Calculo Diferencial Jorge Saenz Segunda Edicion Completo PDF

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CALCULO DIFERENCIAL CON FUNCIONES TRASCENDENTES TEMPRANAS PARA CIENCIAS E INGENIERIA SEGUNDA EDICION Jorge Sáenz Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado I HIPOTENUSA I Barquisimeto 2005 Cálculo Diferencial para cienctea e Ingeniería © Jorge Saenz Depósito Legal: lf83720045102 5 9 2 ISBN.: 9 6...

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CALCULO DIFERENCIAL CON FUNCIONES TRASCENDENTES TEMPRANAS

PARA

CIENCIAS E INGENIERIA SEGUNDA EDICION

Jorge Sáenz Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado

I HIPOTENUSA I Barquisimeto 2005

Cálculo Diferencial para cienctea e Ingeniería © Jorge Saenz Depósito Legal: lf83720045102 5 9 2 ISBN.: 9 60-6566-0 4- 5 Editado y dístrí buído p or :

Inversora HIpote nusa Telf.: (0251 ) 2521807

e-marl: Jorsaen z@latInmall,oom Barquíaímeto - Estado Lar-a Impresión: Tipografía y L1tografia Horlzonta C.A. Calle 41 entre Av. VZ1a. y Carro2 7 - N" 26-72 Telefax:(025 1) 4462324 - 4 4623 17

e-matl : eds-nortzonteecanrv.ner Barquístmeto - Estado Lara

rra pr -es tén 2005

Derechos Reservados La presente edición y sus característícas gráflca..9, son propiedad ex clusiva de

Invers ora Hipotenusa, quedand o prohibida su reproducción par cial o tota l sin la autortzact ón del editor. Impres o en Vene zuela

- Prlnted in Venezuela

vii

PROLOGO Esta segun da edición aparece diez años después que se publicó la primera. Es muy gratificante la acogida que ha tenido la primera edición . En esta segunda edición, al igual que en la anterior, se ha buscado equ ilibrar la

teoría y la práctica. La teoria es acompañada de numerosos ejemplos. Cada sección pres enta una sección de problemas resueltos, donde muchos problemas típicos de relevancia son desarrollados con todo detalle. La gran mayoría de teoremas son

presentados con sus respectivas demostraciones. Cuando la demostración es

compleja. ésta es presentada como un problema resuelto. La gran novedad de esta segunda edición es la incorporación en el texto de las funciones exponenciales, logarinni cas e hiperb ólicas (funcio nes trascendentes). Este hecho nos traerá dos ventajas muy significativas. En primer lugar, nos pennirirá tratar temp ranamente temas importantes como la regla de L'H ópital y la derivación

logarítmicas. ESIOS temas corre spondían a cursos posteriores. En segundo lugar, los

ejemplos y aplicaciones serán más interesantes y másvariados. Para la graficación de funciones y para cálculos auxiliares hemo s hecho uso extensivo de los paquetes compu tacionales Derive y Graphmatica, Se Rec omienda

el estud iante el uso de estos o cualquier otros sistemas algebraicos de computación. lI e recibido valiosa ayuda y sugerencias de parte de muchos colegas. Entre estos tenemos a Maribel Perdomo, José Luis Linares, María Torralba, Wol gfang Hernández, Alexand er P érez, En forma muy especial hago testimonio de mi gratitud al Jng. Alexis S alced o ya l a e stud iante d e matemá ticas. Br. Lucybeth Guti érrez,

quienes tuvieron la tarea de revisar todo el texto.

Jorge Sáenz Camac ho Barquisimeto, setiembre 2.005

iii

CONTENIDO 1

FUNCIONES REALES Rellé Descartes Introducción

l.l Funciones Reales y sus Gráficas

1 2 3 4

1.2 Nuevas funciones de funciones conocidas

20

1.3 Funciones Inversas

31

1.4 Funciones Trigonométricas Inversas

35

1.5 Funciones exponenciales

40

1.6 Funciones logarltmicas

47

1.7 Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarltmicas

53

Brevehistoria de las ecuaciones de tercery cuartogrado

2 LIMITES Y CONTINUIDAD LeanardoEuler 2.1 Inlroducción Inluiliva a los Límites 2.2 Tratamienlo Riguroso de los Límites

62

63 64 65 81

2.3 Limites Trigonomélricos

101

2.4 Continuidad

108

2.5 Límites Infinilos y Aslnlolas Vertleales

122

2.6 Limites en el Infinilos y Asíntotas Horizonlales

134

2.7 Los Limites y el Numero e

150

2.8 Asinlotas Oblicuas

153

Brevehistoria de 7t

160

iv

3

DlFERENCIACION

Isaaclvewton

181 182

3.1 La Deriv ada

183

3.2 T écnic as B ásicas de Derivación

196

3.3 Beri\'ad.ls de las Funciones Trigonométricas

210

3.4 Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

3.5 La Regla de la Cadena

4

OTRAS TECNICAS DE DERIVACION

213

216

205

Gottfried Wilheld Leibniz

206

4.1 Derivación Implícita y Teorema de la Función Inversa

207

4.2 Derivación Logaritmíca

221

4.3 Derivadas de las Funciones de las Funciones Trigonométricas Inversas

225

4.4 Derivadas de Orden Superior, Velocidad y Aceleraci ón

228

4.5 Funciones Hiperb ólicas y sus Inversas

240

4.6 Razón de cambio

251

4.7 Aproximacíones Lineales y Diferenciales

267

Breve Historia Familia Bernoulll

278

v

5 APLICACIONES DE LA DERIVADA Guillaume F. A. M. de L 'Hti5pital

279 280

5.1 Máximos y Mínimos Absolutos

281

5.2 Teorema del Valor Medio

287

5.3 Monótonas, Concavidad y Criterios para ext remos locales

301

5.4 Formas Indeterminadas. Regla de L'Héspital

317

5.5 Trazado cuidadoso del grafico de una función

334

5.6 Prob lemas de Optimización

346

5.7 Método de Newton-Raphson

375

APENDICES

Al

A Números reales, Intervalos, Desigualdades y Método de Sturm

A2

B Valor Absoluto

AI4

e

Ecuaciones Polin ómicas

A21

Plano Cartesiano, Craflcas, Simetrías y Traslaciones

A31

E

La Recta )' la ecuación de Primer Grado

A39

F

Circunferencia, Parábola, elipse e Hipérbola

ASO

D

G Trigonometría

RESPUESTAS

A59

A73

vi

INDICE ALFABETICO

TABLAS

AI02 AlOS

Algebra

AIOS

Geometría

AIOó

Trigonometría (Identidades)

AI07

Funciones trigonométricas de ángulos Notables

AI09

Exponentes y logaritmos

AltO

Identidades Hiperbólicas

AI10

Alfabeto Griego

AI10

Fórmulas de Derivación

Al 11

1 FUNCIONES REALES RENE DESCARTES (1.59 6 - 1.650)

INTRODUCCION 1.1 FUNCIONES REALES Y SUS GRAFICAS

1.2 FUNCIONES NUEVAS DE FUNCIONES CONOCIDAS 1.3 FUNCIONES INVERSAS

1.4 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS I NVERSAS 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 1.6 FUNCIONES LOGARITMICAS 1.7 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONEN CIALES Y LOGARITMICAS BR E VE HISTORIA DE LAS ECUACIO NES DE TER CER Y CUAR TO GRADO

Cap ítulo 1. Funci ones Reales

2

René Descartes (1.596 - 1.650)

Reu é Descartes, fi losofo. matemático y fí sico franc és, nació en La l tcya. Es consi derarlo como el padre de la fílosofia moderna. De él es la fa mosa frase : "Cogito. ergo sum' (Pienso. luego existo). Fue un niño de si ng ula r inteligencia , p ero [ isícamcntc deLJI'!. Durante los

(l/l O.\'

de su

educació n en el colegio jesuita de la Fleche, los religiosos, pa ra mitigar el frío de las duras mañanas de invierno. le permitian permanecer en la ,'ama. Se dice que f ueron precisamente durante esas ociosas horas de cama cuando Descartes concibiá las ideas fundamentales de la Geometría Analítica. En 1.637 escribe e/ libro G éometrie en el que da nucimien to oficial ala Gcom etriu Analítica. Su compatriota Píerre de Fermat (/ .601-1.665), independientemente, también descubría los princip iosfiunknnentales de esta ciencia. En 1.618 se mudó II Holanda donde 'vivió 21 mios. Durante esta permanencia '!sc:ribió sus principales obras: Principios de Filosojia, El Discurso del Método, Las 't1etUtacioll e.\, etc. En 1.649, la jo ven y energét ica reina Cristina de Suecia lo invitó a Estocolmo, como ,u tutor defilosofia. Sus clases eran en las tempranas horas de la mañana. El eminente 7lósof o y dis ting uido matemático 110 soportó el duro invierno sueco, muriendo a -onsecuencia de una neumonía el año siguie nte de su llegada a Estocolmo. ACONTECIMIENTOS I M POR TA N TES Durante la vida de René Descartes, en América y en el mundo hispano sucedieron os sig uientes hechos notables: En 1.609 el cronista peruano Inca Gracilazo de la lega, hijo de un conquistador y de Ulla princesa india, pub lica "Los Comentarios 'lea/es", famosa obra que cuenta la historia del Imperio Incaico . El / 7 de eptiembre de / .630, en la desembocadura del río Charles, lI fl OS colonos ingleses 'undun la ciudad de Boston. En 1.636 en Cambridge. ciuda d contigua a B0.\10n, se nnda la Universida d de Harvard. Para ese entonces, la América Española ya -ontoba. desde muchos mios atrás. COIl la Universidad Mayor de San ..vtarcos (Lima, .55 /) Y la Universidad de Santo Domingo

Capltul u l . Funciones Reales

3

INTRODUCCION Antes de iniciamos en el desarrollo de Cálculo necesitamos ponemos de acuerdo en algunas notaciones y en revisar algunos conceptos muy generales que son propios de toda teoría matemática. Recordemos que un axioma es una proposici ón que, por convención, admitimos que es verdadero, sin el requisito de una demostración. En cambio , un teor ema , es

una propos ición, cuya veracidad requiere de una demostraci ón o prueba. La gran mayoría de los teoremas que encontraremos más adelante tiene la forma

de una proposición condiciona l: Si H, entonc es T. que se simboliza así: H => T . Aqu í, H es la hipótesis yT es la tesis Una demostración o pru eb a de un teorema es una secuencia de proposici ones que termina con la tesis, donde cada paso de la secuencia es una hipótesis, un axioma o un teorema previamente demostrado.

A la proposición bicondicional: P si y sólo si Q. lo simbo lizamos así: P

Q.

Ona proposición bicondlcion al P

Q, como su nombre lo sugiere , es la

conjunción de dos propos iciones cond icionales: P => Q y Q => P. Toda definición, aunque a vec es no se 10 exprese explíci tamente. es una

propos ición bicond icional. Algunos teoremas tienen la forma bicondicio nal, P .;:::. Q. En este caso. en realida d estamos al frente de dos teoremas : P => Q y Q => P. Esto s ignifica que para prob ar P .;:::. Q, debemos aportar dos demostraciones, la de P => Q y la de Q => P.

En nuestra expos icion nos encontraremos con muchos teoremas, unos más importantes que otros. A los teoremas de los cuales pensamos que no son tan relevantes, los llamamos simplemente proposiciones . Con frecuencia, con el ánimo de simplificar la escritura, usaremos los siguientes

símbolos: 1. 2. 3. 4. 5.

V, que significa: para todo. 3 , que significa: existe. 31, que significa: existe)' es ún ico 1\ , que significa: )' ( conjunció n lógica ) v , que significa: o (disyunción lógica)

Ca pítu lo 1. Funciones Reales

4

SECCION 1.1 FUNCIONES REALES Y SUS GRAFICAS

IDEFlNI CION l

Una funci ón es una tríada de objetos (X, Y, 1), donde X e Y son dos conjuntos y f es tilla regla que hace corresponder a cada elemento de X un único elemento de Y . Al conj unto X se le llama do min io de la función y al conjunto Y, conjunto de lleg ada de la función. X -

-

-

-y

A una función (X, Y, 1) se le denota más comú nmente por f :X ---+Y Y se Ice: " la [unción

ó

r de

X ~ Y X en Y".

Para indicar que a un elemento x de X, f le hace corresp onder el elemento y de Y, se escribe así: y = f(x), lo cual se lee "y es igua l a f d e x". También diremos que y es el valor que toma f en x ó que y es la imagen de x med iante f. El elemento x, en este caso, es una preímagen del elemento y. A la variable que usamos para denotar los elementos de l dominio se le llama va r ia ble in dependiente y a la variab le que denota las imág enes, variab le dependiente . En nuestra notación anterior, y = Ilx), la variab le in de pe nd iente es x y la dep endien te es y. Las letras x e y, por ser variab les, pueden ser cambia das por cualq uier otro par de letras. Así, podemos esc ribir z = [(t), e n cuyo caso, la variable independiente es t y la dep endiente es z. Dadas las funciones f: X ---+ y y g : X ---+ Y. Diremos que: [=

g

f(x)

= g(x),

V

XE

X

El rango de la función f X ---+ y es el conjunto formado por todas las im ágenes. Esto es, Ra ngo de

[ = {

f(x)

E

YI x

E

X}

Al do minio y al rango de una función f: X ---+ y los abrev iaremo s con Dom(1) y Rang(I), respectivamente.

IOR SERVAC ION I

En la defi nición de fun ción hemos utilizado dos térmi nos que merece n atención. Uno de ellos es "ca d a" , el cual indica que todo elemento del dominio debe tener una imagen . El otro término es "único", el cual indíca que todo elemento del domi nio tiene exactamente una imagen.

Cap ftulo 1. Funciones Reales

IEJEMPLO 1.1

5

Sea la función f: X ~ Y, dond e X = {a, b, e, d }, Y = { I, 2, 3, 4, 5) Y cuya regla f está dada por el gráfico adjunto. Se tiene:

Dominio = Dom(l) = X = {a, b, e, d } Conjunto de llegada Rango

~

Rang( l)

~

= Y = (l , 2, 3, 4, 5)

{J , 4, 5)

La regla f establece que: f(a)

1

EJEMPLO

2.1

~

3, f(b) ~ 5, f(c)

= 3,

f(d) = 4

Sea X un conjunto cualquiera. A la siguiente función se le llama función identidad del conj unto X.

X---'" X

En este caso , el do minio, el conju nto de llegada y el

rango, todos coinciden y son iguales a X. Esto es. Dom (f) = Conj unto de llegada = Rang (f) = X La regla 1X hace corre sponder a cada elemento x el mismo elemento x.

FUNCIONES REALES Las funcion es que nos interesan en el curso de Cá lculo son las funciones reales de variable real. Una función real d e variable real es una función cuyo dominio y cuyo conju nto de llegada son subconj untos de R. Así, son funciones de este tipo:

a. f:1R

~

R

b.

f(x) = x

g: IR - {O} ~ R

1

g(x) = -

x

e.

h: R~

h(x)

~

R

5

ICONVENCION . I Con el objeto de simplific ar la notación , para presentar una función real de variab le real f: X ~ R daremos simplemente la regla f, prescindiendo del dominio X y del conjunto de llegada R. Par a esto, adoptamos la convención de que el dominio es el mayor subconj unto X de R en el cual la regla f tiene sentido . AsI, por eje mplo. diremos la función : f(x) =

-.L] x-

en lugar de la función:

Cap ítu lo 1. Funci ones Reales

6 2

f:IR- {I}~IR ,

f (x)= x _ l

Aquí el dominio es X = R - {1}. Hemo s eliminado a 1 ya que no existe división entre O. Además, 1 es el único elemento que presenta esta situación.

IEJEMPLO 3. 1Hallar el domin io y el rang o de las funciones: 2. g(x) = ~

1. f(x) = x - 3

So lució n 1. Como f(x ) = x - 3 está definido para todo x

E

Por otro lado, Ran g(f) = IR . En efecto, dado y cumple que x

E

R

= Dom(f)

iR, tenemo s que Dom(f) E

=

iR.

R, tomamos x = y + 3. Se

y

f(x) = x - 3

=

(y + 3) - 3

= y.

2. Como la expresió n subradi cal de g(x) = ~ debe ser no neg ativa, ten emos: x - 3 2: O x 2: 3 x Esto es, Dom(g) Por

OU'O

E

[3.+00),

= [3,+etJ).

lado, Rang(g) = [O, +etJ). En efecto, dado y E [O, +CO) tomamos x = y2 + 3.

Se cumple que x ~ 3, o sea x

E

[3,+00) Y

g(x) = ~ = J(y 2 +3) - 3 = P

=I y l= y

GRAFICAS DE FUNCIONES Y CRITE RIO DE LA RE CTA VERTICAL . Se llama gr áfic o o gráfica de la función

y y = f(x)

f :X ....R al conj unto:

Domin io

x

No toda curva en el pl ano es el gráfic o de una función. Para reconocer las curvas ue corr espond en a gráficos de funciones se tiene el siguiente criterio geométrico :

Capitu lo 1. Funciones Reales

7

CRln: R10 DE LA RECTA VERTICAL Una curva en el plano es el grá fico de un a función si y sólo si toda r ect a ver tical corta a la curva a lo más una vez , La veracidad de este criterio estriba en el hecho de que si una recta verti cal x = a corta a la curva dos veces, en (a, b) y en (a, e), entonces a tiene dos imágenes, b y c; pero esto viola la defini ci ón de función. De acuerdo a este criterio, de las siguientes curvas, sólo la última representa a una funci ón:

1EJE:\I PLO 4.1Grafi car y hallar el dominio y ftx )~

x

2

-

rango de la función:

x- 6

x- 3

Solució n

y

y =x +2

Es claro que Dom (1) = R - {J}. Por otro lado, factorizando el numerador tenemos que: IY

_

" x) -

(x + 2)(x - 3)

x- 3

x

Si x "' 3, simplificamos el factor x - 3 y obtenemos: f(x)

~

x + 2, para x " 3.

Luego, la función ftx )

x- 3

en el punto x ~ 3, en el cual f no está definida . En consecuencia, el rango de f es igual al rango de y ~ x + 2 menos el número y = 3 + 2 = 5. Esto es, Rang(1) ~ IR - {5} FUNCIONES DEFINIDAS POR TROZOS Algunas funciones son definidas por partes, como en los dos siguientes ejemplos.

IEJEM PL O 5.1Graficar y hallar el dominio y rango la función parte ente ra : f(x) = [ x]

=n

l

si n ~ x < TI + 1, donde

TI es

un entero.

A esta funci6n también se la llama función máxim o en tero o, simplemente, funci ón escaler-a.

Capítulo 1. Funcion es Reales

8 Solución

En términos más explícitos, a esta función la definimos asl: y _ -o, si -2 "; x 800 , el exceso sobre 800 es x - 800 Y la utilidad por unidad ha decr ecido en; 2(x - 800) ~ 2x - 1.600 Por lo tanto : y Utilidad por unidad = 300 - (2x - 1.600) = 1.900 - 2x U(x) = (utilidad por las primeras 800) + (utilidad por las que exced en 800)

~ 300(800) + ( 1.900 - 2x) (x - 800)

= - 2x 2 +

3,500x - 1.280.000

En resumen , la utilidad al producir x artículos es; 300 x, si O,; x s 800 U(x) ~ { _ 2x 2 + 3.500x _ 1.280.000, si x > 800 b. U(1.200) ~ - 2( 1.200)2 ~

+

3.500( 1.200) - 1.280.000

- 2.880 .000 + 4.200.000 - 1.280.000 = 40.000

IEJEMPLO 12.1

De un tronc o de madera, que tiene una sección circul ar de 3 dm , de radio, se quiere tener un...