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ANNEXE B : CALCUL D’INCERTITUDE Toute mesure expérimentale comporte une incertitude. On ne peut rapporter des résultats expérimentaux sans présenter l’incertitude qui leur est associée. Cela permet d’établir confiance en leurs valeurs et en la validité des observations ou conclusions basées sur leurs résultats Par exemple, on ne peut affirmer si un certain paramètre augmente ou diminue lorsqu’un autre augmente, si la variation mesurée est plus petite que l’incertitude de la mesure. Le calcul d’incertitude, dans la « vraie vie », ne doit pas intervenir en dernier lieu du calcul comme c’est le cas dans les travaux dirigés. Une estimation de l’incertitude des paramètres à mesurer fait partie de la planification de l’expérience et doit assister dans le choix des instruments et des méthodes de mesures. En effet, il serait inadéquat d’investir temps et argent dans une expérience pour découvrir à la fin du travail que les résultats sont non-concluants à cause de grandes incertitudes relativement aux variations ou aux valeurs à obtenir. On présentera ici les différentes méthodes usuelles qui permettent l’estimation de l’incertitude de mesures directes et l’incertitude des résultats de mesure indirectes. Il existe deux formes d'écriture pour l'incertitude : 

Absolue : avec une unité de mesure, par exemple (2,1 ± 0,4) m. C’est cette écriture qui doit être utilisée dans les tableaux présentant les mesures et les résultats.



Relative : sous forme de pourcentage, par exemple 21kg à 6%. Cette forme est parfois préférable dans une discussion des résultats, dépendamment du genre de discussion. Cependant, il faut faire attention et ne l’utiliser que lorsque le pourcentage a une signification physique. Par exemple, 6% d’une masse de 21 kg représente une quantité de matière dont la masse est égale à 1,26 kg, tandis que 6% de la température de 23˚C n’a aucune signification physique.

Estimation des incertitudes de mesures directes Instrument avec lecture analogique : Une multitude d’instruments exige de l’expérimentateur qu’il fasse la lecture de la mesure sur une échelle graduée. De tels instruments inclus, par exemple, une règle ou le vernier d’un pied 27

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à coulisse (mesure de longueur), un thermomètre à mercure ou à alcool (mesure de température), un chronomètre à aiguilles (mesure de temps), le cadran d’un galvanomètre (mesure de courant), l’écran d’un oscilloscope (tension et temps), etc. Toute mesure qui est faite sur un tel instrument résulte en une erreur de lecture. En pratique, on limite cette erreur à la moitié de la plus petite division car généralement si la mesure est se situe entre deux graduation, le maximum de doute qu’on peut avoir dans sa lecture est égale à la moitié de la division. A cette erreur, on doit aussi ajouter l’erreur d’étalonnage de l’instrument. L’incertitude de la mesure est donc la somme de ces deux erreurs: ±∆= ±(précision de l’étalonnage +½ de la plus petite division)

Deux situations expérimentales peuvent se présenter : La première implique une mesure dont le résultat est directement la lecture. Par exemple, une mesure typique de température, réalisée à l’aide d’un thermomètre à mercure, peut se lire 22,5˚C. Si l’étalonnage de ce thermomètre est garanti par le manufacturier à ±1˚C et que les plus petites graduations sont de 0,5˚C, alors le résultat de la mesure devient T = 22,5 ± 1,2˚C. La seconde situation implique une mesure dont le résultat est la différence entre 2 lectures. Par exemple la mesure de l’amplitude d’une tension à l’aide d’un oscilloscope nécessite la mesure de la position des minimum et maximum de tension sur l’écran. Le minimum est positionné à 0,6 cm et le maximum est localisé à 6,3 cm. Puisque la plus petite division sur l’écran est de 0,2 cm, alors la hauteur mesurée devient h = 6,3 ± 0,1 cm – 0,6 ± 0,1 cm = 5,7 ± 0,2 cm. L’oscilloscope, étalonné avec une précision de 3%, étant opéré sur l’échelle de 0,2 V/cm, alors le résultat de la mesure est V = 1,14 ± 0,07 V où la contribution de l’étalonnage à l’incertitude est de ±0,03 V et celle de la lecture est de ±0,04 V. Instrument avec affichage numérique : De nos jours, il est très fréquent d’utiliser des instruments de mesure qui présentent les résultats de façon numérique, que ce soit sur un affichage ou sur un écran d’ordinateur. Le problème de lecture mentionné à la section précédente devient donc caduc. La valeur mesurée est alors directement la valeur lue, sans erreur de lecture. Il faut donc se fier au manufacturier pour estimer l’incertitude. Ce dernier offre typiquement une formule qui permette d’estimer l’incertitude en tenant compte de la précision de l’étalonnage et de l’erreur causée par le traitement qu’il a appliqué pour obtenir la valeur mesurée: 28

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±∆= ±(précision de l’étalonnage + l’unité du chiffre le moins significatif) Par exemple, un voltmètre, dont le manufacturier indique une précision de l’étalonnage de 0,1%, avec affichage numérique, mesure un voltage de 4,89 V. L’incertitude sur cette mesure égale à ± 0.015 V, où la contribution de l’étalonnage à l’incertitude est de ±0.005 V (0,1% de 4,89 V) et celle correspondant au chiffre le moins significatif de l’affichage est ±0,01 V. Estimation des incertitudes de mesures indirectes La méthode présentée dans cette section est appelée méthode de calcul différentiel. C’est la méthode adoptée ici. Il existe d’autres méthodes d’estimation, par exemple la méthode des extrêmes, que nous ne présenterons pas. Considérons une variable Q dont la valeur dépend des paramètres x, y et z comme suit :

Q

= q(x, y, z). Ces paramètres sont mesurés avec certaines incertitudes : x±∆x, y±∆y et z±∆z. Par conséquent, il y a une incertitude ∆Q sur la valeur de Q qui est donnée par : 2

  q( x, y, z) x  (Q)  x x , y, z   2

 ( , , )  q x y z y 

2

 y  x, y, z 

2

  ( , , ) z   q x y z z x , y, z  

Cette méthode est basée sur une approximation utilisant une expansion en série de Taylor dont on a gardé que les premiers termes. Il en découle qu’elle s’applique seulement lorsque les incertitudes sont faibles (typiquement...