Ejercicios de distribuciones de probabilidad discretas PDF

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Analizamos algunos ejemplos de distribuciones de variables aleatorias discretas. De ellas merecen especial mención la distribución binomial y de Poisson, por su frecuente presencia en situaciones reales. La incorporación de otros ejemplos, se hace con el fin de que el lector pueda tener en este manual una fuente de referencia para el conocimiento básico sobre ellas. Tal es el caso de las distribuciones de Bernouilli, uniforme, binomial negativa, geométrica, hipergeométrica y multinomial.

DISTRIBUCIÓN DE BERNOUILLI Como tal denominamos a una experiencia que sólo puede tomar dos estados, mutuamente exclusivos, que denominamos ÉXITO y FRACASO. Asociamos :

1 a éxito , con una cierta probabilidad p 0 a fracaso , con probabilidad q (= 1 - p)

La ley de probabilidad es : X Pr.

0 1-p

1 p

E(X) = p V(X) = p.(1-p) = p.q

con y

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Así denominamos a la repetición de una experiencia de Bernouilli n veces. Por ello, una experiencia binomial, queda definida por los parámetros: n nº de repeticiones de la experiencia p probabilidad de éxito en una realización Se suele representar : B(n,p) VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL X = nº de ocurrencias de ÉXITO en las n realizaciones de la prueba. Tomará por tanto los valores : X = 0 , 1 , 2 , ..... , n LEY DE PROBABILIDAD BINOMIAL La probabilidad asociada a cada valor se demuestra que es :

⎛ n⎞ f ( k ) = Pr( X = k ) = ⎜ ⎟ . p k .(1 − p )n− k ⎝ k⎠

con k = 0,1,2 , ... , n

Esperanza matemática y Varianza :

E ( X ) = n. p

V ( X ) = n. p.(1 − p ) = n . p .q

D (X ) = n . p .q

Moda : Menor valor entero positivo (0, 1, 2, ... , n) tal que : Coeficiente de asimetría :

As =

n.p - q ≤ Mo ≤ n.p + q

q−p n. p. q

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA (de Pascal) Consideremos la variable aleatoria definida como : número de pruebas necesarias para lograr k éxitos Dicha variable toma los valores : X = k , k+1 , k+2 , ... con probabilidades :

⎛ n − 1⎞ k ⎟. p .(1− p) n− k f ( n) = Pr( X = n) = ⎜ ⎝ k − 1⎠ Esperanza matemática y Varianza :

E ( X) =

k. q p

V (X ) =

k .q p

2

Distribuciones discretas - 113

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Es un caso particular de la de Pascal para k = 1 .Es decir, la variable X representa el número de pruebas necesarias para obtener el primer éxito.

f ( n) = Pr( X = n) = p. q n−1

n = 1,2,3, ...

Esperanza matemática y Varianza :

E (X ) =

q p

V (X ) =

q p2

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL (o polinomial) Es una generalización de la distribución binomial al supuesto de existencia de k situaciones excluyentes (en lugar de dos como ocurre en la binomial). Si estas situaciones S1 , S2 , ... , Sk , tienen probabilidades p1 , p2 , ... , pk (con : p1 + p2 + ... + pk = 1) y realizamos n pruebas, la situación S1 podrá presentarse X1 veces (de 0 a n), la situación S2 podrá presentarse X2 veces (de 0 a

n), etc... Se define así una variable aleatoria k-dimensional : (X1 , X2 , ... , Xk) con : Xi = xi = 0, 1, 2, ... , n con probabilidad :

Pr( X1 = x1 , X2 = x2 , ... , Xk = xk ) =

x1 + x2 , ... + xk = n

y

n! . p 1 x1 . p 2 x 2 . ... . p k x k x 1 !. x 2 !. ... . x k !

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Tratamos una nueva variante de la distribución binomial. La distribución hipergeométrica corresponde a extracciones de elementos sin reemplazamiento (en la binomial eran experiencias independientes o extracciones con reemplazamiento). Coincide con la binomial en el resto de consideraciones; es decir, tratamos dos situaciones excluyentes (éxito y fracaso) que se analizan en n pruebas. Como quiera que la extracción se realiza sin devolución, la probabilidad de éxito cambiará en cada prueba. Partiendo de N elementos y siendo p la probabilidad de éxito en la primera extracción, los N elementos se distribuyen en N.p éxitos y N.q fracasos. Variable hipergeométrica = X = Número de éxitos en n extracciones = 0, 1, 2, ... , n. con probabilidades :

⎛ N. p⎞ ⎛ N. q ⎞ ⎜ ⎟. ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠ ⎝n − k ⎠ Pr( X = k ) = ⎛N ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ n⎠ Esperanza matemática :

E( X) = n. p

V (X ) = n .p .q .

Varianza : Asimetría :

Moda : será el mayor de los valores que verifiquen

N . p. n − N . q − n − 1 N . p. n + N . p + n + 1 ≤ Mo ≤ N+2 N+ 2

N −n N −1

N − 2n N+2 N− n n. p. q. N −1

( q − p). As =

Observando la varianza, es fácil advertir que cuando N crece indefinidamente, el cociente Por ello, cuando N → ∞ , la distribución hipergeométrica tiende hacia una binomial.

N −n tiende a la unidad. N−1

DISTRIBUCIÓN UNIFORME (discreta) La variable aleatoria discreta X se dice que tiene una distribución uniforme, si puede tomar los n valores x1 , x2 , ..., xn , con probabilidad :

Pr(X = xi) = 1/n

114 - Distribuciones discretas

para todo i

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Existe un amplio número de modelos experimentales que se ajustan a la denominada DISTRIBUCIÓN DE POISSON : - Aparición de un suceso en un periodo de tiempo. - Aparición de un suceso en un cierto espacio (distancia, superficie o volumen) - Producción de elementos defectuosos en un proceso de fabricación , etc. ... Su distribución o LEY DE PROBABILIDAD es :

f ( k ) = Pr( X = k) = e −α.

αk k!

para k = 0,1, 2, ...

El valor α caracteriza a la distribución, representando el promedio de ocurrencias. Suele representarse la distribución de Poisson por P(α α). Esperanza matemática y Varianza :

E (X ) = α

V (X ) = α

D (X ) = α

Moda : Valor (o valores) entero positivo (0, 1, 2, ... ) tal que : Coeficiente de asimetría :

As =

α - 1 ≤ Mo ≤ α

1 α

APROXIMACIÓN ENTRE ALGUNAS DISTRIBUCIONES Esperanza matemática Desviación típica

B(n,p) n.p n. p. q

P(α) α α

N(μ,σ) μ σ

En condiciones extremas (valores elevados de n o α , valores muy pequeños de p , ... ), podremos aproximar una distribución por otra, sin más que observar que :

B(n,p) ≈ P(α) B(n,p) ≈ N(μ μ,σ σ) P(α α) ≈ N(μ μ,σ σ)

con α = n.p con μ = n.p y σ= n . p . q con μ = α y σ= α

Distribuciones discretas - 115

EJERCICIOS RESUELTOS 1 Una caja contiene dos bolas blancas y ocho negras, procediendo a realizar extracciones sucesivas de una bola con devolución. Analice la variable aleatoria "número de bolas blancas que se obtienen en siete extracciones", comparando los resultados con los teóricamente establecidos. Calcule la esperanza matemática, varianza y moda de la distribución de dicha variable. Se describe una experiencia binomial con n = 7 y p = 2/10 = 0'20 (probabilidad de obtener una bola blanca). Los valores de la variable definida son : X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Sus probabilidades p(x) las obtenemos de la tabla binomial. k=x p(x) 0 0'20972 0'36700 0'27525 0'11469 0'02867 0'00430 0'00036 0'00001 1'00000

n=7 1 2 3 4 5 6 7

p(x).x2 0'00000

p(x).x 0'00000 0'36700 0'55050 0'34407 0'11468 0'02150 0'00216 0'00007

0'36700 1'10100 1'03221 0'45872 0'10750 0'01296 0'00049 1'39998

F(x) 0'20972 0'57672 0'85197 0'96666 0'99533 0'99963 0'99999 1'00000

3'07988

Las columnas p(x).x y p(x).x2 permiten obtener la esperanza matemática y la varianza de la distribución. Cálculos directos E(x) = Σ p(x).x = 1'39998 ≈ 1'4 V(x) = Σ p(x).x2 = 3,07988 - 1'42 ≈ 3'08 - 1'42 =1'12 Moda = 1 (p máxima = 0'36700)

Aplicación de la expresión teórica E(x) = n.p = 7 . 0'2 = 1'4 V(x) = n.p.q = 7 . 0'2 . 0'8 = 1'12 Moda = 1 primer valor comprendido entre : n.p - q = 7 . 0'2 - 0'8 = 0'6 n.p + q = 7 . 0'2 + 0'8 = 2'2

Resultados que concuerdan con lo establecido para la distribución binomial. Se ha construido adicionalmente la función de distribución F(x) = Pr(X ≤ x).

2 Utilizando las tablas de la distribución binomial B(6,0'15) calcular las probabilidades : a) Pr(X = 2) b) Pr(X > 0) c) Para la distribución B(6,0'85), calcule Pr(X ≤ 3) d) Calcule la esperanza matemática, varianza, moda y asimetría de la distribución B(6, 0'15). La tabla proporciona las probabilidades individuales para n = 6 y p = 0'15 : n 6

c)

Í k 0 1 2 3 4 5 6

0'85 0'15 0'37715 0'39933 0'17618 0'04145 0'00549 0'00039 0'00001

Î k 6 5 4 3 2 1 0

a) Pr(X = 2) = 0'17618 b) Considerado el suceso contrario (no ser mayor que 0) Pr(X > 0) = 1 - 0'37715 = 0'62285

Para probabilidades superiores a 0'5, seleccionamos la columna de probabilidad 1-p (en este caso 1-0'85 = 0'15). El valor k de la probabilidad a calcular es el correspondiente a n-k, razón por la que se acostumbra a fijar la columna de la derecha con valores de k reordenados de mayor a menor. Con esto : Pr(X ≤ 3) = 0'00001 + 0'00039 + 0'00549 + 0'04145 = 0'04734

d) E(x) = n.p = 6 . 0'15 = 0'9 V(x) = n.p.q = 6 . 0'15 . 0'85 = 0'765

116 - Distribuciones discretas

Moda = 1

As =

primer valor comprendido entre : n.p - q = 6 . 0'15 - 0'85 = 0'05 n.p + q = 6 . 0'15 + 0'85 = 1'75

0 85 ' − 015 ' q−p = = 0'8 0'765 n. p. q

(asimétrica positiva o a la derecha)

3 El 45% de los alumnos de un Centro suspendieron la asignatura de Matemáticas. Si seleccionamos un grupo de 11 alumnos, calcule la probabilidad de que hayan suspendido Matemáticas : a) a lo sumo 4 alumnos b) más de la mitad de ellos. Nos encontramos ante una distribución binomial con n = 11 y p = 0'45 (probabilidad de suspender). Seleccionada la tabla correspondiente a estos valores encontramos : n 11

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0'45 0'00139 0'01254 0'05129 0'12590 0'20602 0'23598 0'19308 0'11284 0'04616 0'01259 0'00206 0'00015

a) a lo sumo 4 (0 , 1 , 2 , 3 o 4 ) : Pr(X ≤ 4) = 0'00139 + ... + 0'20602 = 0'39714 b) más de la mitad (11/2 = 5'5) (6 , 7 , ... , 11) : Pr(X ≥ 6) = 0'19308 + ... + 0'00015 = 0'36688

4 En la sección de Pediatría de un Centro Hospitalario fueron atendidos 200 niños durante el último mes. Sabiendo que 130 de ellos presentaron afecciones gripales, y que se seleccionaron al azar 9 historiales clínicos, calcule la probabilidad de que : a) todos padeciesen gripe b) alguno hubiera padecido gripe. La experiencia a observar es padecer o no gripe en un grupo de 9 niños. Se trata por tanto de una distribución binomial en la que n = 9 y p = 130/200 = 0'65 (probabilidad de padecer gripe). Dado que la probabilidad 0'65 no figura en la tabla, seleccionamos la columna correspondiente a 1 - 0'65 = 0'35 : n 9

Í k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0'65 0'35 0'02071 0'10037 0'21619 0'27162 0'21939 0'11813 0'04241 0'00979 0'00132 0'00008

Î k 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Creando la columna de la derecha (valores k invertidos) : a) todos padecieron gripe (los 9) : Pr(X = 9) = 0'02071 b) alguno padeció gripe (lo contrario es ninguno) : Pr (X > 0) = 1 - Pr(X = 0) = 1 - 0'00008 = 0'99992

5 De un grupo de 50 esquizofrénicos, 12 padecen alteraciones cerebrales. Seleccionados 5 de ellos, calcule la probabilidad de que padezcan tal alteración : a) 3 de ellos b) al menos uno. Procediendo a revisar el historial de ellos de forma aleatoria, cuál es la probabilidad de que : c) el primero con alteración cerebral se encuentre en la 8ª consulta de historiales. d) el tercero con alteración cerebral se encuentre en la 10ª consulta de historiales. La proporción de esquizofrénicos con alteración cerebral es : p = 12/50 = 0'24. Distribuciones discretas - 117

En este caso, la distribución binomial asociada B(5, 0'24) no se encuentra tabulada, debiendo proceder al cálculo numérico de las probabilidades :

⎛ 5⎞ 5! 2 Pr(X = 3) = ⎜⎜ ⎟⎟.0'24 3.(1 − 0'24) = .0'243 .0'76 2 = 0'07985 3!.2! ⎝ 3⎠ ⎛ 5⎞ Pr(X ≥ 1) = 1 - Pr(X = 0) = 1 - ⎜⎜ ⎟⎟.0'24 0.0'76 5 = 1 − 0'25355 = 0'74645 ⎝ 0⎠

a)

b)

Los apartados c) y d) corresponden a una distribución de Pascal (o binomial negativa) : c)

con n = 8 y k = 1 (es el caso especial de distribución geométrica) :

Pr( X = 8) = 0' 24. 0' 76 8− 1 = 0' 03515 d)

con n = 10 y k = 3 :

⎛10 - 1⎞ ⎛ 9⎞ 9! Pr(X = 10) = ⎜⎜ .0'24 3.0'76 7 = 0'07288 ⎟⎟.0'24 3.0'76 10 −3 = ⎜⎜ ⎟⎟.0'24 3 .0'76 7 = 3 1 2 2!.7! ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

6 Utilizando las tablas de la distribución de Poisson P(3'6) calcular las probabilidades : a) Pr(X = 4) b) Pr(1 ≤ X < 4) c) Para la distribución P(0'85), calcule Pr(X ≤ 1) d) Calcule la esperanza matemática, varianza, moda y asimetría de la distribución P(3'6). La tabla proporciona las probabilidades individuales para el promedio α = 3'6 : 0 10 0'02732 0'00275

α 3'6

1 11 0'09837 0'00090

2 12 0'17706 0'00027

Valores de k 4 5 14 15 0'19122 0'13768 0'00002 0'00000

3 13 0'21247 0'00007

6 16 0'08261 0'00000

7 17 0'04248 0'00000

8 18 0'01912 0'00000

9 19 0'00765 0'00000

a) Pr(X = 4) = 0'19122 b) Pr(1 ≤ X < 4) = Pr(X = 1) + Pr(X = 2) + Pr(X = 3) = 0'09837 + 0'17706 + 0'21247 = 0'48790 c) La distribución de Poisson de promedio α = 0'85 no se encuentra tabulada. Procederemos al cálculo numérico de la probabilidad pedida : -0'85

Pr( X1) = Pr( X = 0) + Pr(X = 1) = e

.

0' 85 0 0' 85 1 + e-0'85 . = e-0'85 .( 1 + 0' 85 ) = 0' 79072 0! 1!

d) E(x) = α = 3'6 V(x) = α = 3'6 Moda = 3

As =

primer valor comprendido entre : α - 1 = 3'6 - 1 = 2'6 α = 3'6

1 α

=

1 3 '6

= 0 '527

(asimétrica positiva o a la derecha)

7 Por término medio faltan cada día 2 alumnos a la primera hora de clase en 1º C. Calcular la probabilidad de que un cierto día : a) falten 3 alumnos de 1º C a la primera b) algún alumno falte. c) indique el número más probable de alumnos que pueden faltar a clase En el período de tiempo establecido (un día), la experiencia establecida se repite con un promedio de 2 ocurrencias. Se trata de una distribución de Poisson de parámetro α = 2. a)

Pr(X=3) = 0'18045 (obtenido directamente de las tablas de la distribución de Poisson)

b)

Pr(X>0) = 1 - Pr(X=0) = 1 - 0'13534 = 0'86466 (utilizando el suceso contrario)

c)

El valor más probable es la moda. Siendo : α -1 = 1 y α = 2 , encontramos 2 modas ( 1 y 2 ), luego lo más probable es que falte uno o dos alumnos.

118 - Distribuciones discretas

8 De los aspirantes presentados a una prueba de selección el 0'5% fue seleccionado para un puesto de trabajo. a) De un grupo de 6 aspirantes, calcule la probabilidad de que a lo sumo 1 haya obtenido empleo. b) De un grupo de 1000 aspirantes, calcule la probabilidad de que fuesen seleccionados menos de 9. c) De un grupo de 25000 aspirantes, determine la probabilidad de que el número de seleccionados esté comprendido entre 120 y 132. Todos los apartados hacen referencia a una distribución binomial con probabilidad p = 0'005 (ser seleccionado), siendo variable el número n de experiencias (6, 1000 y 25000). a)

B(6,0'005)

Pr(X≤1) = Pr(X=0) + Pr(X=1) =

⎛6 ⎞ ⎛ 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟.0'005 0 .0'995 6 + ⎜⎜ ⎟⎟.0'0051.0'995 5 ⎝0 ⎠ ⎝ 1⎠

=

= 0'97037 + 0'02926 = 0'99963 b)

B(1000,0'005) No disponiendo de valores binomiales tabulados para n = 1000, la obtención de Pr(X 242) = Pr(z > 1'13) = 0'5 - 0'37076 = 0'12924

10 De los mosquetones producidos en una fábrica, el 15% son defectuosos. Elegidos al azar 6 mosquetones, calcular : a) la probabilidad de que menos de 4 estén defectuosos b) la probabilidad de que haya más de 3 y menos de 6 mosquetones defectuosos. c) la probabilidad de que los 6 estén en perfecto estado. d) ¿ cuál es el número más probable de mosquetones defectuosos ? a)

B(6,0’15)

Pr(X < 4) = Pr(X = 0,1,2,3) = 0’37715 + 0’39933 + 0’17618 + 0’04145 = 0’99411

b)

B(6,0’15)

Pr(3 < X < 6) = Pr(X = 4,5) = 0’00549 + 0’00039 = 0’00588

c)

B(6,0’85)

Pr(X = 6) = 0’37715

d)

El más probable (mayor probabilidad) es la moda de la distribución de los mosquetones defectuosos ( B(6,0’15) ) : Moda = 1 dado qu es el primer valor comprendido entre : n.p - q = 6 . 0'15 - 0'85 = 0'05 n.p + q = 6 . 0'15 + 0'85 = 1'75 Lo más probable es la existencia de un mosquetón defectuoso entre los 6 seleccionados.

Distribuciones discretas - 119

11 Se dispone de un cuestionario de 5 items, cada uno de los cuales tiene dos opciones, verdadero y falso. Suponemos que se contesta al azar cada uno de los items. Si administramos 3000 cuestionarios, calcular: a) ¿ Cuántos cuestionarios pueden tener al menos dos items correctos ?. b) ¿ Cuántos pueden tener más de 3 items correctos ?. c) ¿ Cuántos tendrán todos los items incorrectos ?. a)

B(5,0’5)

Pr(X ≥ 2) = Pr(X = 2,3,4,5) = 0’81250 Número de cuestionarios = 3000 x 0’81250 = 2438

b)

B(5,0’5)

Pr(X > 3) = Pr(X = 4,5) = 0’15625 + 0’03125 = 0’18750 Número de cuestionarios = 3000 x 0’18750 = 562’5 ≈ 563

c)

B(5,0’5)

Pr(X = 5) = 0’03125 Número de cuestionarios = 3000 x 0’03125 = 94

12 Según un estudio de CHOP & ERA, el 35% de la población de estudiantes universitarios es partidario de la supresión de los festejos taurinos que tengan por consecuencia la muerte del animal. Si elegimos al azar una muestra de 60 estudiantes, a) ¿ Cuál será la probabilidad de que haya más de 40 que se muestren partidarios de la supresión ?. b) ¿ Cuál será la probabilidad de que haya menos de 30 que se muestren en contra de la supresión ?. a)

B(60 , 0’35) ⇒ P(21) ⇒ N(21 , 3’69)

Pr(X > 40) = 0

b)

B(60 , 0’65) ⇒ P(39) ⇒ N(39 , 3’69)

Pr(X < 30) = 0’00734

13 El profesor de una asignatura tiene por costumbre preguntar en el examen un tema escogido al azar de un total de 100 de los que consta el temario. Sus doscientos (200) alumnos deciden estudiar sólo la mitad del temario. Si sólo aprueban aquellos alumnos que han estudiado el tema del examen, a) ¿ Cuál es la probabilidad de que aprueben más de 50 y menos de 100 ?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de que aprueben más de 100 ?. c) ¿ Cuál es la probabilidad de que suspendan más de 100 ?. a)

B(200 , 0’5) ⇒ P(100) ⇒ N(100 , 7’07) Pr(50 < X < 100) = 0’5 - 0 = 0’5

b)

B(200 , 0’5) ⇒ P(100) ⇒ N(100 , 7’07)

Pr(X > 100) = 0’5 (la mitad)

c)

B(200 , 0’5) ⇒ P(100) ⇒ N(100 , 7’07)

Pr(X > 100) = 0’5 (como el apartado anterior)

14 Un sujeto responde al azar a una prueba de elección múltiple de 16 preguntas, con 5 alternativas cada una, de la que sólo una es correcta. Averigüe : a) ¿ Cuál es la probabilidad de que acierte 4 preguntas ?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de que acierte menos de 4 preguntas ?. 120 - Distribuciones discretas

c) ¿ Cuál es la probabilidad de que acierte más de 2 y menos de 7 preguntas ?. a)

B(16 , 0’2)

Pr(X = 4) = 0’20011

b)

B(16 , 0’2)

Pr(X < 4) = Pr(X = 0,1,2,3) = 0’59814

c)

B(16 , 0’2)

Pr(2 < X < 7) = Pr(X = 3,4,5,6) = 0’62150

15 La probabilidad de que un alumno de Psicología de primer curso de la UNED posea deficiencias físicas que aconsejan la realización de un examen especial es 0’002. Si esta probabili...