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ESTRADAS DE RODAGEM PROJETO GEOMÉTRICO Resolução dos Exercícios

CAPÍTULO 2

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DAS ESTRADAS

Glauco Pontes Filho

1. Calcular o raio R da curva circular da figura abaixo. C α=30º

d=100 m

B A Dados: (E,N)

R R

A(200, 100) B(275,180)

Solução: AB =

(180 − 100)2 + (275 − 200)2

= 109,66 m

Aplicando a lei dos senos no triângulo ABC, temos: 100 109,66 = senAˆ sen30°

⇒ senAˆ = 0,4560 ⇒ Aˆ = 62,8732 ° B

62,8732º 109,66 R A

90º-62,8732º = 27,1268º

R 125,7465º

O

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo isósceles ABO, temos: 109,66 2 = R 2 + R 2 − 2 ⋅ R ⋅ R ⋅ cos 125,7465º ⇒

R = 120,25 m

3

Solução dos Exercícios

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

4

2. Calcular os comprimentos e os azimutes dos alinhamentos da figura abaixo. Calcular também os ângulos de deflexão. N B 6000

∆1

d1

d2 4000

A

3000

D

C d3

1000

E

0

1000

∆2

6000

3000

d4

F 11000

E

Solução: PONTOS

E

N

A

1.000

4.000

B

6.000

6.000

C

12.000

3.000

D

3.000

3.000

E

6.000

1.000

F

11.000

0

d1 = AB =

(1000 − 6000) 2 + ( 4000 − 6000) 2

d2 = BC =

( 6000 − 12000) 2 + ( 6000 − 3000) 2 = 6.708,20 m

d3 = DE =

(3000 − 6000) 2 + (3000 − 1000) 2

d4 = EF =

( 6000 − 11000) 2 + (1000 − 0) 2 = 5.099,02 m

 1000 − 6000  68,20 º Az AB = arctan  =  4000 − 6000   6000 − 12000  Az BC = 180º + arctan  = 116,57 º  6000 − 3000   3000 − 6000  Az DE = 180º + arctan  = 123,69 º  3000 − 1000   6000 − 11000  Az EF = 180º + arctan  = 101,31º  1000 − 0  ∆ 1 = Az BC − Az AB = 48,37 º ∆2 = Az EF − Az DE = −22,38º

= 5.385,16 m

= 3.605,55 m

Glauco Pontes Filho

5

3. (Concurso DNER) O azimute é o ângulo, no plano horizontal, de uma direção qualquer com o meridiano. O rumo de 76º 30’ SE de uma visada a vante corresponde ao azimute de: a) 103º 30’ b) 166º 30’ c) 256º 30’ d) 283º 30’ Solução: Letra a No quadrante SE, temos: Az=180º-rumo Az = 180º −(76º 30´) = 103º 30´

4. (Concurso DNER) Nos projetos de estradas de rodagem, os perfis longitudinais são desenhados em papel quadriculado ou milimetrado, em escalas horizontais (distâncias) e verticais (cotas), que normalmente guardam uma proporção de: a) 10:1 b) 2:3 c) 1:10 d) 3:2 Solução: Letra c Escalas horizontais – normalmente escala 1:2000 Escalas verticais – normalmente escala 1:200 1 1 200 1 2000 = ⋅ = 1 2000 1 10 200

5. (Concurso DNER) Na planta de um projeto, a indicação de escala 1:500 (horizontal) significa que 1 cm no desenho equivale, no terreno, a uma distância de: a) 50 m b) 5 m c) 0,50 m d) 0,05 m Solução: Letra b 1 cm no projeto equivale a 500 cm no campo = 5 m

6. (Concurso DNER) Numa rodovia de 3.000 metros de comprimento, a numeração final da última estaca é: a) 30 b) 60 c) 150 d) 300 Solução: Letra c 3000/20 = 150

Solução dos Exercícios

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

6

7. Calcular os comprimentos e os azimutes dos alinhamentos da figura a seguir. Calcular também os ângulos de deflexão. N D 6000

A

d3

4000

d2

d1

3000

1000

B

0

1000

6000

3000

11000

E

Solução: PONTOS

E

N

A

0

6000

B

3000

1000

C

7000

5000

D

12000

7000

d1 =

(3000 − 0 )2 + (1000 − 6000 )2 = 5.830,95 m

d2 =

(7000 − 3000)2 + (5000 −1000)2

d3 =

(12000 − 7000) 2 + ( 7000 − 5000) 2

 − 3000  Az AB =180º + arctan  = 149,04 º  5000   4000  Az BC = arctan   = 45º  4000   5000  Az CD = arctan  = 68,20 º  2000  ∆1 = Az BC − Az AB = 45º− 149,04 = − 104,04 º ∆2 = AzCD − AzBC = 68,2 º−45º = 23,20 º

= 5.656,85 m = 5.385,17 m

CAPÍTULO 4

CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

Solução dos Exercícios

1. Dados ∆ = 47º 30’ e G20 = 12º, calcular T e E. Solução:

1.145,92 = 95,493 m 12  47,5°  T = 95,493⋅ tan  ⇒  2   47,5°  E = 42,02 ⋅ tan  ⇒  4  R=

T = 42,02 m

E = 8,84 m

2. Dados ∆ = 40º e E = 15 m, calcular T e R. Solução:

15 E = ⇒ R = 233,73 m  ∆  40°  sec   − 1 sec  −1 2  2  40 °  T = 233,73 tan   ⇒ T = 85,07 m  2  R=

3. Dados ∆ = 32º e R = 1220 m, calcular T e E. Solução:

 32°  T = 1220 ⋅ tan  ⇒ T = 349,83 m  2  32°  E = 349,83⋅ tan  ⇒ E = 49,17 m  4  4. Dado R = 150 m, calcular a deflexão sobre a tangente para c = 20 m. Solução:

G=

1.145,92 = 7,639467° 150

d=

G 7,639467 ° = ⇒ 2 2

d = 3,82°

8

Glauco Pontes Filho

9

5. Dados ∆ = 43º e E = 52 m, calcular o grau da curva. Solução:

R=

G=

E 52 = ⇒ 43 °  ∆   sec  − 1 sec  −1 2  2  1.145,92 ⇒ 695,3151

R = 695,3151 m

G = 1,648°

6. Se ∆ = 30º 12’ e G20 = 2º 48’, calcular T e D. Solução:

30º 12’ = 30,2º

2º 48’ = 2,8º

1.145,92 = 409,2571 m 2,8 ° 30,2 °  T = 409,2571 ⋅ tan   ⇒ T = 110,43 m  2  π ⋅ 409,2571 ⋅ 30,2 ° D= ⇒ D = 215,72 m 180° R=

7. Usando os dados do problema anterior, e assumindo que E(PI) = 42 + 16,60, calcular as estacas do PC e do PT. Solução:

E(PC) = (42 + 16,60) – ( 5 + 10,43) = 37 + 6,17 E(PT) = (37 + 6,17) + (10 + 15,72) = 48 + 1,89

8. Dados ∆ = 22º 36’ , G20 = 4º e E(PC) = 40 + 15,00. Construir a tabela de locação da curva pelo método das estacas fracionárias. Solução:

1.145,92 = 286,480 m 4°  22,6 °  T = 286,480 ⋅ tan   ⇒  2  R=

T = 57,24 m

Solução dos Exercícios

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

D=

π ⋅ 286,480 ⋅ 22,6 ° 180°

10

D = 113,00 m

⇒

E(PT) = (40 + 15,00) + (5 + 13,00) = 46 + 8,00 Donde:

d =

a = 15,00 (parte fracionária do PC) b = 8,00 (parte fracionária do PT)

G 4° = = 2° 2 2

dm =

G 4° = = 0,1° 40 40

ds1 = (20 − a ) ⋅ d m = (20 − 15) ⋅ 0,1° = 0,5° ds PT = b ⋅ d m = 8 ⋅ 0,1° = 0,8° DEFLEXÕES

ESTACAS PC

SUCESSIVAS

ACUMULADAS

---

---

41

0,5º

0,5º

42

2º

2,5º

43

2º

4,5º

44

2º

6,5º

40+15,00

45

2º

8,5º

46

2º

10,5º

PT 46+8,00

0,8º

11,3º = ∆/2 (ok)

9. Dados ∆ = 47º 12’, E(PI) = 58 + 12,00. Calcular R, T, E e D para G20 = 6º. Calcular também E(PC) e E(PT).

Solução:

R=

1.145,92 ⇒ 6°

R = 190,99 m

 47,2°  T =190,99 ⋅ tan   ⇒  2 

T = 83,44 m

 47,2 °  E = 83,44 ⋅ tan   ⇒  4 

E = 17,43 m

D=

π ⋅ 190,99⋅ 47,2° 180 °

⇒

D = 157,34 m

Glauco Pontes Filho

11

E(PC) = (58 + 12,00) – (4 + 3,44) = 54 + 8,56 E(PT) = (54 + 8,56) + (7 + 17,34) = 62 + 5,90 10. Dados ∆ = 24º 20’ e R = 1500 m. Locar o PC e o PT, sabendo que a estaca do PI é 360 + 12,45. Solução:

 24,333333°  T = 1500 ⋅ tan  ⇒ 2   D=

π ⋅1500 ⋅ 24,333333°

⇒

180 °

T = 323,40 m D = 637,05 m

E(PC) = (360 + 12,45) – (16 + 3,40) = 344 + 9,05 E(PT) = (344 + 9,05) + (31 + 17,05) = 376 + 6,10

11. Dados ∆ = 22º 36’ e T = 250 m, calcular G20 e D. Solução:

R=

250 T = = 1.251,13 m ∆   22,6 °  tan  tan   2  2 

G20 = D=

22º 36’ = 22,6º

1.145,92 1.145,92 = 1.251,13 R

π ⋅1500 ⋅ 24,333333° 180 °

⇒ ⇒

G20 = 0,9159° D = 637,05 m

12. Calcular o desenvolvimento de uma curva circular de raio R = 1524 m e ângulo central ∆ = 32º. Solução:

D=

π ⋅ 1524 ⋅ 32° 180 °

⇒

D = 851,16 m

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

Solução dos Exercícios

12

13. (Concurso DNER) Numa curva circular com um raio de 170 m, queremos locar um ponto logo à frente do ponto de curvatura (PC). Sabemos que o comprimento do arco é de 20 m. A soma das coordenadas sobre a tangente deste ponto são (considerar sen 3,3703º = 0,058789 e cos 3,3703º = 0,9983): a) 0,168 m b) 0,924 m c) 1,848 m d) 21,14 m Solução: Letra d

y

x d

G=

1.145,92 1.145,92 = = 6,7407° 170 R

20 m

G

G 6,7407 ° d = = = 3,3703° 2 2 sin d =

y 20

cos d =

x ⇒ 20

⇒

y = 20 ⋅ sin 3,3703° = 1,1758 m x = 20 ⋅ cos 3,3703° = 19,9654 m

x + y = 21,14 m

14. Demonstrar que:

Da trigonometria, temos:

∆  E = T ⋅ tan   4 

1 − cos x x = tan   sin x  2

Æ

x  1 − cos   2  = tan  x   x 4 sin    2

   ∆  ∆  ∆  1 − cos    T ⋅ cos   1 − cos     1   T  2  =  2 ⋅   2  E = R⋅ − 1 = ⋅ ∆  ∆  cos  ∆   tan  ∆   cos  ∆   sin   cos            2    2   2   2   2     ∆   1 − cos 2      = T ⋅ tan ∆  E = T ⋅    sin  ∆   4      2  

Glauco Pontes Filho

13

15. Dados ∆=30º, R=680 m e E(PI)=205+2,52, calcular G, T, D, E(PC) e E(PT). G20 =

1.145,92 ⇒ 680

G = 1,69°

30°  T = 680 ⋅ tan  ⇒  2  D=

π ⋅ 680 ⋅30 ° 180 °

⇒

T = 182,21 m D = 356,05 m

E(PC) = (205 + 2,52) – ( 9 + 2,21) = 196 + 0,31 E(PT) = (196 + 0,31) + (17 + 16,05) = 62 + 5,90 16. (*) Em uma curva horizontal circular, conhecem-se os seguintes elementos: G20=1º, E(PC)=55 + 9,83 e E(PT)=81 + 9,83. Se alterarmos o raio dessa curva para 2000 m, qual será a estaca do novo PT? Solução:

D = E(PT) – E(PC) = (81 + 9,83) – (55 + 9,83) = 26 estacas = 520 m R=

1.145,92 = 1.145,92 m 1

∆ = AC =

G ⋅ D 1° ⋅ 520 = = 26° 20 c

 26 °  T = 1.145,92 ⋅ tan   = 264,56 m  2 

E(PI) = E(PC) + T = (55 + 9,83) + (13 + 4,56) = 68 + 14,39 Novo raio: R = 2.000 m 26 °  T´= 2000 ⋅ tan   = 461,74 m = 23est + 1,74m  2  D´=

π ⋅ 2000 ⋅ 26° 180 °

= 907,57 m = 45est + 7,57m

E(PC´) = (68 + 14,39) – (23 + 1,74) = 45 + 12,65 E(PT´) = (45 + 12,65) + (45 + 7,57) = 91 + 0,22

Solução dos Exercícios

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

14

17. (*) Dado o traçado da figura, adotar para as curvas 1 e 2 os maiores raios possíveis. PI1

∆1=28º

d1=135 m

O

d2=229,52 m

F

d3=85,48 m ∆2=32º PI2

Solução:

Para obtermos os maiores raios possíveis, devemos ter: T1 = d1 , T2 = d3 e T1+T2≤ d2 T1 135 = ⇒  ∆ 1  tan 14° tan   2 T2 85,48 = ⇒ R2 = ∆ 2  tan 16°  tan   2 

R1 =

R1 = 541,46 m

R2 = 298,10 m

T1+T2 = 135 + 85,48 = 220,48 < 229,52 (OK!)

18. (*) Com relação ao problema anterior, supondo-se que as distâncias de 0 a PI1 e PI2 a F sejam suficientemente grandes, escolher um valor único para o raio das duas curvas de forma que esse valor seja o maior possível. Solução:

Devemos ter: T1+T2 = d2 = 229,52 m ∆  ∆  R ⋅ tan 1  + R ⋅ tan 2  = 229,52 2   2  R=

229,52 = 428,15 m tan 14º + tan 16 º

Glauco Pontes Filho

15

19. (*) Em um trecho de rodovia temos duas curvas circulares simples. A primeira começando na estaca 10+0,00 e terminando na estaca 20+9,43 com 300 m de raio. A segunda começando na estaca 35+14,61 e terminando na estaca 75+0,00 com 1500 m de raio. Deseja-se aumentar o raio da primeira curva para 600 m sem alterar a extensão total do trecho. Qual deverá ser o raio da segunda curva? Dados: ∆1=40º e ∆2=30º. ∆1 = 40º D1

10+0,00

20+9,43

R1 = 300 35+14,61

R2 = 1500

L = 305,18

75+0,00

D2

Solução:

∆2 = 30º

T1 = 300 tan(20º) = 109,19 m T2 = 1500 tan(15º) = 401,92 m L = (35 + 14,61) – (20 + 9,43) = 305,18 m Dist(PI1 - PI2) = T1 + L +T2 = 109,19 + 305,18 + 401,92 = 816,29 m

C = Extensão total do trecho = est 75 – est 10 = 65 estacas = 1300 m = D1 + L + D2 T1´ ∆1 = 40º D 1´ R1´= 600 R2´= ??? L´ D2´

T2´

T1´= 600 tan(20º) = 218,38 m

∆2 = 30º

T2´= R2´ tan(15º) L´= Dist(PI1 - PI2) – T1´– T2´= 816,29 – 218,38 – R2´ tan(15º) = 597,91 – 0,26795R2´ D1´=

π ⋅ 600 ⋅ 40° 180°

= 418,88 m

D 2´=

π ⋅ R2´⋅30° 180 °

= 0,5236 R2 ´

C = D1´+ L´ + D2´ = 418,88 + 597,91 – 0,26795 R2´ + 0,5236 R2´ = 1300 R2 ´= 1.107,8 m

Solução dos Exercícios

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

16

20. (*) A figura mostra a planta de um trecho de rodovia com duas curvas de mesmo sentido, desejando-se substituir estas duas curvas por uma curva única de raio R. Calcular o valor de R para que o PC da nova curva coincida com o PC1 do traçado antigo (início da curva 1). D=20 m PI1

30º

PI2 PT1

PC1

20º

PC2

CURVA 1 R1 = 400 m

CURVA 2 R2 = 500 m

PT2

Solução:

T1 = 400 tan(15º) = 107,18 m 20º+30º=50º

T2 = 500 tan(10º) = 88,16 m T

Aplicando a Lei dos Senos, temos: x T + 20 + T2 = 1 sin 130 ° sin 20°

130º

x

20º

30º

T1

T1+20+T2

x = 96,14 m

PC1=PC

T = T1 + x = 107,18 + 96,14 = 203,32 m R=

203,32  50°  tan   2 

⇒

R = 436,02 m

21. (*) A figura mostra a planta de um traçado com duas curvas circulares. Calcular as estacas dos PI’s e a estaca final do traçado. PI1

∆1=46º

d1

R1=1200 m Est. 0+0,00

d2 d1=1080 m d2=2141,25 m d3=1809,10 m

F R2=1600 m PI2

∆2=30º

d3

Glauco Pontes Filho

Solução:

CURVA 1:

E(PI1) = d1 = 54 + 0,00

 46°  T1 = 1200 ⋅ tan  ⇒  2  D1 =

π ⋅ 1200 ⋅ 46° 180°

⇒

T1 = 509,37 m D1 = 963,42 m

E(PC1) = (54 + 0,00) – (25 + 9,37) = 28 + 10,63 E(PT1) = (28 + 10,63) + (48 + 3,42) = 76 + 14,05 CURVA 2:

E(PI2) = E(PT1) + d2 – T1

E(PI2) = (76 + 14,05) + (107 + 1,25) – (25 + 9,37) = 158 + 5,93  30°  T2 = 1600 ⋅ tan   ⇒ T 2 = 428,72 m  2  D2 =

π ⋅1600 ⋅30 ° 180 °

⇒

D 2 = 837,76 m

E(PC2) = (158 + 5,93) – (21 + 8,72) = 136 + 17,21 E(PT2) = (136 + 17,21) + (41 + 17,76) = 178 + 14,97 E(F) = E(PT2) + d3 – T2 = (178 + 14,97) + (90 + 9,10) – (21 + 8,72) = 247 + 15,35 22. Calcular as curvas circulares abaixo {G, T, D, E, E(PC), E(PT), d, dm}: a) E(PI) = 202 + 2,50 ∆ = 52º R = 650 m c = 20 m b) E(PI) = 1345 + 12,73 ∆ = 10º R =2000 m c = 20 m c) E(PI) = 376 + 19,50 ∆ = 64º 20' R = 350 m c = 10 m d) E(PI) = 467 + 3,75 ∆ = 80º R = 200 m c=5m Solução: 180º ⋅c 180º⋅(20) G = 1,762954° = 1°45´47´´ = ⇒ π ⋅R π ⋅ (650)  52°  ∆  T = R ⋅ tan  = 650 ⋅ tan  ⇒ T = 317,03 m  2  2

a) G =

D=

π ⋅ R⋅ ∆ 180º

=

π ⋅ 650 ⋅ 52° 180 °

⇒

D = 589,92 m

17

Solução dos Exercícios

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

∆  52°  E = T ⋅ tan  = 317,03 ⋅ tan  4  4 

d =

18

E = 73,19 m

⇒

G 1,762954 ° = = 0,881477 ° = 0 ° 52´ 53´´ 2 2

dm =

G 1,762954 ° G = 0,044074 ° = 0° 02´ 39´´ = = 2 c 2 ⋅ (20) 40

E(PC) = (202 + 2,50) – (15 + 17,03) = 186 + 5,47 E(PT) = (186 + 5,47) + (29 + 9,92) = 215 + 15,39 b) T= D= E= G= d= dm= E(PC) = E(PT) =

174,98 m 349,07 m 7,64 m 0,572958º = 0,28648º = 0,01432º = 1336 + 1354 +

T= D= E= G= d= dm= E(PC) = E(PT) =

220,12 m 392,99 m 63,47 m 1,637022º = 0,81851º = 0,08185º = 365 + 385 +

1º 0º 0º 19,38 12,37

167,82 279,25 61,08 1,432394º 0,7162º 0,14324º 458 472

1º 0º 0º 15,93 15,18

0º 0º 0º 17,75 6,82

34’ 17’ 0’

23” 11” 52”

38’ 49’ 4’

13” 7” 55”

c)

d) T= D= E= G= d= dm= E(PC) = E(PT) =

m m m = = = + +

25’ 42’ 8’

57” 58” 36”

Glauco Pontes Filho

19

23. Repetir a questão anterior adotando para G um valor múltiplo de 40’. Construir as tabelas de locação das curvas (R > R’). Solução: 180 º⋅c 180 º ⋅( 20) G = 1,762954 ° ⋅ (60) = 105,77724 ' = ⇒ π ⋅R π ⋅ (650) Adotando um múltiplo de 40’, temos: G = 80’ = 1º 20’ = 1,333333º

a) G =

novo R =

180 º ⋅c 180 º ⋅( 20) = = 859,437 m π ⋅ G π ⋅ (1,333333 º )

∆   52 °  T = R ⋅ tan  = 859,437 ⋅ tan   ⇒ 2  2  D=

π ⋅ R⋅ ∆ 180º

=

π ⋅ 859,437 ⋅ 52° 180 °

⇒

∆  52°  E = T ⋅ tan  = 419,18 ⋅ tan   ⇒ 4  4 

d =

T = 419,18 m

D = 780,00 m E = 96,78 m

G 1 ° 20' = = 0 ° 40´ 2 2

dm =

G G 1° 20' = = 0° 2' = 2 c 2 ⋅ (20) 40

E(PC) = (202 + 2,50) – (20 + 19,18) = 181 + 3,32 E(PT) = (181 + 3,32) + (39 + 0,00) = 220 + 3,32

Solução dos Exercícios

ESTRADAS DE RODAGEM – PROJETO GEOMÉTRICO

ESTACAS INT

FRAC

181

3,32

20

DEFLEXÕES SUCESSIVAS

ACUMULADAS

grau

min

seg

grau

min

seg

0

0

0

0

0

0

182

0

33

22

0

33

22

183

0

40

0

1

13

22

184

0

40

0