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ALGEBRA LINEAL Coordenadas de un Vector Definición: Sea B  v1 , v 2 , v3 ,..., vn  una base del espacio vectorial de dimensión finita V . Sea v  V . Las coordenadas de v respecto a la base B , denotadas por vB , se definen como:

v B

 1     2    3   R n         n 

Donde 1,  2 , 3 ,...,  n son tales que: v  1v1  2 v2  3 v3  ...   n vn

Matriz de Cambio Teorema: Sean B1  v1 , v 2 , v3 ,..., vn  y B2  u1 , u 2 , u 3 ,..., u n  dos bases del espacio vectorial de dimensión finita V . La matriz de cambio de base de B 1 a B 2 está dada por: C B1B 2

    v1 B 2   





v2 B 2 v3 B 2 



   v n  B 2   ...   ... ...

Es decir, que las columnas de la matriz de cambio están formadas por las coordenadas de los vectores de la base B 1 respecto a la base B 2 Teorema 1 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Toda matriz de cambio de base en V es invertible, es decir, det A  0 Teorema 2 Sean B 1 y B 2 dos bases del espacio vectorial de dimensión finita V . Entonces para todo v  V se cumple que:

v B 2  CB1B 2 v B1

Teorema 3 Si A es la matriz de cambio de la base B 1 a la base B 2 , entonces A1 es la matriz de transición de la base B 2 a la base B 1 Teorema 4 Sean B 1 , B 2 y B 3 tres bases del espacio vectorial de dimensión finita V . Sea C la matriz de cambio de la base B 1 a la base B 2 . Sea D la matriz de cambio de la base B 2 a la base B 3 . Sea E la matriz de cambio de la base B 1 a la base B 3 . Entonces se cumple que:

E  D C

Teorema 5 Sea B una base del espacio vectorial de dimensión finita V . Entonces se cumple que:

v  w B  v B  w B 1. v, w V 2.   R v  V v B   v B TEMA 6 [15 PUNTOS] – JULIO 9 DEL 2015









3. Sean B1  1 x , 3x , x 2  x  1 y B2  3  2 x, 1  x, x2  x bases del espacio vectorial real V  P2 . a) Encuentre la matriz C de cambio de base, de la base B1 a la base B 2 b) Considere la base canónica B3  1, x, x 2  de V  P2 . Encuentre la matriz D de cambio de base, de la base B 1 a la base B3 c) Sea v  P2 tal que vB1  2, 1, 3 . Encuentre v y v B 2

CRITERIO Encontrar la matriz

PUNTAJE

C  PB1 B 2 (2 puntos por

6

D  PB1B 3 (1 punto por

3

columna) Encontrar la matriz columna) Encontrar

v Encontrar v B 2

3 3...