Cambio de variables y límites PDF

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Limites superior e inferior , resultados paso a paso y teoría...

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21-mayo-2020 Cambio de variable para integrales definidas Cuando se usa la sustitución de 𝑢 en una integral definida, muchas veces es conveniente determinar los límites de integración para la variable 𝑢 en vez de convertir la antiderivada de nuevo a la variable 𝑥 y calcularla en los límites originales. Este cambio de variable se establece explícitamente en el siguiente teorema. La demostración es consecuencia del teorema 1 en combinación con el teorema fundamental del cálculo. Teorema 3 Cambio de variable para integrales definidas Si la función 𝑢 = 𝑔(𝑥) tiene una derivada continua en el intervalo cerrado [a, b] y 𝑓 es continua sobre el rango de 𝑔, entonces: 𝑏

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎

𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)

𝑓(𝑢) 𝑑𝑢

Ejemplo 15 Cambiar variables 1

Calcule ∫0 𝑥(𝑥 2 + 1) 3 𝑑𝑥 Solución: Para calcular esta integral, sea 𝑢 = 𝑥 2 + 1. Entonces, obtiene: 𝑢 = 𝑥 2 + 1 → 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

Antes de sustituir, determine los nuevos límites superior e inferior de integración: Límite inferior

Límite superior

Cuando 𝑥 = 0, 𝑢 = 02 + 1 = 1

Cuando 𝑥 = 1, 𝑢 = 12 + 1 = 2

Ahora, puede sustituir para obtener: 1

∫ 𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 0

2

3

Límites de 1 1 2 ∫ (𝑥 + 1)3 (2𝑥)𝑑𝑥 integración para 𝑥 2 0

1 2 = ∫ 𝑢 3 𝑑𝑢 2 1 2

1 𝑢4 = [ ] 2 4 1

1 1 = (4 − ) 4 2

Límites de integración para 𝑢

21-mayo-2020 15 = 8 Observe que obtiene el mismo resultado cuando reescribe la antiderivada (𝑢 ⁄4) en términos de la variable 𝑥 y calcula la integral definida en los límites 2 1

4

originales de la integración, como se muestra.

1

2

1 (𝑥 2 + 1)4 1 𝑢4 [ ] = [ ] 2 4 1 2 4 0 1 1 = (4 − ) 4 2 =

15 8

Ejemplo 16 Cambiar variables Evalúe la integral definida: ∫

1

5

𝑥

√2𝑥 − 1

𝑑𝑥

Solución: Para calcular esta integral, sea 𝑢 = √2𝑥 − 1. Entonces, obtiene: 𝑢 2 = 2𝑥 − 1 𝑢 2 + 1 = 2𝑥

𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑢2 + 1 =𝑥 2

Derive cada lado

Antes de sustituir, determine los nuevos límites superior e inferior de integración: Límite inferior

Límite superior

Cuando 𝑥 = 1, 𝑢 = √2 − 1 = 1

Cuando 𝑥 = 5, 𝑢 = √10 − 1 = 3

Ahora, sustituya para obtener: ∫

5

1

𝑥

√2𝑥 − 1

𝑑𝑥 = ∫

3

1

1 𝑢2 + 1 ) 𝑢 𝑑𝑢 ( 2 𝑢

21-mayo-2020 3

1 2 = 2 ∫ (𝑢 + 1) 𝑑𝑢 1 3

1 𝑢3 = [ + 𝑢] 2 3 1

1 1 = (9 + 3 − − 1) 3 2 =

16 3...