Probabilidad Conjunta - Ejercicios Resueltos PDF

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Ejercicios Resueltos:
-Distribución Conjunta
-Distribución Marginal
-Distribución Condicional
-Independencia de Variables Aleatorias
-Valores Esperados...

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5.- Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos –  Distribución Conjunta  Distribución Marginal  Distribución Condicional  Independencia de Variables Aleatorias  Valores Esperados

5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1.- Cierto supermercado tiene una caja de salida común y una caja rápida, en que X 1 es el número de clientes que están esperando en la caja común, en un momento particular del día, y X2 es el número de clientes que están esperando en la caja rápida, al mismo tiempo. Suponga que la función de probabilidad conjunta de X1 y X2 es la siguiente: X1 \ X2 0 1 2 3 4

0 .08 .06 .05 .00 .00

1 .07 .15 .04 .03 .01

2 .04 .05 .10 .01 .05

3 .00 .04 .06 .07 .06

1.1) Calcule la probabilidad de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de espera que en la otra. 1.2) Si se sabe que en la caja común hay dos personas esperando, ¿Cuál es el número esperado de clientes que están en la caja rápida? 1.1) Solución: Lo primero será definir las variables a utilizar:

𝑥1 = “Número de clientes que esperan caja común” 𝑥2 = “Número de clientes que esperan caja rápida”

Luego, debemos representar la probabilidad que la fila 𝑥1 tenga por lo menos dos clientes más que la fila 𝑥2 , lo que está dado por: 𝑃(𝑥1 ≥ 𝑥2 + 2) = 𝑃(𝑥1 = 2; 𝑥2 = 0) + 𝑃(𝑥1 = 3; 𝑥2 = 0) + 𝑃(𝑥1 = 4; 𝑥2 = 0) + 𝑃(𝑥1 = 3; 𝑥2 = 1) +𝑃(𝑥1 = 4; 𝑥2 = 1) + 𝑃(𝑥1 = 4; 𝑥2 = 2)

Y el otro caso está dado por: 𝑃(𝑥1 + 2 ≤ 𝑥2 ) = 𝑃(𝑥1 = 0; 𝑥2 = 2) + 𝑃(𝑥1 = 0; 𝑥2 = 3) + 𝑃(𝑥1 = 1; 𝑥2 = 3)

Finalmente, calculando la suma de estas probabilidades, tenemos: 𝑃(𝑥1 ≥ 𝑥2 + 2) + 𝑃(𝑥1 + 2 ≤ 𝑥2 ) = 0,05 + 0,03 + 0,01 + 0,05 + 0,04 + 0,04 = 0,22

Respuesta: La probabilidad de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de espera que en la otra, corresponde a 0,22 1.2) Solución: 𝑥2

0 1 2 3

𝑓(𝑥2 /𝑥1 = 2)

0,05/0,25 = 0,04/0,25 = 0,10/0,25 = 0,06/0,25 =

0,20 0,16 0,40 0,24

Luego, calculamos el valor esperado:

𝐸(𝑥2 /𝑥1 = 2) = ∑ 𝑥2𝑖 ∙ 𝑃(𝑥2𝑖 /𝑥1 = 2) 𝑅𝑒𝑐 𝑥 2

𝐸(𝑥2 /𝑥1 = 2) = 0 ∙ 0,20 + 1 ∙ 0,16 + 2 ∙ 0,40 + 3 ∙ 0,24 𝐸(𝑥2 /𝑥1 = 2) = 1,68

Respuesta: Si en la caja común hay dos personas esperando, entonces el número esperado de clientes que están en la caja rápida es 1,68

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5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

2.- En una Financiera, se consideran variables aleatorias: 𝒙 = Número de préstamos solicitados diariamente 𝒚 = Número de solicitudes rechazadas diariamente, tal que su distribución de probabilidad conjunta es: 𝒚 0 1 2 3 4 𝒙 1 0,15 0,01 0,00 0,00 0,00 2 0,20 0,08 0,02 0,02 0,00 3 0,30 0,15 0,05 0,05 0,04 Determine el número esperado de solicitudes rechazadas diariamente, cuando el número de préstamos solicitados en el día es máximo. 2) Solución: Lo primero es definir el número de préstamos solicitados en el día cuando este es máximo, esto se puede definir por simple inspección, cuyo resultado es tres, por lo tanto, creamos una tabla con probabilidad de número de préstamos solicitados diariamente, dado que el número de solicitudes rechazadas diariamente sea igual a tres. 𝑦

0 1 2 3 4

𝑓(𝑦/𝑥 = 3)

0,30/0,59 0,15/0,59 0,05/0,59 0,05/0,59 0,04/0,59

En seguida, procedemos a determinar el número esperado de solicitudes rechazadas diariamente:

𝐸(𝑦/𝑥 = 3) = 0 ∙

𝐸(𝑦/𝑥 = 3) = ∑ 𝑦 ∙ 𝑝(𝑦/𝑥 = 3) 𝑅𝑒𝑐 𝑦

0,30 0,04 0,05 0,05 0,15 +4∙ +3∙ +2∙ +1∙ = 0,9492 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59

Respuesta: El número esperado de solicitudes rechazadas diariamente, cuando el número de préstamos solicitados en el día es máximo, es igual a 0,9492 3.- Una empresa vende dos tipos de “chancadoras”, ligeras y pesadas. Las cantidades vendidas mensualmente son variables aleatorias, en que 𝒙 e 𝒚 representan en número de chancadoras vendidas al mes de tipo ligero y de tipo pesado respectivamente. La correspondiente distribución de probabilidad conjunta es la siguiente: 𝒙

0 1 2 3 4

𝒚

0

1

2

0,01 0,08 0,06 0,10 0,06

0,04 0,15 0,16 0,06 0,04

0,02 0,10 0,05 0,05 0,02

3.1) Se seleccionan al azar las ventas mensuales, en esta empresa, hasta ubicar un mes en que la cantidad vendida de chancadoras ligeras supera a la de las pesadas. Determine la probabilidad de tener éxito después del tercer mes elegido 3.2) La empresa tiene un costo fijo mensual de $2.000.000 y la diferencia entre el precio de venta y el costo variable es de $1.200.000 por chancadora tipo pesada vendida y $700.000 por chancadora tipo ligera vendida. Calcule utilidad mensual esperada y su varianza en la empresa.

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3.1) Solución: Lo primero que debemos hacer es definir las notaciones a utilizar:

𝑥 = “Número de chancadoras vendidas al mes de tipo ligero”

𝑦 = “Número de chancadoras vendidas al mes de tipo pesado” Luego, tenemos que obtener la probabilidad correspondiente a ubicar un mes en que la cantidad vendida de chancadoras ligeras supera a la de las pesadas, lo que se expresa de la siguiente forma:

𝑃(𝑥 > 𝑦) = 𝑃(𝑥 = 4; 𝑦 = 0) + 𝑃(𝑥 = 3; 𝑦 = 0) + 𝑃(𝑥 = 2; 𝑦 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1; 𝑦 = 0) + 𝑃 (𝑥 = 4; 𝑦 = 1) + 𝑃(𝑥 = 3; 𝑦 = 1) + 𝑃 (𝑥 = 2; 𝑦 = 1) + 𝑃(𝑥 = 4; 𝑦 = 2) + 𝑃 (𝑥 = 3; 𝑦 = 2) 𝑃(𝑥 > 𝑦) = 0,06 + 0,10 + 0,06 + 0,08 + 0,04 + 0,06 + 0,16 + 0,02 + 0,05 = 0,63

Después, definimos otra variable a utilizar:

𝑉 = “Cantidad de meses seleccionados hasta que la cantidad vendida de chancadoras ligeras, supera a la de las pesadas” Además, notemos que estamos en presencia de una distribución Geométrica, lo que se expresa de la siguiente manera: )𝑉−1 ; 𝑉 = 1,2, … )( ( 𝑉 ~ 𝐺𝑒𝑜 (𝑝 = 0,63) 𝑓(𝑉 ) = { 0,63 0,37 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑃(𝑉 > 3) = 1 − 𝑃 (𝑉 ≤ 3) = 1 − [𝑃(𝑉 = 1) + 𝑃 (𝑉 = 2) + 𝑃(𝑉 = 3)]

Finalmente calculamos la probabilidad que nos solicita el problema:

𝑃(𝑉 > 3) = 1 − [(0,63)(0,37)0 + (0,63)(0,37)1 + (0,63)(0,37)2 ] = 0,0507 Respuesta: La probabilidad de tener éxito después del tercer mes elegido, es 0,0507. 3.2) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:

𝑈 = “Utilidad mensual de la empresa, en MM$”

Distribuimos lo datos que nos otorga el problema, para así, poder trabajar con ellos de mejor manera. Después utilizando la fórmula de esperanza, obtenemos:

𝑥 0 1 2 3 4

𝑈 = 1,2𝑦 + 0,7𝑥 − 2 𝑃(𝑥) 0,07 0,33 0,27 0,21 0,12

𝑦 0 1 2

𝑃(𝑦) 0,31 0,45 0,24

𝐸 (𝑦 ) = ∑ 𝑦 ∙ 𝑃(𝑦 )= 0 ∙ 0,31 + 1 ∙ 0,45 + 2 ∙ 0,24 = 0,93 𝑅𝑒𝑐 𝑦

𝐸 (𝑥) = ∑ 𝑥 ∙ 𝑃 (𝑥) = 0 ∙ 0,7 + 1 ∙ 0,33 + 2 ∙ 0,27 + 3 ∙ 0,21 + 4 ∙ 0,12 = 1,98 𝑅𝑒𝑐 𝑥

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5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

𝐸 (𝑈) = 𝐸 (1,2𝑦 + 0,7𝑥 − 2) = 1,2𝐸 (𝑦 ) + 0,7𝐸 (𝑥) − 2

En seguida, por propiedades calculamos la esperanza de la Utilidad mensual de la empresa: 𝐸 (𝑈) = 1,2 ∙ 0,93 + 0,7 ∙ 1,9 − 2 = 0,502

Por otro lado, nos solicitan la varianza de la Utilidad mensual de la empresa, por lo que calculamos lo siguiente: 𝐸 (𝑥2 ) = ∑ 𝑥2 ∙ 𝑃(𝑥) = 02 ∙ 0,07 + 12 ∙ 0,33 + 22 ∙ 0,27 + 32 ∙ 0,21 + 42 ∙ 0,12 = 5,22 𝑅𝑒𝑐 𝑥

𝐸 (𝑦 2 ) = ∑ 𝑦 2 ∙ 𝑃(𝑦 ) =02 ∙ 0,31 + 12 ∙ 0,45 + 22 ∙ 0,24 = 1,41 𝑅𝑒𝑐 𝑦

𝑉 (𝑥) = 𝐸 (𝑥2 ) − [𝐸 (𝑥)]2 = 5,22 − [1,98]2 = 1,2996

𝑉 (𝑦 ) = 𝐸 (𝑦 2 ) − [𝐸 (𝑦 )]2 = 1,41 − [0,93]2 = 0,5451 𝐸 (𝑥𝑦) = ∑

∑ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑃 (𝑥, 𝑦) = 1,67

𝑅𝑒𝑐 𝑥

𝑅𝑒𝑐 𝑦

𝐶𝑜𝑣 (𝑥, 𝑦) = 𝐸 (𝑥𝑦 ) − 𝐸(𝑥) ∙ 𝐸 (𝑦 ) = 1,67 − 1,98 ∙ 0,93 = −0,17 Finalmente, como ya tenemos todos los valores necesarios calculamos la varianza de la Utilidad mensual de la empresa. 𝑉 (𝑈) = 𝑉 (0,7𝑥 + 1,2𝑦 − 2) = 0,72 𝑉(𝑥) + 1,22 𝑉(𝑦 ) − 2 ∙ 0,7 ∙ 1,2 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑉 (𝑈) = 1,22 ∙ 0,5451 + 0,72 ∙ 1,2996 − 2 ∙ 1,2 ∙ 0,7 ∙ (−0,17) = 1,707

Respuesta: La Utilidad mensual esperada y la varianza, en la empresa, son respectivamente, 0,502 y 1,707.

4.- Las proporciones 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐, de dos sustancias que se encuentran en muestras de insecticidas, tienen la siguiente función de densidad conjunta: 𝒇(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ) = {

𝟐 𝟎

𝟎 ≤ 𝒙𝟏 ≤ 𝟏 𝟎 ≤ 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏 𝒆𝒏 𝒐. 𝒄

Determine la proporción esperada de la sustancia 𝒙𝟏, cuando las muestras de insecticida contienen 0,2 de la sustancia 𝒙𝟐.

4) Solución: Definimos la función marginal de 𝑥2 , lo que se obtiene integrando la función con respecto a 𝑥1 , con los límites de integración dados gráficamente en la figura, como se muestra a continuación: 𝑓(𝑥2 ) =

∫ 𝑓 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 =

𝑅𝑒𝑐 𝑥1

1 − 𝑥2

∫

𝑥1 = 0

2 𝑑𝑥1 = 2(1 − 𝑥2 )

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5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Por lo que queda expresada la función marginal de 𝑥2 , de la siguiente forma: 𝑓 (𝑥2 ) = {

2(1 − 𝑥2 ) ; 0 ≤ 𝑥2 ≤ 1 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Luego, calculamos la función marginal de la sustancia 𝑥1 , dado que contiene 0,2 de la sustancia 𝑥2 , lo que se expresa como sigue: 𝑓 (𝑥1 ⁄𝑥2 = 0,2 ) =

1 2 𝑓 (𝑥1 , 𝑥2 ) | = | = 𝑓 (𝑥2 ) 𝑥 = 0,2 2(1 − 𝑥2 ) 𝑥 = 0,2 0,8 2 2

Y la distribución de dicha función marginal, se ve a continuación: 1 𝑓(𝑥1 ⁄𝑥2 = 0,2 ) = {0,8 0

; 0 ≤ 𝑥1 ≤ 0,8 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

En seguida calculamos la esperanza, por medio de la fórmula general de esperanza, para distribuciones continuas: 𝐸 (𝑥1 ⁄𝑥2 = 0,2 ) =

∫ 𝑥1 ∙ 𝑓(𝑥1 ⁄𝑥2 = 0,2 ) 𝑑𝑥1 =

𝑅𝑒𝑐 𝑥1

0,8

∫

𝑥1 = 0

𝑥1 𝑑𝑥 = 0,4 0,8 1

Análogamente, notemos que 𝑥1 ⁄𝑥2 = 0,2 , posee una distribución uniforme, por lo que se puede ocupar la formula de esperanza para distribuciones uniformes, quedando de la siguiente forma: (𝑥1⁄𝑥2 = 0,2) ~ 𝑈[0; 0,8]

𝐸 (𝑥1 ⁄𝑥2 = 0,2 ) =

0+0,8 2

= 0,4

Respuesta: La proporción esperada de la sustancia 𝑥1 , cuando las muestras de insecticida contienen 0,2 de la sustancia 𝑥2 , es igual a 0,4.

5.- El Departamento de Estudios de la Superintendencia de Electricidad y Combustible (SEC) dispone de la información del consumo de gas natural (X), expresada en cientos de m3, además del consumo de energía eléctrica (Y) en cientos de KW, de un conjunto de viviendas ubicadas en el sector sur oriente de la capital durante el mes de Abril pasado. La función de densidad conjunta de dichas variables es la siguiente: 𝒇𝒙𝒚 (𝒙, 𝒚) = {

𝒙+𝒚 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒙 < 2 ; 0 < 𝑦 < 4 𝟐𝟒 𝟎 𝒄. 𝒐. 𝒄.

La Superintendencia tiene la intención de revisar los medidores de aquellos hogares donde el consumo de gas y energía eléctrica no sobrepasa las respectivas cantidades esperadas. 5.1) ¿Qué porcentaje de los hogares de este sector debería revisar la SEG? 5.2) Si se considera una revisión aleatoria de 10 hogares del sector, determine la probabilidad de que sólo en uno de ellos se revisen los medidores.

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5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

5.3) Si se revisan los consumos de los hogares uno a uno, ¿Cuál es la probabilidad de que al tercer hogar revisado se encuentre el segundo hogar donde el consumo de gas y electricidad no sobrepase lo esperado? 5.4) De los hogares con un consumo de 100 m3 mensuales en gas ¿Qué proporción consume menos de 100 KW en energía eléctrica? 5.1) Solución: Sean:

𝑥 = “Consumo de gas natural, en cientos de m3”

𝑦 = “Consumo de energía eléctrica, en cientos de KW”

En seguida, procedemos a calcular las funciones marginales de 𝑥 e 𝑦, respectivamente: 4

𝑓𝑥 (𝑥) = ∫ 𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑅𝑒𝑐 𝑦

𝑦=0 2

𝑓𝑦 (𝑦 ) = ∫ 𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑅𝑒𝑐 𝑥

𝑥=0

(𝑥 + 2) 𝑥 +𝑦 1 𝑑𝑦 = (4𝑥 + 8) = 24 24 6

(𝑦 + 1) 𝑥+𝑦 1 (2 + 2𝑦) = 𝑑𝑥 = 24 12 24

Luego, determinamos las esperanzas de cada una de las variables, como se muestra a continuación: 2

2

(𝑥 + 2) 1 10 1 8 𝐸 (𝑥) = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓𝑥 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥 = ( + 4) = 6 6 3 9 6 𝑥=0

𝑅𝑒𝑐 𝑥

4

𝑥=0 4

1 22 1 64 (𝑦 + 1) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦 2 + 𝑦 𝑑𝑦 = ( + 8) = 𝐸 (𝑦 ) = ∫ 𝑦 ∙ 𝑓𝑦 (𝑦 ) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦 ∙ 12 12 3 12 9 𝑅𝑒𝑐 𝑦

𝑦=0

𝑦=0

Posteriormente, calculamos la probabilidad de los hogares de este sector que deber ía revisar el Departamento de Estudios de la Superintendencia de Electricidad y Combustible, los que corresponden a aquellos hogares donde el consumo de gas y energía eléctrica no sobrepasa las respectivas cantidades esperadas, por lo que los límites de integración están dados entre cero y el valor esperado de cada variable, lo que se denota de la siguiente forma: 10/9

𝑃(𝑥 ≤ 𝐸 (𝑥); 𝑦 ≤ 𝐸 (𝑦 )) = 𝑃(𝑥 ≤ 10⁄ 9; 𝑦 ≤ 22 ⁄9) = ∫ Finalmente, el porcentaje pedido es:

𝑥=0

22/9

∫

𝑦 =0

𝑥+𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0,2011 24

%𝑃(𝑥 ≤ 10⁄9 ; 𝑦 ≤ 22 ⁄9) = 0,2011 ∙ 100 = 20,11%

Respuesta: El porcentaje de los hogares de este sector que debería revisar la SEG, corresponde al 20,11%

5.2) Solución: Sea: 𝑤 = “Número de hogares donde se revisan los medidores, en una revisión aleatoria de 10 hogares del sector”

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5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Donde,

𝑤 10 − 𝑤 10 ; 𝑤 = 0,1,2, … ,10 ( 𝑤 ) (0,2011) (0,7989) 𝑃(𝑤) = { 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

𝑤 ~ 𝐵(𝑛 = 10 ; 𝑝 = 0,2011)

Luego, calculamos la probabilidad de que a sólo uno le revisen el medidor: 10 𝑃(𝑤 = 1) = ( ) (0,2011)1 (0,7989)9 = 0,2666 1

Respuesta: Si se considera una muestra aleatoria de 10 hogares del sector, la probabilidad de que sólo en uno de ellos se revisen los medidores, es igual a 0,2666.

5.3) Solución: Sea: 𝑣 = “Número de hogares revisados hasta encontrar el segundo, cuyo consumo de gas y electricidad no sobrepase lo esperado” 𝑣−1 ( ) 0,2011)2 (0,7989)𝑣 − 2 ; 𝑣 = 2,3, … 1 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 2 1 2 𝑃(𝑣 = 3) = ( ) (0,2011) (0,7989) = 0,065 1 Respuesta: Si se hace una revisión de los consumos uno a uno, la probabilidad de que al tercer hogar revisado, se encuentre el segundo hogar donde el consumo de gas y electricidad no sobrepase lo esperado, corresponde a 0,065. ( 𝑃 (𝑣 ) = {

Con: 𝑣 ~ 𝐵∗ (𝑟 = 2; 𝑝 = 0,2011)

𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑦⁄ 𝑥) = 𝑓𝑥 (𝑥)

𝑥+𝑦

5.4) Solución: Lo primero será definir la función condicional:

Luego, calculamos la función condicional para 𝑥 = 1:

24 𝑥+2 6

=

𝑥 +𝑦 4𝑥 + 8

𝑦+1 12 Finalmente, determinamos el valor de la probabilidad condicional, 𝑓 (𝑦⁄ 𝑥 = 1) = 1

𝑃(𝑦 < 1 ⁄𝑥 = 1 ) = ∫ 0

𝑦+1 1 1 1 [ + 1] = = 0,125 𝑑𝑦 = 8 12 12 2

Respuesta: De los hogares con un consumo de 100 m3 mensuales en gas, la proporción consume menos de 100 KW en energía eléctrica, corresponde a 0,125 6.- Cada neumático delantero de un tipo particular de automóvil se llenará a una presión (requerida) de 26 lb/pulg2. Suponga que la presión de aire de cada neumático es una variable aleatoria, X para el neumático derecho e Y para el izquierdo, con la siguiente función de densidad conjunta: 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟎 𝟐𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑𝟎 𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝟑𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝒙 + 𝒚 ) 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐

¿Cuál es la probabilidad de que la presión del neumático derecho exceda a la presión del neumático izquierdo en al menos dos 𝒍𝒃/𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐? Página 100

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5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

6) Solución: Debido a que 𝑥 es la presión de aire de para el neumático derecho, en 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 , e 𝑦 la presión de aire para el neumático izquierdo, en 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2, por lo tanto, la probabilidad de que la presión del neumático derecho exceda a la presión del neumático izquierdo en menos de al menos dos 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2, se denota se la siguiente forma: 𝑃(𝑥 − 𝑦 ≥ 2) ,

o bien,

En seguida, calculamos la integral que sigue para obtener la probabilidad requerida, donde sus límites están dados gráficamente por la imagen: 𝑃(𝑥 ≥ 𝑦 + 2) = 𝑃(𝑥 ≥ 𝑦 + 2) =

=

30

∫

𝑥 = 22

30

∫

30

∫

𝑥 = 22

𝑥 = 22

𝑥–2

∫

𝑦 = 20

𝑃(𝑥 ≥ 𝑦 + 2)

𝑥−2

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑦 = 20

3 (𝑥2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 380000

𝑥3 − 18𝑥2 + 3𝑥 − 2002 3804 𝑑𝑥 = 95000 11875 = 0,3203

Respuesta: La probabilidad de que la presión del neumático derecho exceda a la presión del neumático izquierdo en al menos dos 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2, es igual a 0,3203 7.- Al estudiar el tipo de partículas que contaminan el aire de Santiago, se ha determinado que las cantidades X e Y (en gramos) de partículas tipo A y B respectivamente, que se contabilizan en los filtros colocados diariamente para tal efecto, son variables aleatorias con función de probabilidad de densidad conjunta dada por: ) 𝟑( 𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝒙 + 𝒚 𝟎 < 𝒙 < 1 − 𝒚 𝟎 𝒆𝒏 𝒐. 𝒄

𝟎 0,5; 𝑦 < 0,5) = =

1

∫ −

𝑥 = 0,5

1

∫

1 −𝑥

∫ 3(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥 = 0,5 𝑦 = 0

3 2 (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 0,3125 2

Respuesta: La probabilidad de se encuentre más de 0,5 gramos de partículas tipo A y menos de 0,5 gramos de partículas tipo B, en un determinado día es 0,3125. 7.2) Solución: Lo primero que debemos determinar son las funciones marginales de cada variable, como se muestra ahora: 1−𝑥

𝑓 (𝑥) = ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 3(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑅𝑒𝑐 𝑦

𝑦=0

𝑅𝑒𝑐 𝑥

𝑥=0

1−𝑦

𝑓(𝑦 ) = ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ 3(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 =

3 (1 − 𝑥 2 ) 2

3 (1 − 𝑦 2 ) 2

Posteriormente, para determinar el valor esperado de la cantidad total de partículas, debemos calcular los valores esperados de ambas variables, como se muestra a continuación: 1

1

3 3 𝐸 (𝑥) = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓 (𝑥) = ∫ 𝑥 ∙ (1 − 𝑥2 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥 = 0,375 2 2 𝑅𝑒𝑐 𝑥

𝑥=0

𝑥=0

𝑅𝑒𝑐 𝑦

𝑦=0

𝑦=0

1

1

3 3 𝐸 (𝑦 ) = ∫ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑦 ) = ∫ 𝑦 ∙ (1 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦 − 𝑦 3 𝑑𝑦 = 0,375 2 2 Finalmente, para obtener el valor esperado total de partículas que se encuentran diariamente en el filtro, debemos sumar las esperanzas de cada variable, calculadas en el paso anterior: 𝐸 (𝑥 + 𝑦) = 𝐸 (𝑥) + 𝐸 (𝑦 ) = 0,375 + 0,375 = 0,75

Respuesta: La cantidad total esperada de partículas que se encuentran diariamente en el filtro, es 0,75.

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5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

8.- La mezcla adecuada de polvos finos y gruesos, antes de sintetizar cobre, es esencial para lograr uniformidad en el producto terminado. La cantidad de polvos finos (X) y polvos gruesos (Y), ambos en toneladas, utilizadas en las mezclas, son variables aleatorias modeladas por la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta: 𝟐 ( ) 𝒇(𝒙, 𝒚) = {𝟕 𝒙 + 𝟐𝒚 𝟎

𝟎 < 𝒙 < 1; 1 < 𝒚 < 2 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐

8.1) Se toman al azar 10 muestras de estas mezclas. ¿Cuál es la probabilidad de que en cuatros de ellas el doble de la cantidad...