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Irraggiamento teoria con esercizi...

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IRRAGGIAMENTO

Introduzione Due o più corpi immersi nel vuoto scambiano tra loro calore per irraggiamento termico. Quest’ultimo avviene quindi anche in assenza di un mezzo materiale interposto tra i corpi. Il tipico esempio è quello del Sole che attraverso lo spazio, nel quale c’è il vuoto, raggiunge e riscalda la Terra.

In presenza di un mezzo di separazione si ha che quest’ultimo può anche essere più freddo dei corpi tra i quali avviene lo scambio d’energia: per esempio, l’energia termica emessa da una fiamma raggiunge una persona attraversando aria che può essere più fredda di entrambi, oppure la radiazione solare raggiunge la superficie della Terra dopo aver attraversato, alle elevate altitudini, strati d’aria molto freddi.

L’irraggiamento termico rientra nel più vasto fenomeno fisico della radiazione elettromagnetica. Tutti i corpi materiali, i solidi così come i liquidi ed i gas, emettono energia sotto forma di onde elettromagnetiche e sono in grado di assorbire tale energia radiante proveniente da altre fonti: è così possibile realizzare tra due corpi un trasferimento d’energia. Il trasporto d’energia attraverso le onde elettromagnetiche avviene alla velocità di quest’ultime nel mezzo che attraversano e cioè alla velocità di propagazione della luce, c, che nel vuoto è pari a circa 300.000 km/s. Le onde elettromagnetiche sono caratterizzate da una frequenza, f, (la cui unità di misura è l’Hz) che rappresenta il numero di cicli compiuti nell’unità di tempo, da un periodo T che è l’intervallo di tempo in cui ha luogo un’oscillazione completa (f = 1/T) e da una lunghezza d’onda, , (o periodo spaziale, generalmente misurata in m) che rappresenta la distanza percorsa dall’onda in un periodo T. La frequenza e la lunghezza d’onda sono legate dalla seguente relazione: c = f 

(1) 

tempo  [s]

spazio x [m]

Esistono diversi tipi di onde elettromagnetiche e ciascun tipo è prodotto da una differente causa: i raggi gamma sono generati da reazioni nucleari, i raggi X sono prodotti dal bombardamento di metalli con elettroni ad alta energia, le microonde da speciali tubi elettronici come il magnetron, le onde radio sono dovute al flusso di corrente alternata in conduttori elettrici e la radiazione termica è causata dalla temperatura dei corpi. L’irraggiamento termico si occupa non dello studio di tutta la radiazione elettromagnetica ma solo di quello relativo alla radiazione termica cioè dell’energia elettromagnetica emessa dai corpi a causa della loro temperatura. Le suddette radiazioni elettromagnetiche differiscono nel loro comportamento al variare della lunghezza d’onda. Il relativo intervallo si estende da meno di 10-9 m per i raggi cosmici a più di 1010 m per le onde elettriche di potenza (si veda figura successiva).

La radiazione termica è caratterizzata da lunghezze d’onda che variano da circa 0,10 m a 100 m. È inclusa quindi tutta la radiazione visibile, caratterizzata da lunghezze d’onda comprese tra 0,40 e 0,76 m, quella infrarossa e parte della radiazione ultravioletta (vedi particolare in basso).

 [m]

onde elettriche di potenza

109 10

7

10

5

10

3

 [m] 102 infrarosso

10

onde radio

1 visibile

10-1 microonde

10

radiazione termica

10

-1

10

-3

radiazione termica

ultravioletto

10-2

A seconda dell’intervallo di lunghezza d’onda a cui viene riflessa la luce su una superficie ne viene percepito il relativo colore (vedi

raggi X

10-5

raggi 

10-7  

10-9

 raggi cosmici

tabella successiva).  [m]

colore

0,40 ÷ 0,44

violetto

0,44 ÷ 0,49

blu

0,49 ÷ 0,54

verde

0,54 ÷ 0,60

giallo

0,60 ÷ 0,63

arancione

0,63 ÷ 0,76

rosso

La radiazione elettromagnetica emessa da un corpo per irraggiamento varia sensibilmente al variare della temperatura del corpo, della lunghezza d’onda, del materiale costituente il corpo e del trattamento superficiale di quest’ultimo.

Ad esempio, a parità di lunghezza d’onda e di temperatura, una superficie di ferro ossidato emette circa quanto una superficie intonacata a calce; se il ferro è accuratamente lucidato, la radiazione emessa diventa meno della decima parte.

Parametri radiativi L’energia termica emessa da una superficie, così come tutte le grandezze che entrano in gioco nell’irraggiamento termico, dipende dalla lunghezza d’onda della radiazione; per evidenziare questa dipendenza, tutte queste grandezze sono denotate con l’aggettivo spettrale o monocromatico e affianco alla grandezza si pone, in genere, il pedice “”. Si definisce potere emissivo spettrale o monocromatico e si indica con E [W/m2m], la radiazione termica emessa, in tutte le direzioni, per unità di area e per unità di tempo nell’intervallo di lunghezze d’onda   +d. Il potere emissivo totale, E [W/m2], è la radiazione termica emessa in tutte le direzioni, per unità di superficie e di tempo su tutto il campo di lunghezze d’onda.

 E   Eλdλ 0

(2)

Si definisce irradiazione spettrale o monocromatica e si indica con G  [W/m2m], la radiazione termica incidente su di una superficie di area unitaria, per unità di tempo nell’intervallo di lunghezze d’onda   +d. L’ irradiazione totale, G [W/m2], è la radiazione termica incidente su di una superficie, per unità di area e di tempo su tutto il campo di lunghezze d’onda.

 G   Gλdλ 0

(3)

Si definisce radiosità spettrale o monocromatica e si indica con J [W/m2m], la radiazione termica che abbandona una superficie, per unità di area, per unità di tempo e nell’intervallo di lunghezze d’onda   +d. La radiosità totale, J [W/m2], è la radiazione termica che lascia una superficie, per unità di area e di tempo, su tutto il campo di lunghezze d’onda.

 J   Jλdλ 0

(4)

Quando l’irradiazione G incide su di una superficie, un’aliquota R di questa radiazione viene riflessa; pertanto, la radiazione che abbandona una superficie, J, rappresenta la somma di quella emessa, E, e quella riflessa, R. La radiazione non riflessa penetra nel corpo e,

G

attraversandolo, viene parzialmente attenuata; l’aliquota che riemerge rappresenta la radiazione

R

trasmessa, T, mentre l’aliquota di cui si è attenuata la radiazione non riflessa rappresenta la radiazione assorbita, A.

A

Possono pertanto essere definiti per una superficie i coefficienti monocromatici di riflessione , di trasmissione  e di assorbimento .

T

Il coefficiente di riflessione spettrale, , è definito come il rapporto tra la radiazione termica riflessa dalla superficie in esame, R , e quella incidente, G, nell’intervallo di lunghezze d’onda   +d:



ρ λ

Rλ Gλ

(5)

 è adimensionale ed è compreso nell'intervallo 0  1. Il coefficiente di trasmissione spettrale, , è definito come il rapporto tra la radiazione trasmessa dalla superficie in oggetto, T, e quella incidente, G, nell’intervallo di lunghezze d’onda   +d  

T τ  λ λ G λ Anche  è adimensionale ed è compreso nell’intervallo 0  1.

(6)

Il coefficiente di assorbimento spettrale, , è definito come il rapporto tra la radiazione assorbita, A, e quella incidente, G, nell’intervallo di lunghezze d’onda   +d:

A α  λ λ G λ

(7)

Anche  è adimensionale ed è compreso nell'intervallo 0  1. Analogamente si possono definire il coefficiente di riflessione totale, , il coefficiente di trasmissione totale, , ed il coefficiente di assorbimento totale, , come il rapporto tra la radiazione termica totale rispettivamente riflessa, trasmessa e assorbita e quella totale incidente:

 ρ G R  λ λdλ ρ  0 G   Gλdλ 0

 τG T 0 λ λdλ τ  G   G λdλ 0

 αG A 0 λ λdλ α  G   G λdλ 0

(8)

(9)

(10)

Tra i coefficienti d’assorbimento, riflessione e trasmissione, sia totali che spettrali, sussistono le seguenti relazioni:

α λ  ρ λ  τλ  1

α  ρ  τ 1

(11)

Le (11) sono dovute alla conservazione dell’energia incidente su una superficie e si ottengono facilmente dal bilancio di flussi termici applicato ad una superficie di controllo a cavallo di una lastra di un generico materiale sulla quale incide una irradiazione G. La maggior parte dei solidi sono opachi, cioè incapaci di trasmettere l’energia termica incidente ma viceversa idonei ad assorbirla e rifletterla. Tale caratteristica dipende sia dal coefficiente d’assorbimento, caratteristico della sostanza, sia dalla relativa estensione geometrica: per attenuare al 90% una radiazione incidente su di una superficie nell’infrarosso è sufficiente uno spessore di qualche centesimo di m per i metalli più comuni, mentre occorre uno spessore di 70 m per la carta e di qualche metro per un vetro chiaro. Per un corpo opaco si ha quindi:

τ0

α ρ  1

(12)

Gli aeriformi sono invece caratterizzati da un coefficiente di riflessione nullo. I gas monoatomici (idrogeno, ossigeno, azoto e quindi con buona approssimazione l’aria secca) sono caratterizzati anche da un coefficiente di assorbimento nullo e da un’emittenza nulla (vedi dopo); essi pertanto non assorbono e non emettono ma sono completamente trasparenti all’energia radiativa; per questo motivo si dice che sono non partecipanti. Per essi valgono le seguenti relazioni:

τ 1

αρ 0

(13)

Corpo nero Spesso risulta conveniente analizzare la trasmissione del calore per irraggiamento di una superficie reale confrontandola con quella di un sistema ideale per il quale siano note le leggi che ne descrivono il comportamento. Quest’approccio è stato già utilizzato nello studio della Termodinamica. Infatti per valutare le proprietà dei gas e per l’analisi termodinamica della conversione termo-meccanica dell’energia, sono stati introdotti rispettivamente il modello di gas ideale e la macchina di Carnot. Nella teoria dell’irraggiamento si introduce il modello ideale di corpo nero. Il corpo nero è definito come l’assorbitore perfetto, nel senso che assorbe completamente tutta la radiazione termica su esso incidente, indipendentemente dalla sua lunghezza d’onda:

α1

ρ  τ 0

(14)

Il suo nome deriva dal fatto che, assorbendo tutta la radiazione incidente anche nel campo del visibile, appare nero alla nostra vista. Va osservato, tuttavia, che un corpo che ci appare di colore nero non è necessariamente un corpo nero dal punto di vista delle sue caratteristiche radiative, in quanto il campo di lunghezze d’onda della radiazione termica è molto più ampio di quello del visibile. Alcune sostanze come il nerofumo e il nero d’oro, però, approssimano bene il comportamento di un corpo nero, che può comunque essere riprodotto con ottima approssimazione in laboratorio. Infatti per la cavità rappresentata in figura si ha che una volta introdotta, attraverso l’apposito forellino, una radiazione incidente, quest’ultima rimarrà intrappolata al suo interno e potrà quindi considerarsi totalmente assorbita da tale oggetto. Il corpo nero, in quanto assorbitore perfetto, è anche un emettitore perfetto, nel senso che per ogni lunghezza d’onda e per ogni temperatura emette la massima energia termica possibile. Si consideri un piccolo solido delimitato da una superficie di area A1, situato all’interno di una cavità di area A2 molto maggiore di A1. Si immagini che la superficie 2 (da considerarsi in questo caso nera) sia mantenuta ad A1

una temperatura costante T2, riscaldandola o raffreddandola a seconda della necessità. Si ipotizzi inoltre che all’interno della

vuoto A2

cavità vi sia il vuoto, e che dunque l’unico meccanismo di scambio termico tra le due superfici sia l’irraggiamento. Dopo un periodo

più o meno lungo, le due superfici raggiungeranno necessariamente una condizione di equilibrio termico, ed essendo T2 mantenuta costante, sarà T1 = T2. In queste condizioni, dovrà necessariamente essere, per la superficie 1: E1 = 1 G1

(15)

ovvero, l’energia emessa e quella assorbita dovranno coincidere. In caso contrario, infatti, l’energia e quindi il valore della temperatura del corpo delimitato dalla superficie 1 continuerebbero a modificarsi, in contrasto con l’ipotesi di raggiunto equilibrio. Nel caso che la 1 sia una superficie non nera, sarà:

1 < 1



G1 > E1

(16)

Se, a parità di ogni altra condizione, s’immagina di sostituire la superficie non nera con una nera, con 1n = 1 (si noti che, essendo A2 >> A1, l’irradiazione G1 proveniente dalla superficie 2 non sarà influenzata dalla sostituzione ipotizzata), si avrà evidentemente: E1n = G1  E1

(17)

Cioè per qualsiasi lunghezza d’onda, e per una qualsiasi fissata temperatura, una superficie nera emetterà la massima energia raggiante possibile. Le caratteristiche radiative di un corpo nero sono state determinate basandosi sulla teoria quantica e sono state verificate sperimentalmente. A tutte le grandezze relative al corpo nero si affianca il pedice “n”. Leggi del corpo nero Le leggi che descrivono il comportamento di un corpo nero sono:

Legge di Stefan-Boltzmann:

En (T)  σ T 4

(18)

Con  costante dimensionale pari a: 5,67·10-8 W/m2K4.

Legge di Planck:

Enλ (T) 

C1 λ5 (eC2/λ T  1)

(19)

Con C1 e C2 costanti dimensionali pari rispettivamente a: 3,742·10-8 W·m4/m2 e 1,434·104 m·K. Legge di Wien:

λmax = C3/T

(20)

Con C3 costante dimensionale pari a: 2897,8 m·K. Diagrammando la legge di Planck, eq. (19), in funzione di  per diversi valori di T si ottiene la famiglia di curve riportate nella successiva figura. Da tale diagramma si evince che: 1)

fissata la lunghezza d’onda, la radiazione monocromatica emessa aumenta all’aumentare

della temperatura. Si noti che ciò accade anche per le grandezze totali, eq. (18): al crescere della temperatura del corpo nero aumenta notevolmente la radiazione emessa (la radiazione termica che investe un individuo posto di fronte alla fiamma di un camino è notevolmente maggiore di quella che investe lo stesso individuo posto di fronte ad un termosifone); 2)

la radiazione monocromatica emessa dal corpo nero è una funzione continua della

lunghezza d’onda e, ad una fissata temperatura, all’aumentare della lunghezza d’onda aumenta sino a raggiungere un valore massimo per poi decrescere; 3)

all’aumentare della temperatura le curve si spostano verso sinistra e con esse il relativo

luogo dei massimi (legge di Wien, eq. (20)) per cui, a temperature elevate, una frazione sempre maggiore di radiazione termica è emessa a lunghezze d’onda più corte. La radiazione monocromatica emessa dal Sole, considerato come un corpo nero alla temperatura superficiale di circa 5555 K, raggiunge il suo valore massimo nella zona del visibile dello spettro della radiazione elettromagnetica (max = 0,48 m) ed il 90% della radiazione è emessa a lunghezze d’onda inferiori a 1,5 m. luogo dei massimi

En W/m2·m] T crescenti

T3 T2 T1

max,3

max,1

 m]

La resistenza di una stufa elettrica raggiunge una temperatura all’incirca di 1600°C (1873 K) con una notevole percentuale della radiazione emessa nel campo del visibile, mentre superfici a temperature minori di 800 K emettono quasi interamente nella regione dell’infrarosso e perciò non sono visibili dall’occhio umano a meno che non riflettano la radiazione elettromagnetica proveniente da altri corpi che, come il Sole o una lampada ad incandescenza, emettono sostanzialmente nello spettro del visibile. Questo spiega perché quando si spegne la luce in un locale la resistenza di una stufa elettrica continua a vedersi mentre gli altri oggetti scompaiono (vedi figura successiva). Il potere emissivo totale del corpo nero si ottiene integrando quello spettrale su tutto il campo delle lunghezze d’onda:

 En   Enλdλ 0

(21)

Graficamente, con riferimento alla curva che rappresenta l’andamento del potere emissivo monocromatico del corpo nero ad una assegnata temperatura, il potere emissivo spettrale corrisponde all’ordinata della curva mentre il potere emissivo totale corrisponde all’area sottesa dall’intera curva.

visibile

En W/m2·m]

ultravioletto

infrarosso 5555K

1873K

800K







 m]

Superficie reale Le superfici che s’incontrano nelle applicazioni ingegneristiche non hanno ovviamente un comportamento da corpo nero e la loro analisi nei problemi riguardanti l’irraggiamento termico è affrontata attraverso il concetto di emittenza (o emissività). Tale parametro adimensionale confronta, a parità di temperatura superficiale, il potere emissivo di una superficie reale con quello del corpo nero. In generale l’emittenza dipende dalla temperatura della superficie, dalla lunghezza d’onda, dalla direzione della radiazione e dal trattamento superficiale del corpo (una superficie più lucida emette meno di una meno lucida). Per un corpo reale dall’assegnata finitura e temperatura superficiale è necessario dunque considerare un’emittenza direzionale,  ( è l’angolo fra la superficie e la direzione della radiazione emessa) ed un’emittenza spettrale, . Quest’ultima, in particolare è definita come il rapporto tra il potere emissivo spettrale del corpo reale e quello del corpo nero valutati alla stessa

temperatura:

ελ (T) 

E λ (T) E nλ (T)

(22)

Tale grandezza, variabile ovviamente nell’intervallo 0  1, è rappresentata graficamente dal rapporto tra i segmenti AB ed AC riportati nella figura seguente e relativi ad

E

ad

un’assegnata  rispettivamente per un corpo reale ed uno nero:

ελ 

E        

AB AC

(23)

corpo nero

C

T = cost. B corpo reale

 

A



Si noti che le superfici reali hanno un andamento del potere emissivo monocromatico fortemente irregolare al variare della lunghezza d’onda. L’emittenza totale,  di una superficie è viceversa definita come il rapporto tra il potere emissivo totale del corpo reale e quello totale del corpo nero alla stessa temperatura. Anch’essa è ovviamente variabile nell’intervallo 0  1.

ε(T) 

E(T) En (T)

(24)

Tale parametro può in generale essere considerato come il valor medio dell’emittenza su tutte le lunghezze d’onda e le direzioni della radiazione emessa. Per quest’ultimo motivo (T) viene anche chiamata emittenza totale emisferica. La radiazione totale emessa da un corpo reale è valutabile quindi come:

E(T)  ε(T) E n (T)  ε(T) σ T 4

(25)

Corpo grigio Nei problemi riguardanti l’irraggiamento termico un’approssimazione spesso accettabile è quella di ritenere trascurabile la variazione dell’emittenza con la lunghezza d’onda ( = costante): quest’ipotesi definisce il ...