Calcul différentiel une introduction PDF

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Cours partiel sur le calcul différentiel...

Description

Calcul différentiel : Une introduction Table des matières I

Différentielle

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1 Introduction intuitive

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2 Définitions

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3 Quelques fonctions différentiables

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4 Opérations et propriétés élémentaires sur les fonctions différentiables

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Dans toute la suite (E, k · kE ) et (F, k · kF ) désigneront des espaces vectoriels normés, et Ω un ouvert de E .

Première partie

Différentielle 1

Introduction intuitive

La notion de différentielle est là pour généraliser dans Rn la notion de dérivée. Enfin plus exactement la notion de tangente. En effet on va exploiter le fait qu’une fonction dérivable peut s’écrire sous cette forme : f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 )h + o(h). Cette écriture permet d’avoir une approximation du comportement de la fonction aux alentours de x0 . En fait si l’on peut écrire une fonction quelconque f sous cette forme : f (x0 + h) = f (x0 ) + l.h + o(h) pour tout h dans un certain intervalle ouvert contenant x0 , alors f est dérivable en x0 et de dérivée l. Ainsi un tel développement caractérise la dérivée d’une fonction, et c’est ce qui, en partie, motive la définition, telle qu’on va la voir dans la suite, de la différentielle. On peut ensuite se demander ce qui peut faire office de tangente à une surface dans R3 , pourquoi se poser cette question ? Eh bien car la tangente en un point d’une courbe permet de donner des informations localement sur cette courbe, qui ne sont pas simple d’avoir autrement. Pour récupérer les mêmes propriétés sur les informations que donnent les tangentes d’une courbe il semble qu’il faille l’étendre de manière à récupérer les même caractéristiques, autrement dit : sa linéarité et le fait que cela caractérise localement une fonction. La linéarité est là pour créer le plan tangent qui sur toute sa surface caractérisera le comportement local d’une fonction. Comme on va le voir plus loin, ces deux point suffisent pour étendre à des espaces vectoriels (même de dimension infinie) la notion de différentielle.

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Définitions

Définition I.1. Soit f : Ω → F et x0 ∈ Ω. f est dite différentiable en x0 s’il existe L ∈ Lc (E, F ) et un voisinage V de 0 tel que : pour tout h ∈ V , f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + o(khk). On appelle alors L différentielle de f . Définition I.2. Soit f : Ω → E et O ⊂ Ω un ouvert. f est dite différentiable sur O si f est différentiable en tout point de O. Propriété I.1. Soit f : Ω → E et x0 ∈ Ω. Si f est différentiable en x0 alors il existe une unique différentielle. Démonstration. Soit L1 et L2 des différentielles de f en x0 . Alors il existe un certain voisinage V1 et V2 de 0 tel que : pour tout h ∈ V1 , f (x0 + h) = f (x0 ) + L1 (h) + o(khk) pour tout h ∈ V2 , f (x0 + h) = f (x0 ) + L2 (h) + o(khk)

En notant V le voisinage V1 ∩ V2 , on a alors : pour tout h ∈ V , f (x0 +h) = f (x0 )+ L1 (h)+ o(khk) = f (x0 )+ L2 (h)+ o(khk) On a alors : (L1 − L2 )(h) = o(khk). Soit e ∈ E un vecteur unitaire et λ ∈ R+ tel que λ · e ∈ V . On a alors (L1 − L2 )(λ · e) = o(kλ · ek). Donc (L1 − L2 )(e) = o(1). Donc (L1 − L2 )(e) = 0, or ceci est vrai pour n’importe quel vecteur unitaire, x donc pour tout x ∈ E ∗ donc (L1 − L2 )( kxk ) = 0 et donc (L1 − L2 )(x) = 0. Remarque 2.1. On peut noter dx0 f.h la différentielle de f en x0 (si f est différentiable en x0 ). On va maintenant donner une définition d’une autre forme de dérivée, les dérivée partielles, ce sont des dérivées seulement selon une direction choisit. Définition I.3. Soit f : Ω → E, e ∈ Ω et x0 ∈ Ω. On dit que f possède une dérivée partielle selon e en x0 si la limite de λ 7→ f (x0 +λeλ)−f (x0 ) en 0 existe. Si elle existe on note alors ∂e f (x0 ) cette limite. Définition I.4. Soit (E1 , k · k1 ),...,(En , k · kn ) des espaces vectoriels normés, f : E1 × ... × En → E et a = (a1 , ...an ) ∈ E1 × ... × En . On dit que f possède une différentielle partielle en a selon xj si x 7→ f (a1 , ..., aj−1 , x, aj+1 , ..., an ) possède une différentielle en aj . 3

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Quelques fonctions différentiables

Propriété I.2. Soit I un intervalle ouvert et f : I → R une fonction, et x0 ∈ I. f est dérivable en x0 , si et seulement si, f est différentiable en x0 et sa différentielle est h 7→ h.l pour un certain l ∈ R. Si c’est le cas alors l = f ′ (x0 ). Démonstration. On sait que f est dérivable en x0 , si et seulement si, il existe l ∈ R tel que pour tout h dans un certain intervalle contenant 0 on ait f (x0 + h) = f (x0 ) + h.l + o(h). Cela conclus. Propriété I.3. Soit f E → F une application linéaire continue. f est alors différentiable sur E de différentielle pour tout x ∈ E, dx f : h 7→ f (h). Démonstration. f (x0 + h) = f (x0 ) + f (h), de plus, h 7→ f (h) est continue et cela conclus. Propriété I.4. Soit (E1 , k · k1 ),...,(En , k · kn ) des espaces vectoriels normés et f : E1 × ... × En → E une application n − linaire. f est alors différentiable sur (E1 , k · k1 ),...,(En , k · kn ) de différentielle dx f : n P h 7→ f (x1 , ..., xk−1 , hk , xk+1 , ..., xn ) k=1

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Opérations et propriétés élémentaires sur les fonctions différentiables

Propriété I.5. Si f est un fonction différentiable en x0 alors f est continue en x0 . Démonstration. Cela découle de la continuité de la différentielle. Propriété I.6. Soit f : Ω → F , g : Ω → F deux fonctions différentiable et λ ∈ F. λf + g est alors différentiable de différentielle λdx f + dx g . Démonstration. Soit h ∈ Ω. λf (x + h) + g(x + h) = λf (x) + λdx f.h + o(khk) + g(x) + dx g.h + o(khk) = λf (x) + g (x) + λdx f.h + dx g.h + o(khk) λdx f + dx g est continue par opérations sur des fonctions continues. Cela conclus. 4

Propriété I.7. Soit (G, k · kG ) une espace vectoriel normé et ∆ un ouvert de G. Soit f : ∆ → F et g : Ω → G deux fonctions différentiables pour lesquels la composée de f ◦ g est définie. f ◦ g est alors différentiable, et de différentielle dx (f ◦ g).h = dg(x) f.dx g.h Démonstration. f ◦ g(x + h) = f (g(x) + dx g.h + o(khk)) = f ◦ g(x) + dg(x) f.(dx g.h + o(khk)) + o(kdx g.h + o(khk)k) = f ◦ g(x) + dg(x) f.Dx g.h + dg(x) f.o(khk) + o(kdx g.h + o(khk)k). Vérifions que le terme restant est bien négligeable devant h 7→ khk. h (dg(x) f.o(khk)+o(kdx g.h +o(khk)k))/khk) = dg(x) f.o(1) + o(kdx g. khk +o(1)k) Puisque la différentielle est continue, dg(x) f.o(1) → 0 lorsque h tend vers 0. h De plus il existe α ∈ F(Ω, F ) telle que α(h) → 0 lorsque h → 0 et o(kdx g. khk + h o(1)k) = kdx g. khk + o(1)kα(h). h h kkdx g. khk k + ko(1)k)kα(h)k + o(1)kα(h)k ≤ (kdx g. khk h ≤ (kdx gkLc (E,G) k khk k + ko(1)k)k)α(h)k = (kdx gkLc (E,G) + ko(1)k)α(h)k Ainsi le terme résiduel est négligeable devant khk. Donc f ◦ g(x + h) = f ◦ g(x) + dg(x) f.dx g.h + o(khk). De plus h 7→ dg(x) f.dx g.h est continue par composition d’application continue. Ce qui conclus.

Propriété I.8. Soit f : Ω → F une fonction différentiable, alors toutes les dérivées partielles existent et ∂e f (x) = dx f.e pour tout (e, x) ∈ Ω2 . Démonstration. Soit e ∈ Ω et t ∈ R+ tel que te ∈ Ω. f (x + te) = f (x) + dx f.te + o(ktek) = f (x) + tdx f.e + to(kek) f (x) Donc f (x+te)− = dx f.e + o(1) → dx f.e. t Ainsi les dérivées partielles existent et ∂e f (x) = dx f.e.

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