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Capítulo 5 – Pontes DC e AC – Prof. Fábio Bertequini Leão / Sérgio Kurokawa

Capítulo 5 – Pontes DC e AC 5.1 - Introdução Conforme mostrado no capítulo 04, a escala do ohmímetro é não linear e esta não linearidade pode resultar em erros incompatíveis com o grau de precisão desejado na medição de resistências. Portanto o ohmímetro pode não ser o instrumento mais adequado para medir resistências, quando se deseja um alto grau de precisão. Nestas situações, pode-se utilizar um instrumento denominado ponte. As pontes são sistemas que podem ser utilizados para medir resistências, indutâncias e capacitâncias.

5.2 – Ponte de Wheatstone (Ponte DC) Considere o circuito mostrado na Figura 5.1. C

R1 E

A

R2 Rm

Ig

Galvanômetro B

G

R4

R3 D

Figura 5.1: Circuito esquemático da ponte de Wheatstone DC.

O circuito da Figura 5.1 pode ser desenhado conforme mostra a Figura 5.2.

i2

C

i1 E

R1 A

i1 -Ig i4 D

1

Rm Ig R4

R2 G

R3

2

i3

B

i2 +Ig

Figura 5.2: Circuito da ponte de Wheatstone DC redesenhado.

1

Capítulo 5 – Pontes DC e AC – Prof. Fábio Bertequini Leão / Sérgio Kurokawa

Aplicando a Lei das correntes de Kirchhoff aos nós A e B do circuito da Figura 5.2 tem-se: A) i4  i1  I g

(5.1)

B) i3  i2  I g

(5.2)

A partir das equações (5.1) e (5.2) e percorrendo as malhas 1 e 2 (Lei das tensões de Kirchhoff) do circuito da Figura 5.2 tem-se: Malha 1: R1i1  R mI g  R 2i 2

(5.3)

Malha 2: R4  i1  I g   Rm I g  R3 i2  I g 

(5.4)

Impondo a condição de que a corrente no galvanômetro é nula (Ig=0), as equações (5.3) e (5.4) tornam-se: R1i1  R2i2

(5.5)

R4 i1  R3i2

(5.6)

Dividindo a equação (5.5) pela equação (5.6) fica:

R1i1 R 2i 2 R R   1  2  R 2 R4  R1R3 R4i1 R3i2 R4 R3

(5.7)

A equação (5.7) é uma propriedade da ponte de Wheatstone quando a corrente no galvanômetro é nula (Ig=0). Esta propriedade torna possível o uso da ponte de Wheatstone como um sistema que determina o valor de uma resistência desconhecida. Para isto, considere a ponte mostrada na Figura 5.3.

Figura 5.3: Ponte de Wheatstone com R1 variável e uma resistência Rx a ser medida. No circuito mostrado na Figura 5.3 R1 é um resistor variável cujo valor pode ser ajustado até que se tenha a condição (Ig=0). Nestas condições têm-se:

R1R 3  R 4R x

(5.8)

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Os resistores R3 e R4 possuem valores constantes e conhecidos. Portanto a equação (5.8) pode ser escrita como sendo:

Rx  k  R1

(5.9)

Sendo:

k

R3 : Relação constante entre R3 e R4 que são resistores fixos e conhecidos. R4 A equação (5.9) mostra que se o valor de R1, ajustado de modo que (Ig=0), for conhecido, é

possível determinar o valor de Rx. Geralmente R1 é uma década de resistores. Denomina-se década ao conjunto constituído por resistores cujos valores são múltiplos de 10, sendo que há 10 resistores para cada valor de resistência. Os resistores de uma década podem ser associados (em qualquer quantidade) em série. A Figura 5.4 ilustra o diagrama esquemático de uma década constituída de 4 resistores com os valores de resistências: 0,01Ω; 0,1Ω; 1Ω e 10Ω. Para esta década é possível ter-se uma faixa de resistências entre 0,01Ω e 111,1Ω com uma precisão de 0,01Ω. Observa-se na Figura 5.4 que o ajuste da década é dado por: 8x0,01+4x0,1+9x1+6x10 = 0,08+0,4+9+60 = 69,48Ω.

Figura 5.4: Década constituída de 4 resistores.

Na Figura 5.5 é ilustrada uma década real de 6 resistores.

Figura 5.5: Década real de 6 resistores 3

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Como ilustração, considere uma década com os seguintes valores de resistências: 0,01Ω; 0,1Ω; 1Ω; 10Ω; 102Ω; 103Ω; 104Ω; 105Ω. A Tabela 5.1 ilustra a relação de resistências e seus valores para esta década.

Tabela 5.1: Relação de resistências e seus valores para uma década de 8 resistores. Resistência Quantidade de Resistências Valor por Resistência (Ω)

Total (Ω)

01

10

0,01

10x0,01=0,1

02

10

0,1

10x0,1=1

03

10

1

10x1=10

04

10

10

10x10=102

05

10

102

10x102=103

06

10

103

10x103=104

07

10

104

10x104=105

08

10

105

10x105=106

Total

1.111.111,1

Portanto, com a década ilustrada na Tabela 5.1 é possível ajustar R1 entre 0,01Ω e 1.111.111,1Ω, com uma precisão de 0,01Ω. Caso esta década seja utilizada na ponte mostrada na Figura 5.3 a mesma terá capacidade para determinar resistências com valores compreendidos entre os valores Rmin e Rmax dados por:

Rmin=0,01 k Rmax=1.111.111,1 k Sendo: k 

R3 R4

Atualmente as pontes são construídas de modo que o valor de Rx seja determinado automaticamente, sem que haja a necessidade do operador manuseá-la. A Figura 5.6 ilustra um circuito que pode dar origem a uma ponte automática.

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Figura 5.6: Ponte de Wheatstone automática.

Na Figura 5.6 E1 é uma fonte de tensão variável, E2 é uma fonte de tensão de valor constante e Rx é um resistor de valor desconhecido que se deseja medir. Ajustando E1 até que a corrente no galvanômetro seja nula (Ig=0) tem-se: Malha 1: E1  Rx i  Rm I g  0  E1  R xi

(5.10)

Malha 2: E2  Rm I g  R1  i  I g   0  E2  R1i

(5.11)

Dividindo a equação (5.10) pela equação (5.11) fica: E1 Rx R    R x  E1  1  E2 R1  E2 

(5.12)

A tensão E1 para a qual (Ig=0) pode ser lida no voltímetro do circuito da Figura 5.6. Em seguida, é possível encontrar o valor de Rx utilizando a expressão (5.12) visto que R1 e E2 são conhecidos. Pode-se aperfeiçoar o sistema da Figura 5.6 de modo que E1 seja ajustado automaticamente tal que (Ig=0). Neste caso teríamos uma ponte automática. Exemplo 5.1: A ponte DC da Figura 5.3 possui disponível uma década de resistências (R1)

constituída por 4 resistores conforme ilustrado na Figura 5.4 para realizar a medição. A década é composta pelas resistências dadas por: 0,01Ω; 0,1Ω; 1Ω e 10Ω. Sabendo-se que R3+R4=100Ω pede-se: a) Projete os valores de R3 e R4 de modo que a ponte apresente um fundo de escala de 1000Ω; b) Encontre o valor de resistência medido quando a ponte é utilizada para medir três resistências, sendo valores de 1Ω, 10Ω e 1000Ω; c) Encontre os erros percentuais entre o valor medido e o real; 5

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Exemplo 5.2: A ponte DC automática da Figura 5.6 é utilizada para medir uma resistência

de 50Ω. Sabendo que E1+E2=9V e R1=100Ω, qual é o valor de E1 que deve ser ajustado pela ponte de modo que o erro percentual entre o valor medido e o real seja ≤ 1% ? 5.3 – Pontes AC

A Figura 5.7 ilustra uma ponte AC genérica. A

N

M

B

Figura 5.7 – Ponte AC genérica.

Na Figura 5.7 os elementos Z1, Z2, Z3 e Z4 são impedâncias e D é um medidor de corrente que possui uma impedância Zd. A fonte E é uma fonte de tensão senoidal que possui uma impedância Zg. Se, na figura 5.7, a corrente no medidor D é nula podemos escrever: Z 1  Z3  Z 2  Z 4

(5.13)

5.3.1 Ponte de Owen

Esta ponte é utilizada para medir impedâncias constituídas de resistências e indutâncias conectadas em série, conforme mostra a Figura 5.8.

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Capítulo 5 – Pontes DC e AC – Prof. Fábio Bertequini Leão / Sérgio Kurokawa A

M

N

B

Figura 5.8: Ponte de Owen Na Figura 5.8 o elemento C1 é um capacitor e R2 é um resistor cujos valores são conhecidos. Os elementos C4 e R4 são, respectivamente, um capacitor e um resistor que podem ser ajustados independentemente. Os elementos R3 e L3 são a resistência e a indutância, associados em série, cujos valores devem ser determinados pela ponte de Owen. Observe que, na Figura 5.8, foram omitidos a fonte de tensão senoidal e o medidor de corrente D. Os elementos descritos anteriormente constituem as impedâncias Z1, Z2, Z3 e Z4 escritas como sendo: Z1   j

1 ω C1

(5.14)

Z2  R 2

(5.15)

Z3  R 3  j  L 3

(5.16)

1  C4

(5.17)

Z 4  R4  j

Ajustado C4 e R4 de modo tal que a corrente no medidor D seja nula, é possível aplicar a equação 5.13 na ponte de Owen. Substituindo então as equações 5.14 a 5.17 na equação 5.13, tem-se:

Z3 

Z2 R2 Z 4  1 Z1 j C1

  1  1    R4  j  jC1  R 2   R 4  j     C C   4  4

R 3  j L3  j C 1  R 2  R 4 

C1  R2 C1  R2   j C 1  R 2  R 4  C4 C4

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R 3  j L3 

C1  R2  jC1  R2  R4 C4

(5.18)

A partir da equação 5.18 verifica-se que R3 e L3 (resistência e indutância a serem medidas) são escritas como:

R 2  C1 C4

(5.19)

L3  R2  R4  C1

(5.20)

R3 

A ponte de Owen é bastante útil para medir a resistência e a indutância de uma bobina. Deste modo esta ponte pode ser empregada para determinar as resistências e as indutâncias de enrolamentos de transformadores e de motores, por exemplo.

5.3.2 Ponte de Schering

A Figura 5.9 mostra uma ponte de Schering. Esta estrutura é utilizada para medir impedâncias constituídas por uma resistência e uma capacitância conectados em série. A

N

M

B

Figura 5.9: Ponte de Schering Na Figura 5.9 o resistor R1 e a capacitância C1 são variáveis e podem ser ajustados de modo a anular a corrente que circula no medidor D. O capacitor C2 e o resistor R4 possuem valores fixos, enquanto que R3 e C3 constituem o resistor e a capacitância cujos valores devem ser determinados pela ponte. Os elementos descritos anteriormente constituem as impedâncias Z1, Z2, Z3 e Z4 escritas como sendo:

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 1 R1   j  1    C1 Z1  R1 / /   j  1   C1  R1  j  C1

Z1 

  C 1     C1 

 j R1  C1  R1  j

Z2   j

1 ω C2

Z3  R3  j

(5.21)

(5.22)

1  C3

(5.23)

Z4  R 4

(5.24)

Ajustando C1 e R1 de modo tal que a corrente no medidor D seja nula, é possível aplicar a equação 5.13 na ponte de Schering. Substituindo então as equações 5.21 a 5.24 na equação 5.13, obtém-se:

1 C 2  jR4 R1  C1  j  Z  R4    Z 3 2  Z 4   jR1 C2 Z1  jR1 R1  C1  j j

Z 3  R3  j

R3  j

 R4  R1  C1 R4 1  j   C3 C2  R1 C2  R1

1 R C R4  4 1 j C2  C3 C 2  R1

(5.25)

A partir da equação 5.25 verifica-se que R3 e C3 (resistência e capacitância a serem medidas) são escritas como: R3 

R4  C 1 C2

(5.26)

C3 

R1  C2 R4

(5.27)

A ponte de Schering é bastante utilizada para medir a componente resistiva de dielétricos de capacitores e também para medir a capacidade de isolação de materiais isolantes.

Exemplo 5.3: Quais modificações deveriam ser realizadas na ponte de Owen para que a

mesma funcione como uma ponte para medir somente indutâncias ? Exemplo 5.4: Quais modificações deveriam ser realizadas na ponte de Shering para que a

mesma funcione como uma ponte para medir somente capacitâncias ? 9...