CapÍtulo 5 Flujo EN Vertedores PDF

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Este apunte es del capitulo 4 de la clase de Hidráulica Basica impartida por el Dr. Samuel Perez Nieto....

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|5.1

5

FLUJO DE AGUA EN VERTEDORES

5.1.

GENERALIDADES

5.1.1. DEFINICIÓN Un vertedor es una estructura o dispositivo de regulación y aforo que consiste en una escotadura construida sobre un canal de conducción o como obra de excedencias en la que se genera una sección hidráulica que funciona a superficie libre. Se ocupa como estructura de aforo en canales y como obra de excedencias en obras de almacenamiento. En la figura 5.1, se muestran diferentes vistas de un vertedor, en la que los elementos indicados tienen los significados siguientes: C b

B

L

b C

Planta C

_ >= 4H

H

h

C

B S.L.A h

H

P

b L b Vista Lateral Vista Frontal Figura 5.1. Esquema de un vertedor en diferentes vistas y definición de sus elementos APUNTES DE HI HIDRÁULICA DRÁULICA BÁSI BÁSICA CA

5.2

H = Carga del vertedor, en m; h = Carga sobre la cresta, en m; P = Altura de la cresta, en m; D = Tirante en el canal = P + H, en m; L = Longitud de la cresta, en m;

b = Ancho de la escotadura, en m; B = Ancho del canal de acceso, en m; C = Ancho de la corona, en m; y e = Espesor de la pared, en m.

5.1.2. CLASIFICACIÓN a) Por la geometría de su planta. (ver figura 5.2)

Planta Recta

Planta combinada

Planta Curva Figura 5.2. Clasificación de vertedores de acuerdo a la forma geométrica de su planta

b) Por su funcionamiento hidráulico: 

Con velocidad de llegada, que se presenta ordinariamente cuando se ubican en canales.



Sin velocidad de llegada, que es el caso, en general cuando se usan como obra de excedencias.

c) Por la presencia de contracciones: 

Con contracciones, siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

CAPÍTULO 5: FLUJO D DE E AGUA EN VERTEDORES

|5.3

b>2H 

p>3H

y

Sin contracciones, si no se cumplen las condiciones anteriores.

d) Por la forma de su vista frontal (ver figura 5.3).

Rectangular Triangular Trapecial Figura 5.3. Clasificación de vertedores de acuerdo a su vista frontal

e) Por el espesor de su pared: Pared delgada: e 

2 H 3

Pared gruesa: e 

2 H 3

f) Por la altura relativa del umbral (ver figura 5.4) S.L.A

S.L.A

P

P

P´

De cresta libre De cresta ahogada Figura 5.4. Clasificación de vertedores de acuerdo a la altura relativa del umbral

g) Por la forma de la lámina vertida S.L.A

S.L.A

S.L.A

Lámina libre Lámina abatida Lámina adherente Figura 5.5. Clasificación de vertedores por la forma de la lámina vertida

APUNTES DE HI HIDRÁULICA DRÁULICA BÁSI BÁSICA CA

5.4

De acuerdo a la forma de la lámina vertida se clasifican en: lámina libre, lámina abatida y lámina adherente, según se muestra en la figura 5.5.

5.2.

VERTEDORES DE PARED DELGADA

5.2.1. RECTANGULARES, SIN VELOCIDAD DE LLEGADA

CONTRACCIONES

Y

SIN

Para definir la expresión para determinar el gasto en un vertedor, se parte de considerar (como se ilustra en la figura 5.6) un orificio imaginario ubicado entre la S.L.A. y el umbral de la cresta del vertedor, con área diferencial dA en la que se puede aplicar la expresión del gasto de un orificio, como sigue, denominando Co al coeficiente de gasto para un orificio, para diferenciarlo del que se definirá para vertedor, y con y la carga de dicho orificio. _ >4H S.L.A

y

dy

H

dA S.L.A H

L

D P

Figura 5.6. Elementos de un vertedor de pared delgada para la deducción de su ecuación de gasto

dQ  CodA 2 g y

El área diferencial dA es igual a L  dy , por lo que: dQ  CoLdy 2 g y

Ordenando las variables respecto a la variable y, y haciendo la integración para el gasto dQ: dQ  Co L 2 g y dy Co L 2 g

CAPÍTULO 5: FLUJO D DE E AGUA EN VERTEDORES

y dy

|5.5 H

Q   dQ  CoL 2 g  y 1/ 2 dy 0

H

 y3 / 2  Q  CoL 2 g    3 / 2 0 Q

2 Co 2 g L H 3/ 3

2

(5.1)

Asumiendo como coeficiente de gasto del vertedor, a: C

2 Co 2 g 3

(5.2)

La expresión para el gasto de vertedores rectangulares, sin contracciones laterales y sin velocidad de llegada, queda: Q  C L H3/2

(5.3)

En la que: C L H Q

= = = =

Coeficiente del gasto del vertedor, adim.; Longitud de la cresta, en m; Carga del vertedor, en m; y Gasto en el vertedor, en m3/s .

Considerando Co  0.61 en la expresión 5.2

C

2  0 .61 19 .62  1 .80 3

James B. Francis (1815-1892) obtuvo de trabajo experimental C = 1.84, con lo que la expresión 5.3 queda como sigue, que se conoce como fórmula de Francis, que es la versión más comúnmente usada en México: Q  1.84 L H3 / 2

(5.4)

Ejemplo 5.1. ¿Qué gasto pasará por un vertedor rectangular de pared delgada con una longitud de 15 m y para una carga de 2.3 m ?

APUNTES DE HI HIDRÁULICA DRÁULICA BÁSI BÁSICA CA

5.6

Aplicando la expresión 5.4, resulta: Q C L

2 g H   1. 84 15. 0 2 9.81 2.3  185.405 m3 /s

5.2.2. RECTANGULARES, SIN CONTRACCIONES VELOCIDAD DE LLEGADA

Y

CON

Si hay velocidad de llegada, entonces la carga H  y  hv , y por tanto:

dQ  Co L 2 g y  hv  dy dQ  Co L 2 g  y  hv 

1/2

dy

Integrando para obtener Q: H

Q   dQ  Co L 2 g   y  hv 

1/ 2

dy  Co L 2 g

0

Q

y

3/2 H

 hv  3/2

0

2 3/2 Co 2 g L  H  hv   hv 3/2 3

Y considerando la relación 5.2 para C, resulta:

Q  C L  H  hv  

3/2

 hv 3/2

(5.5)

Otra opción es desarrollar el binomio y  hv 

1/2

a partir del Teorema del Binomio

de Newton, dado enseguida:

a  b 

n



a nb 0 na n1b 1 n n  1an 2 b 2 n n  1n  2 an 3b 3     ...  b n (5.6) 0! 1! 2! 3!

Si n es entero y positivo, el número de términos es finito e igual a n + 1 y si n es fraccionario, entonces el número de términos es infinito y de valor decreciente. Si se consideran dos términos:

CAPÍTULO 5: FLUJO D DE E AGUA EN VERTEDORES

|5.7

y

 hv 

1/2

 y 1/2 

1/2 -1/2 1 y hv  y 1/2  y -1/2 hv 1 2

(5.7)

Sustituyendo en la expresión de gasto, haciendo el álgebra necesaria y desarrollando la integral:

1   dQ  CoL 2g  y 1/ 2  y -1/2 hv  dy 2   H 1 H  Q   dQ  Co L 2 g   y 1/2 dy  hv  y -1/2 dy  0 0 2  

 y 3/2 Q  Co L 2 g   3/2 

H

0

y 1/2  1 hv  2 1/2 0  H



2  Q  Co L 2 g  H 3/2  hv H 1/2  3 

Q

2 Co 2 g L H3/2  Co 2 g L hv H 1/2 3

Factorizando los términos semejantes:

Q

2 Co 3

  3 2 g L H 3/2  1. 0  hv H -1  2  

(5.8)

Considerando además que en el canal: hv 

v2 Q2 Q2   2 2g 2g A 2 g L2 D2

y de otra parte, que: Q  C L H3/2  Q2  C2 L2 H3

 hv 

C2 L2 H3 C2 H3  2 2 2g L D 2 g D2

y además considerando la expresión 5.2 y sustituyéndola en esta última, resulta; APUNTES DE HI HIDRÁULICA DRÁULICA BÁSI BÁSICA CA

5.8

2

 2  Co 2 g  H3 4 Co2 2 g H 3  H3 4  3  9  Co2 2 hv  2 2 D 2gD 2gD 9 Sustituyendo este resultado en la expresión 5.8, y haciendo el álgebra necesaria; Q

 H3 2 34 Co 2 g L H 3/2 1.0   Co 2 2 3 29 D 

 1  H   

Q

  H3  2 2 Co 2 g L H 3/2 1.0   Co2 2  H 1  D 3 3    

H2  2  Q  C L H 3/2  1.0  Co2 2  D  3  Y considerando, por último:

2 Co 2  C1 3 H2   Q  Co L H3/2  1 .0  C1 2  D  

(5.9)

(5.10)

Y si se toma Co  0. 61, en la expresión 5.9, entonces:

2 2 0.61 = 0.248 3 Francis, por su parte, propone C1  0.26 y con Co  1. 84 propuesta por este autor, la expresión para calcular el gasto de un vertedor sin contracciones y con velocidad de llegada queda:

H2   Q  1 .84 L H 3/2 1 .0  0 .26 2  D  

CAPÍTULO 5: FLUJO D DE E AGUA EN VERTEDORES

(5.11)

|5.9

Alternativamente se puede emplear la expresión 5.12, que considera el área vertedora (H L) en lugar de H2 y el área de la sección hidráulica de canal ( B D) en lugar de D2 de la expresión 5.11:

 HL Q  1 .84 L H 3/2  1.0  0 .26  B D 

(5.12)

Ejemplo 5.2. El agua que circula por un vertedor rectangular de 0.75 m de longitud y 0.60 m de altura de cresta, se aloja en un canal de 1.25 m de ancho. Si el gasto es de 200 L/s. ¿A cuánto ascenderá la carga del vertedor?. Sustituyendo los datos y con D  P  H  0.6  H , en la expresión. 5.11, se tiene:

 H2 0 .200  1 .84  0 .75 H 3/2 1 .0  0 .26 2  0 .6  H    H2 0. 200  H3/2  1.0  0 .26 2  1 .84  0 .75 0.6  H  

   

   

 0. 26 H   0 .145  H 3/2 1 .0  2  0 .6  H    2

Resolviendo por tanteos, para H: H(m)

Q/CL

1.000

1.102

0.500

0.373

0.200

0.091

0.250

0.128

0.270

0.144

0.271

0.145

H = 0.271 m Ejemplo 5.3. Calcular el gasto para un vertedor con las siguientes características. Empleando la expresión 5.11. L = 0.75 m

B = 4.5 m

H = 0.28 m

D = 0.6 + 0.28 = 0.88 m

H2   Q  1.84 L H3/2  1.0  0.26 2  D  

0.282   Q  1.84  0.75  0.28 3/2  1.0  0.26 0.882   Q  0.204  1.026  0.209 m 3 /s

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5.10

Ejemplo 5.4. Un canal de 4.5 m de ancho lleva agua con un tirante de 1.25 m y una velocidad de 0.75 m/s. Si un vertedor rectangular sin contracciones laterales de 1.4 m de altura se construye transversalmente al canal. ¿A cuánto ascenderá el tirante en el canal aguas arriba del vertedor?. La solución de este ejemplo se obtiene con los siguientes pasos: 1. Obtención del área transversal de la sección hidráulica del canal: A BD  4 .5 1 .25  5 .625m

2

2. Cálculo del gasto mediante la ecuación de continuidad aplicada al canal: Q A v  5 .625  0 .75  4 .219 m3 /s

3. Utilizando primeramente la expresión 5.12, y sustituyendo en ella, el valor de Q, D = P + H = 1.4 + H y L = 4.5 m:  H  4.5   4.219  1.84  4 .5  H3/2  1.0  0 .26   1.4  H  4.5  

4. Pasando al primer miembro los términos constantes para su cálculo y simplificando los términos entre paréntesis, se tiene.  H  4.219  H3/2  1 .0  0 .26  1 .4  H  1.84  4.5  

0 .26 H  3/2  0.510  H  1.0   .4  H  1  5. Resolviendo por tanteos, se obtiene H  0.607m . Y por tanto, el tirante en el canal es:

D  P  H  1. 4  0. 607  2. 007 m De otra parte, uti lizando la expresión alterna 5.5; con C = 1.84 también; (Q/C)L = 0.510 y la carga de velocidad es:

CAPÍTULO 5: FLUJO D DE E AGUA EN VERTEDORES

|5.11 2

hv 

2

v 0.75   0 .029 m 2 g 19 .62

Sustituyendo, se tiene: 0.510  H  0. 029 

3/2

 0.029 3/2

0.510  0.005   H  0 .029

 0.515 

1/ 1 .5

1. 5

 H  0.029

0. 642  H  0.029 H  0. 642  0. 029  0. 613m Que es muy similar al resultado obtenido con la expresión 5.12, con 1% de diferencia.

5.2.3. EFECTO DE LAS CONTRACCIONES LATERALES Para considerar el efecto de las contracciones laterales, se corrige la longitud física L de la cresta del vertedor para obtener una longitud L  , mediante la siguiente expresión:

L  L  K n H

(5.13)

Donde: K = Coeficiente de la forma de los muros que definen las contracciones, para el que se consideran los siguientes valores según las formas indicadas, y que se ilustran en la figura 5.7; = 0.06 para forma hidrodinámica; = 0.10 para forma rectangular; y n = Número de contracciones. Con esta corrección, las fórmulas de gasto Q, quedan de la siguiente manera:

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5.12

Para vertedor rectangular sin velocidad de llegada y con contracciones;

Q  C L H3/2  C L  K n H  H3/2

(5.14)

Para vertedor rectangular con velocidad de llegada y con contracciones:

H2  H2    Q  C L H3/2 1 .0  C1 2   C  L  K n H  H3/2 1 .0  C1 2  D  D   

Hidrodinámica Rectangular Figura 5.7. Esquema de la forma hidrodinámica y la forma rectangular de las contracciones laterales de un vertedor de cresta angosta

Para Francis, con C = 1.84 y C1 = 0.26, de la expresión 5.11.

2  H  Q  1 .84 L  K n H  H3/2  1.0  0 .26 2  D  

(5.15)

De la expresión 5.5.

Q  C L K n H  H  hv 

3/2

 hv3/2  

(5.16)

Ejemplo 5.5. Un vertedor rectangular colocado sobre un canal de 4.5 m de ancho tiene una altura de 1.8 m y una longitud de cresta de 2 m, deja circular agua con una carga de 0.5 m. Calcular el gasto considerando forma hidrodinámica de los muros.

CAPÍTULO 5: FLUJO D DE E AGUA EN VERTEDORES

|5.13

Datos: B L

= =

4.5 m 2.0 m

P H

= =

1.8 m 0.5 m

D = 1.8 + 0.5 = 2.3 m

Puesto que:

b

B  L 4 .5  2.0   1 .25m 2 2

b  1. 25 m > 2 H   2 0.5   1.0 Se verifica que existen contracciones laterales Aplicando la expresión 5.15 (al asumir velocidad de llegada debido a la ubicación del vertedor sobre un canal) con C = 1.84, y considerando K = 0.06 y n = 2.

0. 5 2   Q  1.84  2.0  0.06  2.0  0.5  0.53/2  1.0  0.26  2. 32  

Q   1. 84 1. 94 0. 3541.012  1.279 m 3/s Ejemplo 5.6. Determinar el gasto a través de un vertedor sin contracciones laterales de 2.5 m de longitud de cresta y 1.30 m de altura funcionando con una carga de 0.85 m. El valor de C es de 1.87, seleccionar la fórmula adecuada. Q  C L H3 /2  1.87 2.5 0.85

3 /2

 3.66 m3 /s

Ejemplo 5.7. Con que carga desalojará un gasto de 500 L/s un vertedor rectangular sin contracciones laterales si su longitud es de 1.8 m?. Emplear C = 1.82. Q  1.82 L H

3/2

Despejando a H: 2/3

2/3

  Q  0.5  H    1.82  1.8   1.82  L 

 0.1509 

2/3

 0.286 m

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5.14

5.2.4. VERTEDORES TRIANGULARES Los vertedores triangulares se usan para aforo de gastos pequeños en canales. Los límites recomendados para los que se les consideran muy precisos, son los siguientes: Q  30 L/s y 0.06 m ≤ H ≤ 0.60 m En estos vertedores no tiene efecto considerable la velocidad de llegada ni las contracciones. La deducción de la expresión de gasto se hace con base en la figura 5.8, de manera completamente análoga que para el caso del vertedor rectangular; es decir, se parte también de la expresión para gasto de un orificio de dimensiones diferenciales, solo que en este caso el área diferencial es el producto xdy: dQ  Co x dy

dQ  Co

2g y

2g x

y dy

(5.17)

x S.L.A y dy



dA

H

Figura 5.8. Elementos de un vertedor triangular para la deducción de su ecuación de gasto

Obteniendo x en términos de y en alusión a la figura 5.9, que es una amplificación de la figura 5.8, la expresión anterior queda, como sigue:

tan

x /2   2 H y

  x   H  y tan  x  2 H  y  tan 2 2 2 Sustituyendo en la expresión 5.17 se obtiene la 5.18: CAPÍTULO 5: FLUJO D DE E AGUA EN VERTEDORES

|5.15

 dQ  Co 2 g 2H  y  tan y 1/2 dy 2

(5.18)

S.L.A

a 2 H-y

Figura 5.9. Relaciones geométricas para un vertedor triangular

Desarrollando la integral para los límites 0 y H, para un ángulo  dado:

Q   dQ  2 Co 2 g tan

 2



H

0

H

H y 1/2  0 y 3/2 dy



H 3/2 H y 5/2   H y  Q  2 Co 2 g tan   2  3/2 0 5/2 0 

Q  2 Co 2 g tan

Q

6 5/2    2H H 3/2 2 H5/2   10 H    2 Co 2 g tan  H5/2    2 3 5  2  15 15 

8  Co 2 g tan H5/2 15 2

(5.19)

Si se considera como coeficiente de gasto para vertedor triangular Cv , toda la parte constante de la expresión 5.19, expuesta como la 5.20, se simplifica en la 5.21, que es la ecuación de un vertedor triangular:

Cv 

 8 Co 2 g tan 15 2

Q  Cv H

(5.20)

5/2

(5.21)

En particular, si en la expresión 5.20,   90 ,  /2  45 , tan  /2  1 y con

Co  0.61 . APUNTES DE HI HIDRÁULICA DRÁULICA BÁSI BÁSICA CA

5.16

Cv 

8 8 Co 2 g  0 .61 19 .62  1 .441 15 15

De modo que la ecuación 5.21, se escribe como sigue, al sustituir el coeficiente Cv: Q  1 .441 H5/2

(5.22)

En la tabla 5.1, se reportan expresiones de varios autores para diversos valores del ángulo . Tabla 5.1. Expresiones para vertedores triangulares definidas por diversos autores AUTOR Francis Barr King Francis Barr King Bames Boucher Thomson Hertzleer Barr

ÁNGULO( ) 60° 60° 60° 90° 90° 90° 90° 90° 90° 120° 120°

EXPRESIÓN Q = 0.81 H 2.50 Q = 0.80 H 2.50 Q = 0.77 H 2.47 Q = 1.40 H 2.50 Q = 1.34 H 2.48 Q = 1.35 H 2.48 Q = 1.33 H 2.48 Q = 1.34 H 2.48 Q = 1.40 H 2.5 Q = 2.35 H 2.48 Q = 2.39 H 2.50

Lenz, por su parte, definió la siguiente expresión general para vertedores triangulares:

  N  Q  1 .2554  n  tan H5/2 2 H  

(5.23)

Válida para los siguientes límites: 0.06 m ≤ H ≤ 0.50 m

y

B ≥ 4(H + L)

Los valores de los parámetros N y n, definidos por Lenz son los expuestos en la tabla 5.2, para los ángulos  más comunes de vertedores triangulares.

CAPÍTULO 5: FLUJO D DE E AGUA EN VERTEDORES

|5.17

Tabla 5.2. Valores de los parámetros N y n de la expresión de Lenz



30°

45°

60°

90°

n

0.576

0.579

0.582

0.588

N

0.131

0.102

0.087

0.068
...