Calculo Filtro Passa Baixas PDF

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Aspectos práticos de modelagem e implementação analógica de um filtro passa-baixas de 5a ordem. Explica como modelar....

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Cálculo e Implementação de um Filtro Passa-Baixas g Abstract – Neste trabalho foram estudados os filtros eletrônicos com uma ênfase especial em filtro passa-baixas. Filtros são equipamentos muito utilizados na área da eletrônica, servindo para condicionamento de sinais, eliminando partes indesejadas do sinal. As principais topologias de filtros são a Sallen-Key e a MFB, dando ênfase a primeira. Para esta topologia há tabelas de aproximações para o cálculo de componentes, sendo que as principais são a Butterworth e a Chebyshev. Para fins de estudos foi implementado um filtro Passabaixas na topologia Sallen-Key com aproximações de Butterworth, obedecendo algumas características de projeto que desejamos. I. INTRODUÇÃO De modo geral, podemos dizer que um filtro é um dispositivo ou mecanismo que rejeita a passagem de "coisas" ao qual não queremos. Podemos utilizar como exemplo um filtro de café, que rejeita o borro enquanto permite a passagem do café. Assim como no exemplo do café, um filtro elétrico, é um quadripolo [1] que permite a passagem de sinais elétricos em determinadas frequências ou faixas de frequência, evitando a passagem de outras [2]. Filtros eletrônicos podem receber diversas denominações a depender de sua aplicação. Os mais comuns são passa-baixas(permite a passagem de baixas frequências), passa-altas(permite a passagem de altas frequências), passafaixas(permite a passagem de uma determinada faixa de frequências) e rejeita-faixas(rejeita determinada faixa de frequência). Muitos problemas podem ser resolvidos com a utilização de filtros, inclusive problemas mais complexos como análise estatística de séries temporais estão relacionados com algum tipo de uso de filtros de passa-baixas [3]. Podemos utilizar filtros até mesmo em cargas não lineares [4], em compensação de potência reativa, harmônica, de balanço de flicker e regulação de tensão para condicionamento de energia [5]. Em sistemas de controle digitais, ruídos de alta frequência aparecem no sinal medido pelo ADC. Estes devem ser bloqueados antes de chegar no conversor para evitar erros de alliasing(amostragem em taxa superior a de de Nyquist1 ). Um filtro analógico passa-baixas adequado colocado imediatamente antes do ADC pode bloquear todos os componentes de frequência capazes de causar alliasing no ADC [2]. Um filtro passa-altas poderia ser utilizado para direcionar as altas frequências a um tweeter enquanto bloqueia os sinais 1 O Teorema de Nyquist diz que a taxa de amostragem de um sinal por um ADC deve ser pelo menos o dobro da maior componente do sinal a ser amostrado, sob pena de que o sinal medido não demonstrar fielmente o sinal original

c IEEE 978-1-4799-8779-5/15/$31.00 2015

mais graves que poderiam interferir ou danificar o alto-falante. Filtros passa-faixas podem ser utilizados nas aplicações que envolvem a seleção de sinais de determinadas frequências, geralmente são usados em telecomunicações, eletrônica médica, aplicações de consumo e industriais [6]. II. DEFINIÇÕES GERAIS Ao trabalharmos com filtros, algumas definições são de extrema importância, tais como: • Banda Passante: É a faixa de frequência em que os sinais passam pelo filtro sem serem atenuados [7]. Usualmente é a faixa de valores de frequência em que desejamos que o filtro não rejeite tensões. Definida abaixo da frequência de corte(para filtros passa-baixas), entre as frequências de corte(parte filtro passa-faixas) ou acima da frequência de corte (para filtros passa-altas). • Frequência de corte( fc ): É definida como a frequência na qual a potência média de saída é a metade da potência de entrada [8], o que em geral significa uma atenuação de -3db em relação ao ganho da banda de passagem [1]. Estas definições podem ser vistas com mais clareza na Figura 1.

[1] Fig. 1. Definições de um filtro de forma prática

Filtros podem ser divididos nas seguintes categorias [1]: Filtros Passivos: Construídos apenas de elementos passivos, como resistores, capacitores e indutores. Tais filtros são inviáveis em baixas frequências, pois exigem indutores muito grandes. • Filtros Ativos: São construídos com alguns elementos •

•

passivos associais a elementos ativos (válvulas, transistores ou amplificadores operacionais).s0 Filtros Digitais: Utilizam componentes digitais. Um sinal analógico é convertido em digital através de um ADC. Este sinal é processado e o resultado é convertido novamente em um sinal analógico. São úteis quando muitos canais de transmissão de dados necessitam ser processados através de um mesmo filtro.

Equação 2. A0 1 + wc [C1 (R1 + R2 ) + (1 − A0 )R1C2 ]s + ω c2 R1 R2C1C2 s2 (2) R3 Em que A0 = 1 + R4 A(s) =

III. TOPOLOGIAS MAIS UTILIZADAS A. Filtro de primeira ordem não-inversor Esta é uma das mais simples topologias de filtros, exigindo poucos componentes. Geralmente é aplicado quando uma banda de transição rápida não é necessária ou quando um filtro de maior ordem provocar alterações significativas no sistema ao qual o filtro será aplicado. A Figura 2 mostra a topologia geral de um filtro de primeira ordem passa-baixas não-inversor [2].

R2

C. Filtro de Segunda Ordem com Topologia MFB(Multiple Feedback Topology) A Topologia MFB é comumente utilizada em situações em que um alto ganho é necessário [2]. A Figura 4 mostra a topologia geral de um filtro passa-baixas de segunda ordem com topologia MFB [2].

R3

R2 C1

Vin

R1

Vout

Fig. 2. Topologia Geral do Filtro Passa-Baixas não inversor de primeira ordem

Onde a função é Transferência deste filtro é dada pela Equação 1. 1 + RR2 3 (1) A(s) = 1 + ωc R1C1 s B. Filtro de Segunda Ordem com Topologia Sallen-Key Entre as topologias mais utilizadas, destacam-se as topologias com realimentação positiva(geralmente chamadas de Sallen-Key). Entre as suas vantagens está o fato de que a mudança no ganho do amplificador utilizado não impacta na frequência dos polos do sistema [9]. A Figura 3 mostra a topologia geral de um filtro passa-baixas de segunda ordem com topologia Sallen-Key [2].

R3 R1

R1

R3 Vout

C2

C1

Vin

Vin

R4

R2

Vout C1 C2

Fig. 3. Topologia Geral do Filtro passa-baixas de Topologia SallenKey

Onde a função é Transferência deste filtro é dada pela

Fig. 4. Topologia Geral do Filtro passa-baixas de Topologia MFB

Onde a função é Transferência deste filtro é dada pela Equação 3. R2 R1 A(s) = − (3) R2 R3 1 + ωcC1 (R2 + R3 + )s + ωc2C1C2 R2 R3 s2 R1 IV. FILTROS DE BUTTERWORTH

Filtros Butterworth são projetados para ter uma banda passante linear, sendo utilizados por exemplo em filtros anti-alliasing, onde são necessários níveis de sinal precisos em toda a banda passante [2], utilizados também em muitos controladores digitais [10], e até mesmo para subtrair ruídos de baixa magnitude dentro do espectro eletromagnético [11]. Segundo [1], os filtros de Butterworth passa-baixas apresentam a resposta encontrada na Equação 4. |H( jω)| = q

A0 1 + ( ωωc )2n

(4)

A Figura 5 mostra uma topologia geral para o diagrama de bode resultante de um filtro com aproximações Butterworth.

[2]

[2] Fig. 5. Diagrama de Bode Geral para Filtros com aproximações de Butterworth

Fig. 6. Diagrama de Bode Geral para Filtros com aproximações de Chebyshev

Como podemos ver, a banda passante do filtro é linear até próximo da frequência de corte ( fc ), onde o filtro começa atenuar. É possível ver também que quanto maior a ordem do filtro, mais a resposta se aproxima de uma resposta ideal, fazendo a banda de transição cair de forma mais abrupta. A taxa de atenuação do filtro Butterworth [1] é dada pela Equação 5: Aten = −20n ∗ log (ω/ωc ) (5)

É possível notar na figura 6, que filtros Chebyshev não apresentam uma banda passante constante, apresentando algumas ondulações de amplitude constante ao longo do caminho [2]. Um fato importante a ser observado é que quando maior a amplitude do riplle, maior será a atenuação obtida na faixa de transição [1]. Cada estágio de segunda ordem é responsável por um ripple e os filtros de ordem pares geram ondulações acima de 0 dB, enquando os filtros de ordem ímpares geram ondulações abaixo de 0 dB [2].

Ou seja, um filtro de segunda ordem atenua 40dB/década; terceira ordem atenua 60 dB/década; E assim sucessivamente. Ainda pela Figura 5, é possível notar que a resposta não é muito boa próxima a frequência de corte, principalmente quando se trata de baixa ordem, tendo uma transação pouco aguda até a frequência de corte.

V. FILTROS DE CHEBYSHEV

Os filtros de Chebyshev prometem aumentar a transição perto da frequência de corte. Segundo [1], considerando dois filtros de mesma ordem, um de Butterworth e outro de Chebyshev, temos uma transição mais rápida no segundo caso. Os filtros Tschebyscheff são freqüentemente usados em bancos de filtros, onde o conteúdo de frequência de um sinal é mais importante do que uma amplificação constante [2]. A Figura 6 mostra uma topologia geral para o diagrama de bode resultante de um filtro com aproximações Chebyshev.

VI. FATOR DE QUALIDADE Além da topologia existem outros descritores que diferenciam a dinâmica de um filtro. Outro descritor relacionado a isso é o fator de qualidade, uma medida que relaciona a máxima energia armazenada no sistema pela energia dissipada pelo sistema. A equação que defina o fator de qualidade é dada através da equação 6, tal que: Q = 2π

Máxima energia armazenada Energia dissipada por ciclo

(6)

Assim, o fator de qualidade influencia diretamente no formato da resposta do filtro, sendo que: Bessel: Q = 0, 5 Butterworth: Q = 0, 707 Chebyshev: Q > 0, 707 VII. PROJETO DE FILTROS PASSA-BAIXAS Para o projeto de filtros passa-baixas de primeira e segunda ordem a Equação 7 é necessária [2]: Ai (s) =

A0 1 + ai s + bi s2

(7)

onde para filtros de primeira ordem bi = 0. Comparando a Equação 7 com a Função de Transferência

1,e sabendo que ωc = 2π fc temos as equações 8 e 9. R2 R3

(8)

a1 = ωc R1C1

(9)

A0 = 1 +

Resolvendo as Equações 8 e 9 para os valores das resistências, temos finalmente as Equações 10 e 11: R1 =

a1 2π fcC1

R2 = R3 (A0 − 1)

(10) (11)

Ou seja, a equação para a frequência de corte nesta etapa é a equação 12 a1 (12) fc = 2πR1C1 Para filtros puramente de primeira ordem, temos que a1 = 1, portanto para esse tipo de filtros a Frequência de corte é dada pela equação 13. 1 (13) fc = 2πR1C1 Sendo estas equações utilizadas em conjunto com as tabelas de aproximações para calcular os parâmetros das etapas de primeira ordem Sallen-Key. Da mesma forma que para a etapa de primeira ordem, comparando as Equações 7 com a Função de Transferência 2, e sabendo que ωc = 2π fc , obtemos as equações 14, 15 e 16. A0 = 1 +

R4 R3

[2] Fig. 7. Associação em Cascata de Filtros de Menor Ordem

Como podemos ver, para um filtro de quinta ordem, por exemplo, devemos associar um filtro de primeira ordem com dois filtros de segunda ordem, onde os coeficientes ai e bi podem ser obtidos em tabelas para a aproximação escolhida. VIII. REQUISITOS DO PROJETO Os requisitos do projeto podem ser encontrados na Figura ?? e na Tabela I.

(14)

a1 = ωcC1 (R1 + R2 )

(15)

b1 = ωc2R1 R2C1C2

(16)

E dado os valores dos capacitores C1 e C2 , resolvendo par as Equações 15 e 16, temos agora finalmente a Equação 17: q a1C2 ± a12C22 − 4b1C1C2 R1,2 = (17) 4π fcC1C2 A Equação 17, sendo responsável por calcular os componentes para etapas de segunda ordem de filtros na topologia Sallen-Key. Em geral a solução prática é escolher valores para os capacitores C1 e C2 e escolher os resistores adequados. Sendo estas equações utilizadas em conjunto com as tabelas de aproximações para calcular os parâmetros das etapas de segunda ordem Sallen-Key. Para filtros de ordem maior, deve ser feita uma associação entre filtros de menor ordem de acordo com a Figura 7.

[2] Fig. 8. Rquisitos do Projeto

TABLE I Requisitos do Projeto A1 (db) -0,5

A2 (db) -12

f1 25KHz

f2 50kHz

Ou seja, para este projeto precisamos de uma atenuação de -0,5dB para a frequência de 25kHz. Para 50kHz a atenuação deve ser de pelo menos -12dB. IX. CÁLCULO DOS PARÂMETROS DO FILTRO Para os cálculos, faz-se necessário o uso da Equação 18, que relaciona o ganho na escala dB com ganho em valores absolutos. Ad B = 20 log H| jω| (18) Para o cálculo dos parâmetros do filtro, faz-se necessário também o uso da equação 4, onde A0 é o ganho da banda passante do nosso filtro, ou seja A0 = 1, n é a ordem do nosso filtro, wc é a frequência angular de corte, ou seja, wc = 2 ∗ π ∗ fc e |H( j ∗ ω)| é o ganho na frequência de ω . Vamos utilizar os dois pontos que temos para resolver o

problema.

Portanto a frequência de corte calculada para nosso circuito é de 32,513kHz e como a ordem do filtro deve ser um número inteiro, escolhemos primeiro inteiro maior ou igual ao número encontrado, ou seja, ordem 4.

X. PROJETO DO FILTRO

Como a topologia de circuitos mais comuns é a Sallen-Key, e não necessitamos altos ganhos, esta é uma topologia ideal para o nosso projeto. A aproximação escolhida para este filtro é a de Butterworth, pois banda passante linear é uma característica altamente desejada na maioria dos filtros. Como o filtro será de quarta ordem, serão necessárias duas etapas de segunda ordem. Para este cálculo será necessário verificar a tabela de coeficientes de Butterworth. Fazendo essa verificação temos os coeficientes: a1 = 1, 8478, b1 = 1, a2 = 0, 7654, b2 = 1. Utilizando a Equação 17, escolhemos para ambas as etapas os capacitores C1 = 0, 1nF e C2 = 1nF . Temos então os resistores para a primeira etapa: R1 = 2731, 64Ω e R2 = 87720, 3Ω. Como estes não são valores comerciais, escolheremos os valores comerciais R1 = 2, 7kΩ e R2 = 91kΩ. Os resistores para a segunda etapa ficaram: R1 = 8182, 47Ω e R2 = 29284, 7Ω. Como estes não são valores comerciais, escolheremos os valores comerciais R1 = 8, 2kΩ e R2 = 30kΩ. Precisamos de um ganho unitário na banda passante (0dB ou A0 = 1), portanto, segundo a Equação 14, precisamos então R4 = 0 e R3 → ∞. O amplificador se comportará portanto como um buffer. É importante ressaltar que todos os resistores escolhidos tem um erro de ±5% O amplificador escolhido para o projeto foi o TL084, pois é um dos amplificadores operacionais mais utilizados, tendo características boas para a maioria dos projetos. Como não iremos trabalhar com frequências muito altas, este amplificador se torna ideal para o nosso projeto. O Circuito a ser implementado é mostrado na figura 9.

Vin

+Vcc

8,2k

TL084

30k

+Vcc TL084

-Vcc

-Vcc

Vout

0,1nF

0,1nF

1nF

1nF

Fig. 9. Circuito a ser implementado

Para maior precisão, foi medida a resistência dos resistores utilizados utilizando um multímetro digital. O resistor de 30kΩ tem na prática exatamente 30kΩ, o resistor de 91kΩ conta com na verdade 91, 1kΩ, o resistor de 2, 7kΩ tem uma resistência medidad e 2, 4kΩ, e finalmente o resistor de 8, 2kΩ tem uma resistência de 8, 16kΩ. Valores estes que foram utilizados nas simulações Tendo como base a Função de Transferência 2, e sabendo que a função de transferência da associação das duas etapas, é a multiplicação da função de transferência de cada etapa, temos a Função de Transferência do Circuito calculado com os componentes ideais (Equação 19) e a Função de Transferência calculada com os componentes reais(Equação 20). Gf =

1.742e21 s4 + 5.338e05s3 + 1.425e11s2 + 2.228e16s + 1.742e21 (19)

Gf =

1.868e + 21 s4 + 5.835e + 05s3 + 1.532e + 11s2 + 2.46e + 16s + 1.868e + 21 (20)

XI. SIMULAÇÕES A Figura 10 mostra o diagrama de bode da função de transferência do filtro projetado com os pontos de interesse já marcados. Sys tem : G_fi l tr o_total

Bode Diagram Fr equen cy ( kHz ): 32.4

0

Sys tem : G_fi l tr o_total Fr equen cy ( kHz ): 24.9 Magn i tude ( dB): -0.5

-20

Magn itu de (dB)

O segundo ponto é f1 = 50kHz e A1 = −12dB, neste ponto H| jω| = 0, 251. Com estes dois pontos temos um sistema de equações com duas incógnitas, sendo elas a frequência de corte e a ordem do filtro. Resolvendo então o sistema de equações através de softwares computacional, temos que a ordem do nosso filtro é n = 3, 5 e fc = 32.513Hz.

91k

Magn i tude ( dB): -3.01

Sys tem : G_fi l tr o_total Fr equen cy ( kHz ): 50 Magn i tude ( dB): -15.1

-40

-60

-80

-100

-120 0 -45 -90 -135

Ph ase (deg)

O primeiro ponto é f1 = 25kHz e A1 = −0, 5dB, neste ponto, segundo a equação 18, H| jω| = 0, 944.

2,7k

-180 -225 -270 -315 -360 100

101

10 2

Frequ en cy (kHz)

Fig. 10. Diagrama de Bode do Filtro Projetado(Função de Transferência)

Para este diagrama foi utilizado o software Matlab e para os cálculos foram utilizadas 3 casas decimais. Este diagrama supõe componentes ideais. A Figura 12 mostra o diagrama de bode do circuito com os componentes ideais.

Fig. 14. Simulação para entrada senoidal de 32,513kHz Fig. 11. Diagrama de Bode do Filtro Projetado(Circuito)

Para este diagrama foi utilizado o software LTSpice. A frequência de corte(ponto -3,01dB) ficou na frequência de 32,5kHz. A frequência de 25kHz ficou com uma atenuação de -0,43dB e a 25kHz com -15,2dB. A Figura 12 mostra o diagrama de Bode do Circuito implementado, simulado no software LTSpice, já supondo os componentes reais. A linha tracejada mostra o diagrama de fase, enquanto a linha contínua mostra o diagrama de ganho.

A Figura 15 mostra a simulação no software LTSpice para o filtro implementado, já supondo os componentes reais. O sinal de entrada (em verde) tem uma frequência de 25,000kHz e amplitude de 10Vpp e a onda de saída(em azul) tem amplitude de 8, 3Vpp.

Fig. 15. Simulação para entrada senoidal de 25,000kHz

Fig. 12. Diagrama de Bode do Filtro Projetado - Simulação real

A frequência de corte mostrada pelo diagrama é de 29,950kHz.

A Figura 16 mostra a simulação no software LTSpice para o filtro implementado, já supondo os componentes reais. O sinal de entrada (em verde) tem uma frequência de 50,000kHz e amplitude de 10Vpp e a onda de saída(em azul) tem amplitude de 1, 5Vpp.

A Figura 13 mostra a simulação no software LTSpice para o filtro implementado, já supondo os componentes reais. O sinal de entrada (em verde) tem uma frequência de 100,000Hz(frequência abaixo de f1 ) e amplitude de 10Vpp e a onda de saída(em azul) tem amplitude de 10, 000Vpp. Fig. 16. Simulação para entrada senoidal de 50,000kHz

Fig. 13. Simulação para entrada senoidal de 100,000Hz

A Figura 14 mostra a simulação no software LTSpice para o filtro implementado, já supondo os componentes reais. O sinal de entrada (em verde) tem uma frequência de 32,513kHz(frequência de corte projetada) e amplitude de 10Vpp e a onda de saída(em azul) tem amplitude de 5, 9Vpp.

XII. RESULTADOS

A forma de onda encontrada para a frequência de 100Hz encontra-se na figura 17. A onda em amarelo é a entrada e a onda em azul é a saída. As ondas ficaram sobrepostas por serem praticamente iguais.

onda em azul é a saída.

Fig. 17. Onda obtida para a frequência de 100Hz

A forma de onda encontrada para...