Cálculo I - Exercícios Resolvidos PDF

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Cálculo I - Exercícios Resolvidos...

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CÁLCULO I – EXERCICIOS RESOLVIDOS Questão 1) Construa o gráfico das funções (colocar os cálculos de construção dos gráficos). a) 𝑓(𝑥) =

1

𝑥−8

Assíntotas verticais → x = 8 Assíntotas horizontais → y = 0 𝑓(5) = 𝑓(6) = 𝑓(7) = 𝑓(9) =

1 = −0,33 5−8 1 = −0,5 6−8

F(x) 0,125 -0,33 -0,5 -1 1 0,5 0,33

1 = −1 7−8

1 =1 9−8

𝑓(10) = 𝑓(11) = 𝑓(0) =

x 0 5 6 7 9 10 11

1 = 0,5 10 − 8

1 = 0,33 11 − 8

1 = 0,125 0−8

b) 𝑓(𝑥) =

𝑥2

𝑥 2 −1

Assíntotas verticais → x = 1 e x = -1 Assíntotas horizontais → y = 0 𝑓(

−1 (−0,5)2 = −0,33 )= (0,5)2 − 1 2

𝑓(−2) =

(−2)2 = −1,33 (−2)2 − 1

(−3)2 = −1,125 𝑓(−3) = (−3)2 − 1 𝑓(0) =

02 =0 02 − 1

X -3 -2 -1/2 0 1/2 2 3 4

F(x) -1,123 -1,33 -0,33 0 0,33 1,33 1,125 1,06

22 = 1,33 𝑓(2) = 22 − 1 32 = 1,125 𝑓(3) = 2 3 −1 𝑓(4) =

42 = 1,06 42 − 1

1 1/22 𝑓( ) = = 0,33 2 1/22 − 1

Questão 2) Realize o cálculo dos limites abaixo, se necessário, aplique os limites laterais: √𝑥−√5

lim 𝑥→5

, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 5 a) lim 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) = {√𝑥+5−√10 𝑥→5 √2, 𝑠𝑒 𝑥 = 5 0 √𝑥 × √5 = √𝑥 + 5 − √10 0

→ Multiplica-se pelo conjugado: (𝑥 − 5)(√𝑥 + 5 + √10 (√𝑥 + √5) (√𝑥 + 5 + √10) √𝑥 − √5 × × = lim 𝑥→5 (√𝑥 + √5)(𝑥 − 5) √𝑥 + 5 − √𝑥 (√𝑥 + √5) √𝑥 + 5 + √10 lim 𝑥→5

√𝑥 + 5 + √10 √𝑥 + √5

=

2√10 2√5

= √2

→ O limite em x = 5 existe e é igual a √2 b) lim 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 4|

𝑓(𝑥) {

𝑥→4

−𝑥 + 4, 𝑠𝑒 𝑥 < 4 𝑥 − 4, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 4

lim 𝑥 − 4 = lim+ 4 − 4 = 0

𝑥→4 +

𝑥→4

lim −𝑥 + 4 = lim− −4 + 4 = 0

𝑥→4 −

lim|𝑥 − 4| = 0

𝑥→4

𝑥→4

→ Como os limites laterais existem e são iguais, o limite quando x → 4 existe e é igual a 0.

Questão 3) Verifique se existem assíntotas horizontais e/ou verticais para as funções da questão 01 (lembre-se de colocar o cálculo dos limites necessário para saber a existência das assíntotas). 1

a) 𝑓(𝑥) =

𝑥−8

Domínio: 𝑥−8 = 0

𝑥=8 lim ( 𝑥→8

1

𝑓(𝑥) =

𝑥−8

,𝑥 ≠ 8

1 1 ) = lim− ( ) = −∞ 𝑥→8 𝑥−8 𝑥−8 1

lim ( 𝑥−8) = −∞

𝑥→8+

1

lim ( 𝑥−8) = lim (

𝑥→+∞

𝑥→+∞

1

1

𝑥→−∞ 𝑥−8

b) 𝑓(𝑥) =

1

1

) × ( 𝑥1 ) = lim ( 𝑥−8

lim ( 𝑥−8) = lim (

𝑥→−∞

Os limites da esquerda e da direita são infinitos, x = 8 representa uma assíntota vertical

𝑥→+∞

𝑥

1 𝑥 1 𝑥

) × ( ) = lim ( 𝑥→−∞

1 𝑥

8 1−𝑥 1 𝑥

8

1−𝑥

)=

0 1−0

=0

)=

1−0

0

=0

Y = 0 representa uma assíntota horizontal.

𝑥2

𝑥 3 −1

Domínio: 𝑥2

𝑓(𝑥) = 𝑥2 −1 , 𝑥 ≠ −1, 𝑥 ≠ 1

𝑥2 − 1 = 0

𝑥 2 = 1 → 𝑥 = ±√ 1

𝑥 = ±1

𝑥2

𝑥2

lim ( 𝑥2 −1) = lim− ( 𝑥2 −1) = +∞

𝑥→−1

𝑥→−1

𝑥2 lim+ ( 𝑥2 −1) 𝑥→−1

𝑥2

𝑥2

𝑥→−1

= −∞

maiores e menores são diferentes.

lim ( 𝑥2 −1) = lim− ( 𝑥2 −1) = −∞ 𝑥→1

𝑥→1

lim (

𝑥2

𝑥→1+ 𝑥 2 −1

𝑥2

O limite lim ( 𝑥 2−1) não existe, pois, os limites

𝑥2

O limite lim ( 𝑥 2−1) não existe, pois, os limites 𝑥→1

) = +∞

maiores e menores são diferentes

→ x = 1 e x = -1 representam assíntotas verticais. 𝑥2

lim ( 𝑥2 −1) = lim (

𝑥→+∞

lim (

𝑥→−∞

𝑥→+∞

𝑥2

𝑥2

) = lim (

1 𝑥 2 ×(1− 2 ) 𝑥

) = lim (

1 𝑥 2 ×(1− 2 ) 𝑥

𝑥→−∞

1

1 1− 2 𝑥

𝑥→+∞

)=

1

1−0

1

1

1− 2 𝑥

=1

)=

1

1−0

=1

y = 1 representa uma assíntota horizontal

Questão 4) Indique se as funções são contínuas ou não nos pontos determinados. a) 𝑓(𝑥) = {

1 − |𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0 , 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 0 1, 𝑠𝑒 𝑥 = 0

Para que a função seja contínua, ela precisa obedecer 3 regras:

1 − |𝑥|, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0 , 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 0 1, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 1- 𝑓(0) = 1

1- 𝑓(𝑥)𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

𝑓(𝑥) {

3- lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

2- lim1 − |𝑥| → 1 − 0 = 1

2- lim 𝑓(𝑥)∃ 𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

𝑥→0

3-lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) 𝑥→0

𝑥 − 8, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2 , 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 2 3, 𝑠𝑒 𝑥 = 2 1- 𝑓(2) = 3 2- lim 𝑥 3 − 8 = lim 23 − 8 = lim 8 − 8 = 0 b) 𝑓(𝑥) = { 𝑥→2

3

𝑥→2

3- lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2) 𝑥→2

→ A função é contínua em x = 0.

𝑥→2

→ Como a função não obedece às 3 condições, ela não é contínua em x = 2....