Capítulo 6 Distribuciones de probabilidad EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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Capítulo 6 Distribuciones de probabilidad Distribución binomial – de Poisson – Hipergeométrica y normal EJERCICIOS RESUELTOS Se presenta el desarrollo de los 210 ejercicios que tiene este capítulo 1. Solución: n4 p 1 2 2 4 2 q 1 2 P x  2   C 24  1   1    6  0,375  37,5% P x 2  ...

Description

Capítulo 6 Distribuciones de probabilidad Distribución binomial – de Poisson – Hipergeométrica y normal

EJERCICIOS RESUELTOS Se presenta el desarrollo de los 210 ejercicios que tiene este capítulo 1. Solución:

P x  2   C 24  1   2

2

4 2

 1    2

 6  0,375  37,5% 16

n4 p 1 2 q 1 2 X 2

P x 2   37,5%

n4 p 1 2 q 1 2 X 3

P x 3  25,0%

(exactamente dos caras)

2. Solución: P x 3   C 34  1   2

3

 1   2

1

 4!   1   1  4  1       4  P x 3     0,25  25%   3 ! 1 ! 2 2 16 16         (exactamente 3 caras)

3. Solución: P x  2   C 24  1   6

2

 5   6

2



4!   1   25        2 ! 2 !   36   36 



150  4  3   25   25   0,1157  11,57%    6   1.296  2   1.296   1.296 

P x  2   

n4 p 1 6 q5 6 X 2

P x  2   11,57%

(exactamente dos cincos)

4. Solución: a) n  8

P  0,8  ganar

q  0,2

X

2

P x  2   ?

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

   0,8 8 2

P x  2  

2

 0,2 6  0,001146  0,1146 %

P  0,2  perder

b) n  8

   0,2 8 2

P x  2  

2

P x 2   0,1146 %

q  0,8

X

P x  2   ?

2

 0,8 6  0,2936  29,36%

P  0,2  perder

c) n  8

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

P x  2   29,36%

q  0,8

P x  2   ?

x  mínimo ( 2) dos  2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8



P x 2   P 2   P 3  P 4   P 5   P 6   P 7   P 8   1  P 0   P1 P x 2   1 

   0,2 8 0

0



 0,8 8   18   0,2 1  0,8 7 

P x 2   1  0,1678  0,3355   1  0,5033  0,4967  49,67%

P  0,8  ganar

d) n  8

q  0,2

X

 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6



P x6   P 0   P1  P 2   P 3  P 4   P 5   P 6   1  P 7   P 8  P x6   1 

    0,8 8 7

7

P x  2   49,67%



 0,2 1   88   0,8 8   0,2 0 

P x  6   1   0,3355  0,1678   1  0,5033  0,4967  49,67% p  0,2  perder

e) n  8 P x 6  

   0,2 8 6

6

P x  6   ?

 0,8 2

q  0,8

X

6

P x  6   49,67%

P x  6 

 0,001147  0,1147 %

Observemos que decir: seis pierdan es lo mismo que dos ganen p  0,8  ganar

n8

P x  2  

   0,8 8 2

2

 0,2 6

q  0,2

 0,001147  0,1147 %

X

2

P x  2  P x  2   0,1147 %

2

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

5. Solución: p  1  0,5 2

P  C xn p x q n  x

4

P x  4   C46  1   1   2  2 a)

P x  4  

2

q  1  0,5 2

n6

 6!  1   1  2! 4!  16   4 

65  1  15  1   0,2344  23,44%    15    2  64  64  64 

P x 4   23,44 %

(exactamente 4 caras)

b) Como máximo 4 caras 0

P x  4   C06  1   1   2  2

6

1

5

2

 C16  1   1   C26  1   1   2  2  2  2

4

3

 C36  1   1   2  2

3

4

 C46  1   1   2  2

2

P x  4   11  1   6  1   1   15  1   1   20  1   1   15  1   1   64   2   32   4   16   8  8  16   4 

P x  4  

1 6 15 20 15 57       0,8906  89,06% 64 64 64 64 64 64

P x4   89,06%

También se puede resolver de la siguiente forma: 5 1  P x  4  1  C56  1   1   C66  1   2  2  2 

6

0  1      2 

64 7 57  1 6       0,8906  89,06% 64 64 64  64 64 

P x  4  1  

P x4   89,06%

(máximo 4 caras)

6. Solución: Aparición de un cinco, la probabilidad es 1/6; Aparición de un seis, la probabilidad es 1/6 p  1  1  2 1 6 6 6 3

q  1 p  3  1  2 3 3 3

3

a)

7   4

P x  4  

4

 1  2      3  3

3



7!  1   8       35 4 ! 3!  81   27  

8  280  0,1280  12,80%   2 . 187 2 .187   

P x 4   12,80%

(cuatro éxitos) 0

P x  4   C07  1   3 b)

 2   3

7

 C17  1   3

1

 2   3

6

 .............. C47  1   3

4

 2   3

3

P x  4   11  128   7  1   64   21  1   32   35  1   16   35  1   8   2.187   3   729   9   243   27   81   81   27 

P x 4   128  448  672  560  280  2.088  2.187 2.187 2.187 2.187 2.187 2.187  0,9547  95,47%

P x  4   95,47%

(máximo 4 éxitos)

También puede resolverse así: P x  4 

  1  1    7    5     3 

5

 2    3

2

 1   7    6    3

6

1

 2 7  1         7   3  3

7

0  2      3  

P x  4   1   21  1   4   7  1   2   1  1  1   243   9   729   3   2.187    P x 4   1  

84  14  1   1  99  1  0,0453  2.187 2.187 2.187  2.187

P x  4   95,47%

 0,9547  95,47 %

7. Solución: n4

p  0,10

q  0,90

a)

P x  0   C04  0,1

 0,9 4  1 1  0,6561  0,6561  65,61%

P x 0  65,61%

b)

P x 1  C14  0,1  0,9  4  0,1  0,729   0,2916  29,16%

P x 1  29,16%

2

c)

P x  2   C24  0,1

 0,9 2  6  0,01  0,81  0,0486  4,86%

P x 2  4,86%

P x  2   C04  0,1

0

d)

 0,9 4

0

1

3

 C14  0,1  0,9   C24  0,1 1

3

2

 0,9 2

P x  2   0,6561  0,2916  0,0486  0,9963  99,63%

P x  2   99,36%

(no más de dos defectuosos)

4

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

8. Solución: a) p  0,40

b)

q  0,60

n 5

X

2

P x  2   C25  0,4 

2

 0,6 3  10  0,16   0,216   0,3456  34,56%

P x1  C 05  0,4

0

 0,6 5

 C15  0,4

P x 2   34,56%

 0,6 4

1

5! 1  0,07776   15!4!!  0,4  0,1296  0 ! 5!

P x 1 

P x1  1 1  0,07776   5  0,4   0,1296   0,07776  0,2592  0,3369  33,69%

P x 1  33,69%

(menos de 2 golpes)

9. Solución: n 8

p  0,5

P x  5   C08  0,5

0

q  0,5

X

 0,5 8  C18  0,51  0,5 7

 C48  0,5

4

 0, 1, 2, 3, 4, 5,

 C28  0,5

2

 0,5 6

 C38  0,5

 0,5 4  C58  0,5 5  0,5 3  0,85543  85,54%

3

 0,5 5 P x  5   85,54%

Es posible resolverlos de la siguiente forma:



P x 5   1  C68  0,5 6  0,5 2  C78  0,5 7  0,5 1  C88  0,5 8  0,5 0



P x  5   1   28  0,015625   0,25   8  0,00781   0,5  1  0,00396  1  P x 5   1   0,10937  0,03124  0,00396   1  0,14457  0,85543  85,54% P x  5   85,54% (menos de 6 caras)

10. Solución: p  0,05

q  0,95

P x 2   C 06  0,05 

0

 0,95  6

n 6

 C16  0,05 

X 1

 0,95 5

 0, 1, 2,

 C 26  0,05 

2

 0,95 4

P x  2   1 1  0,735091   6  0,05   0,773780   15  0,0025   0,814506  P x  2   0,735091  0,232134  0,030543  0,997768  99,78%

P x  2   99,78 %

5

11. Solución: p  0,10

a)

q  0,90

0

P x3  C35  0,1  0,9  C 45  0,1  0,9  C 55  0,1  0,9  2

4

1

5

0

 0,00810  0,00045  0,00001  0,00856

P x  3  0,856 %

P x  3  C35  0,1  0,9  0,00810  0,81%

P x  3  0,81%

3

c)

X

0 5 5 0 P x 0   C 05  0,1  0,9  C 55  0,9   0,1 1 1  0,5905   0,5905  59,05% P x 0   59,05%

3

b)

n 5

2

(exactamente 3 mueran)

12. Solución: p  0,2

q  0,8

n 4

a)

P x 1  C14  0,2   0,8  4  0,2  0,512   0,4096  40,96%

P x 1  40,96%

b)

P x  0   C04  0,2  0,8  11  0,4096   0,4096  40,96%

P x  0   40,96%

c)

P x  2   C04  0,2   0,8  C14  0,2   0,8  C24  0,2 

1

3

0

4

0

4

1

3

2

 0,8 2

P x  2   0,4096  0,4096  0,1536  0,9728  97,28%

P x  2   97,28%

(no más de dos cerrojos sean defectuosos)

13. Solución: p  0,4

q  0,6

n 5

a) Que ninguno se gradué: P x  0   C05  0,4   0,6  0,0778  7,78% 0

5

P x  0   7,78%

b) Que se gradué uno: P x 1  C15  0,4  0,6  0,2592  25,92% 1

4

P x 1  25,92%

c) Que se gradúe al menos uno:

6

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

P x 1  1  C05  0,4  0,6  1  0,0778  0,9222  92,22% 0

5

P x 1  99,22%

14. Solución: p 1 6

q 5 6 1

a)

P x 1 

C15

n 5

 1  5      6  6

4

2

3

P x  2   C25  1   5   6  6 b) 3

P x  3  C35  1   5   6  6 c) 4

P x  4   C45  1   5   6  6 d) 0

P x  0   C05  1   5   6  6 e)

3.125  1   625   0,4019  40,19%     7.776  6   1.296 

P x 1  40,19%

1.250  10  1   125    0,1608  16,08 % 36 216 7 .776    

P x  2  16,08 %

5

2

1

5

1   25   250  0,0321  3,21%     216   36  7.776

P x  3  3,21%

 5 

1   5   25  0,0032  0,32 %     1.296   6  7.776

P x  4   0,32%

 11  3.125   0,4019  40,19%  7.776  (ninguna vez)

P x  0   40,19%

 10 

15. Solución: p  0,10

q  0,90

n 4

a)

P x  0   C04  0,1  0,9   0,6561  65,61%

P x 0   65,61%

b)

P x 1  1  C04  0,1  0,9  0,3439  34,39%

P x 1  34,39%

c)

P x 1  C 04  0,1

0

4

0

0

4

 0,9 4

 C14  0,1  0,9  1

3

P x 1  94,77%

 0,6561  0,2916  0,9477  94,77%

16. Solución: p  0,2

q  0,8

n 10

a)

P x  2   C210  0,2  0,8  0,3020  30,2%

b)

P x 3  1  C010  0,2  0  0,8 10  C110  0,2  1  0,8 9  C210  0,2  2  0,8 8

2



8

P x  2   30,2%



7

P x3   1   0,1074  0,2684  0,3020   1  0,6778  0,3222  32,22%

c)

P x  3  32,22%

10  0,2 P x  6   C610  0,2   0,8  C710  0,2   0,8  C810  0,2   0,8  C910  0,2   0,8  C10 6

4

7

3

8

2

9

1

10

 0,8 0

P x6   0,63%

 0,0055  0,0008  0,0000  0,0000  0,0063 (Se usó la tabla para el cálculo)

P x  0   C010  0,2   0,8 0

d)

10

P x  0   10,74%

 0,1074  10,74%

17. Solución: p  0,5

q  0,5

n 10

X

 3, 2, 1, 0

P x  3   C310  0,5  0,5  C210  0,5  0,5  C110  0,5  0,5  C010  0,5  0,5 3

7

2

8

1

9

0

10

P x  3  17,19%

 0,1172  0,0439  0,0098  0,0010  0,1719  17,19 %

E 100  0,1719   18 personas de100

E  np

18. Solución: p  0,5

q  0,5

n 10

X  7, 8, 9 y 10

P x 7   C 710  0,5  0,5  C810  0,5  0,5 2  C 910  0,5  0,5  C1010 (0,5)10 (0,5) 0 7

3

8

9

1

P x7   0,1172  0,0439  0,0098  0,0010  10,1719  17 ,19%

P x 7   17 ,19%

19. Solución: n 15

p  0,10

P x  5   C515  0,1  0,9 5

a) b)

15  0,1 P x 10  C10

15  0,1 C13

13

10

q  0,90 10

P x 5  1,05%

 0,0105  1,05%

 0,9 5  C1115  0,111  0,9 4

15  0,1  C12

12

 0,9 3 

 0,9 2  C1415  0,114  0,91  C1515  0,115  0,9 0  0,0000

P x 10  0

(Como se trabaja con cuatro decimales, aproximamos a cero) (Se utilizó la tabla) A partir de x > 8 la probabilidad obtenida es demasiado pequeña, casi cero.



15 15 15   0   15   1   14   2   13 c) P x 5   1  C 0 0,1 0,9  C1 0,1 0,9  C 2 0,1 0,9 

8

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

C315  0,1 3  0,912  C415  0,1 4  0,911

Cap.6 Distribuciones de probabilidad



Utilizando la tabla se tiene:

P x5   1   0,2059  0,3432  0.2669  0,1285  0,0428  0,9873 

P x5  1,27%

P x5   1  0,9873  0,0127 1,27 %

20. Solución: p  0,25

n  20

a) b)

20  0,25 P x 15  C15

P x  4   C020  0,25 

15

0

q  0,75

 0,75  5  0,0000 ...............  0 (ver tabla)

 0,75 20  C120  0,25 1  0,7519  ........... C420  0,25 4  0,7516

 0,0032  0,0211  0,0669  0,1339  0,1897  0,4148  41,48%

c)

P x 8   C820  0,25 

8

P x 15  0

P x  4   41,48%

 0,75 12  C920  0,25 9  0,75 11  ........... C2020  0,25 20  0,75 0

Es más fácil resolverlo de la siguiente forma:



P x 8   1  C020  0,25  0  0,75  20  C120  0,25  1  0,75  19  ............C720  0,25  7  0,75  13



 1   0,0032  0,0211  0,0669  0,1339  0,1897  0,2023  0,1686  0,1124    1  0,8981  10,19%

(por lo menos 8 defectuosas)

P x  8   10,19%

21. Solución: p  0,5

q  0,5

n4

P x 1  1  C04  0,5  0,5  1  0,0625  0,9375 0

a)

4

P x 1  93,75%

E  2.000  0,9375   1.875 familias P x  2   C 24  0,5  0,5  0,3750 2

b)

2

P x  2   37,50%

E  2.000  0,3750   750 familias

9

P x 0   C 04  0,5  0,5  0,0625 0

c)

4

P x  0   6,25%

E  2.000  0,0625   125 familias (Se utilizaron las tablas)

22. Solución: P x  2   C015  0,05   0,95  0

15

 C115  0,05   0,95  1

14

 C215  0,05   0,95  2

13

P x  2   96,39 %

 0,4633  0,3658  0,1348  0,9639 = 96,39% (Se utilizó la tabla)

23. Solución: p  0,40

n  20

P x 11  C1120  0,4

11

 0,6 9

 C1220  0,40 

12

 0,6 8  ........  C2020  0,4 20  0,6 0

Utilizando la tabla se tendrá que: P x 11  0,0710  0,0355  0,0146  0,0049  0,0013  0,0003  0  0  0  0   0,1276  12,76 %

P x 11  12,76 %

(mitad más uno)

(Se utilizó la tabla para el cálculo)

24. Solución: p  0,20

q  0,80

P x  8   C818  0,20   0,80  8

n  18 10

X

8

P x  8   1,20%

 0,0120  1,20%

25. Solución: P 5  x  7   C510  0,5  0,5  C610  0,5  0,5  C710  0,5  0,5 5

5

6

4

P 5  x  7   0,2461  0,2051  0,1172  0,5684  56,84%

7

3

P 5  x  7   56,84%

10

...