza uscire da Ω. Esempi: il piano R2 `e semplicemente connesso, R2 meno un punto non lo `e. Lo spazio R3 `e semplicemente connesso, R3 meno una retta non lo `e.

10

Usando le pi` u convenienti coordinate polari nel piano (v. anche Fig. 1), x = R cos ϑ −→ dx = −R sin ϑdϑ ,

y = R sin ϑ −→ dy = R cos ϑdϑ ,

ed essendo x2 + y 2 = R2 , si ottiene Z 2π  2  sin ϑ + cos2 ϑ dϑ = 2πk 6= 0 , Γ=k 0

un risultato indipendente dal valore del raggio R. Il campo vettoriale irrotazionale C(x, y) non ` e pertanto un campo conservativo. L’esempio studiato `e fisicamente importante perch´e C(x, y) corrisponde al campo magnetico descritto dalla legge di Biot-Savart.

Figura 1: Orientazione dei versori ux , uy e uϑ . Il filo in cui scorre la corrente i `e orientato nel verso positivo dell’asse z corrispondente al versore uz . Si dimostra infatti in Magnetostatica che il campo magnetico B prodotto da un filo di lunghezza indefinita percorso dalla corrente i ha la seguente espressione (legge di Biot-Savart), B=

µ0 i uϑ , 2πR

(5)

dove µ0 `e la permeabilit`a magnetica del vuoto, µ0 = 4π10−7 NA−2 , R `e la distanza generica dal filo misurata perpendicolarmente al filo stesso e il versore uϑ `e orientato tangenzialmente alla circonferenza di raggio R che rappresenta una linea di forza del campo magnetico (dalla Fig. 1 si ricava 11

uϑ = − sin ϑux + cos ϑuy ). Usando la trasformazione fra coordinate polari e rettangolari, la legge di Biot-Savart diventa µ0 i µ0 i (−R sin ϑux + R cos ϑuy ) , (− sin ϑux + cos ϑuy ) = 2 2πR 2πR  x y µ0 i ux + 2 (6) − 2 uy ≡ C(x, y) . = 2 x +y 2π x + y2

B =

Il risultato (6) dimostra che il campo vettoriale C(x, y) coincide con il campo magnetico dato dalla legge di Biot-Savart e permette anche di identificare l’espressione e le unit` a di misura della costante k , k=

µ0 i , 2π

[k] = NA−1 .

Laplaciano Per determinare il laplaciano dei campi scalari dati bisogna ricordare che in un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale il laplaciano di una funzione f (x, y, z) `e il seguente scalare 2 ∂ 2f ∂ 2f . ∂ f . ∇2 f (x, y, z) = + + ∂z 2 ∂x2 ∂y 2

(7)

1. Per il campo scalare f (x, y, z) = xy 2 + yz 3 − z 2 , le derivate parziali prime sono ∂f ∂f ∂f = y2 , = (2xy + z 3 ) , = (3yz 2 − 2z) , ∂x ∂y ∂z e le derivate parziali seconde da inserire nella (7) sono ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = 0 , = 2x , = 6yz − 2 . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Il laplaciano risulta quindi essere: ∇2 f (x, y, z) =

∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = 2x + 6yz − 2 . + + ∂z 2 ∂x2 ∂y 2

In modo analogo, ossia applicando la definizione (7), si ottengono i risultati degli esercizi successivi. 12

2. Per la funzione f (x, y, z) = y sin z + x sin y : ∇2 f (x, y, z) = −x sin y − y sin z . 3. Per la funzione f (x, y, z) =

p

x2 + y 2 + z 2 :

∇2 f (x, y, z) = p

x2

2 . + y2 + z2

4. Per la funzione f (x, y, z) = ln r, con r = ∇2 f (x, y, z) =

13

x2

p

x2 + y 2 + z 2 :

1 . + y2 + z2

8

8.1

Espressioni di ∇, gradiente, divergenza e rotore in coordinate cilindriche e sferiche

COORDINATE CILINDRICHE (r, ϕ, z)

Nabla ∇=

∂ 1 ∂ ∂ uz . ur + uφ + ∂z r ∂φ ∂r

Gradiente, divergenza, rotore Per il campo scalare f (r, φ, z): ∇f =

1 ∂f ∂f ∂f ur + uφ + uz . ∂r ∂z r ∂φ

Per il campo vettoriale C(r, φ, z) = Cr ur + Cφ uφ + Cz uz : ∇·C =

1 ∂(rCr ) 1 ∂Cφ ∂Cz + + , r ∂r r ∂φ ∂z

   ∂Cz ∂Cr 1 ∂Cz ∂Cφ − − uφ u + ∇×C= r r ∂φ ∂z ∂r ∂z   1 ∂(rCφ ) ∂Cr + − uz . ∂r r ∂φ 

14

8.2

COORDINATE SFERICHE (r, ϑ, φ)

Nabla ∇=

1 ∂ 1 ∂ ∂ ur + uϑ + u . r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ ϕ ∂r

Gradiente, divergenza, rotore Per il campo scalare f (r, ϑ, φ): ∇f =

∂f 1 ∂f 1 ∂f uφ . ur + uϑ + r ∂ϑ r sin ϑ ∂φ ∂r

Per il campo vettoriale C(r, ϑ, φ) = Cr ur + Cϑ uϑ + Cφ uφ : ∇·C =

1 ∂(sin ϑ Cϑ ) 1 ∂Cφ 1 ∂(r 2 Cr ) , + + 2 r sin ϑ r sin ϑ ∂φ r ∂r ∂ϑ

    1 ∂(sin ϑ Cφ ) ∂Cϑ 1 ∂Cr ∂(rCφ ) 1 − − ur + uϑ ∇×C= ∂ϑ r sin ϑ ∂φ r sin ϑ ∂φ ∂r   1 ∂(rCϑ ) ∂Cr + − uφ . ∂r r ∂ϑ

15...