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Catalogo de tipos de funciones...

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Calculo integral y diferencial Catalogo de funciones

29/10/20

Catalogo de funciones

29/10/20

Table of Contents 1.

FUNCIONES POLINOMIALES....................................................................................................................4 1.1 Función constante.................................................................................................................................................5 1.2 Función lineal........................................................................................................................................................6 Función identidad...............................................................................................................................................................................7 Transformaciones en la función identidad..........................................................................................................................................8

1.3 Funciones cuadráticas..........................................................................................................................................10 Función cuadrática en la forma vértice.............................................................................................................................................11 Transformaciones en la función cuadrática elemental.....................................................................................................................12

2 Funciones potenciales...............................................................................................................................16 2.1 Función Potencial par..........................................................................................................................................16 2.2 Función potencial impar......................................................................................................................................16

3. Funciones racionales (racionales propias e impropias).............................................................................17 4. Funciones algebraicas..............................................................................................................................22 Funciones trascendentes..............................................................................................................................24 5. Funciones circulares.................................................................................................................................24 5.1 Funciones trigonométricas...................................................................................................................................26 Función seno.....................................................................................................................................................................................26 Función coseno.................................................................................................................................................................................27 Función tangente..............................................................................................................................................................................28 Función cotangente..........................................................................................................................................................................29 Función secante................................................................................................................................................................................30 Función cosecante............................................................................................................................................................................31

Transformaciones en funciones trigonométricas.......................................................................................................32 Contracciones y expansiones horizontales.......................................................................................................................................32 Compresiones y expansiones verticales...........................................................................................................................................34 Desplazamiento horizontal...............................................................................................................................................................36 Desplazamiento vertical....................................................................................................................................................................38

5.2 Funciones inversas de las trigonométricas...........................................................................................................40

arc sen(x ) .................................................................................................................................................................40 Función arc cos (x) .................................................................................................................................................................41 Función arc tan (x) ..................................................................................................................................................................42 Función

6. Funciones exponenciales..........................................................................................................................43 6.1 Funciones inversas de la exponencial: funciones logarítmicas.............................................................................45

7. Funciones trigonométricas hiperbólicas....................................................................................................47 fx = senh(x )=ex−e−x 2 ....................................................................................................................................................47 2 pg.

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fx=cosh (x )=ex+e−x 2 .....................................................................................................................................................48 fx =tanh (x)=ex −e− xex + e− x .......................................................................................................................................49 Bibliografia:.................................................................................................................................................50

3 pg.

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1. FUNCIONES POLINOMIALES Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como: n n−1 n−2 f ( x )=an x +a n−1 x + an−2 x +.. ..+ a1 x + a0

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Donde n es un numero entero positivo y los coeficientes a0 +a1 … son constantes cualesquiera. La constante an debe ser distinta a cero y por ser el coeficiente de mayor grado se llama coeficiente principal. Por su parte, a0 se llama termino constante. Si a0 es diferente de cero, entonces de acuedo con el valor que tome n se tiene lo siguiente: 1. Si n=0, entonces f ( x )=a0 es una funcion de grado cero y se llama función constante. 2. Si n=1, la función polinomial es de primer grado y se llama función lineal. 3. Si n=2 la función polinomial es de segundo grado y recibe el nombre de función cuadrática.

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1.1 Función constante. Función f ( x )=c Donde c es una constante Su representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Características D f =R Dominio Rf ={c } Recorrido Ceros de la función La funcion no tiene ceros Es periódica No Notiene Periodo Es monótona Si

7. Es creciente

No

8. Es decreciente

No Si por que f (− x )= f (x ) No

9. Es par 10. Es impar

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Catalogo de funciones

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1.2 Función lineal Es de la forma f ( x ) =ax+b

donde a y b son constantes y a ≠ 0

f ( x ) =x

Si a = 1 entonces y b = 0

, que es la función constante.

Es una ecuación de primer grado de la forma f ( x )=mx +b , es decir, su grafica es una recta con pendiente m, cuya intersección con el eje y es b.

Ejemplos

f (x)=5 x +5

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f (x)=−5 x +5

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f (x)=5 x−5

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f (x)=−5 x – 5

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Función identidad Función

f ( x )=x

Funciones identidad: es un caso particular de f ( x )=mx +b hace corresponder ése mismo valor en f (x).

cuando m = 1 y b = 0, en esta función a cada elemento x le

Características 1. 2. 3. 4.

Dominio Recorrido Ceros de la función Es periódica

5. Periodo 6. Es monótona 7. Es creciente

8. Es decreciente

9. Es par 10. Es impar

8 pg.

D f =R Rf =R x=0 No

Notiene Si Si Creciente ∀x ∈ D f

No Si por que f (− x )= f (x ) No

Catalogo de funciones

29/10/20 (3,3) (2,2) (1,1)

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(- 1,- 1)

(- 2,- 2) (- 3,- 3)

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9 pg.

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Transformaciones en la función identidad Desplazamiento vertical Sea la función f (x)=x En

f (x)=x +b , ∀b ∈ R y b> 0 , la función f (x) se recorre b unidades hacia arriba.

f ( x )=x

f ( x ) =x

+1

(1,2)

(1,1)

(0,- 1)

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(- 1,- 1)

Sea la función En

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f (x)=x

f (x)=x +b , ∀b ∈ R y b< 0 , la función f (x) se recorre b unidades hacia abajo.

f ( x )=x

f ( x ) =x

-1

(1,1)

(0,1)

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(- 1,- 1)

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(- 1,- 2)

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Catalogo de funciones Estiramiento o compresión vertical. Sea la función

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f (x)=x

En f (x)=mx , ∀m ∈ R y m>0 , la función f (x) . Se estira si m > 1 Se comprime si 0 < m < 1

1 f ( x) = x 2

f ( x )=2 x

(1,2)

(1,0.5)

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(- 1,- 0.5)

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(- 1,- 2)

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Reflexión sobre el eje vertical.

Sea la función En

f (x)=x

f (x)=mx , ∀m ∈ R y m 0

f ( x) =

f ( x )=−2 x

−1 x 2

(- 1,2)

(- 1,0.5)

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(1,- 0.5)

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(1,- 2)

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11 pg.

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Catalogo de funciones

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1.3 Funciones cuadráticas. Son funciones polinómicas de grado 2 y son de la forma:

f ( x ) =a x 2 + bx + c donde a ≠ 0 y a ,b , c son constantes . La grafica de la ecuación, es una parábola vertical que abre hacia arriba si a > 0 y que se abre hacia abajo si a < 0. Como f ( 0) =c , la parábola de la función cuadrática f ( x )=a x 2 + bx + c corta en el punto (0, c). 1. Si el discriminante (b −4 ac)de la funcion cuadratica f ( x ) =a x +bx+ c es menor que cero, la parábola no interseca el eje x. Es decir, que las raíces de la función no pertenecen a los números reales. 2. Si el discriminante (b2 −4 ac)de la funcion cuadratica f ( x) =a x 2 +bx+c es cero, la parábola toca en un solo punto, lo que significa que la solución de la ecuación es una raíz doble. 2 2 3. Finalmente, si el discriminante (b −4 ac)de la funcion cuadratica f ( x) =a x +bx+ c es mayor que cero la parábola corta al eje x en dos puntos. 2

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2

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Función cuadrática en la forma vértice

La ecuación de una función cuadrática también puede escribirse en la forma y =a( x −h)2 +k , donde h y k representan las coordenadas del vértice de la parábola y a ≠ 0 . Esta expresión recibe el nombre de ecuación de una función cuadrática en la forma vértice, ya que cuando se escribe de esta manera pueden observarse las coordenadas del vértice. Función cuadrática elemental Es un caso especial de y =a( x −h)2 +k cuando h y k valen 0 y a=1 dando lugar a la función: f ( x )=x 2

(- 1,1)

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(1,1)

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1. 2. 3. 4.

Características Dominio Recorrido Ceros de la función Es periódica

5. Periodo 6. Es monótona 7. Es creciente 8. Es decreciente 9. Es par 10. Es impar

13 pg.

D f =R Rf =¿ x=0 No Notiene

no En el intervalo ¿ En el intervalo ¿ Si por que cumple f ( −x )=f ( x ) No

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Transformaciones en la función cuadrática elemental. Desplazamiento horizontal Sea la función

f (x)=x

2

f (x)=( x+ a )2 , ∀a ∈ R y a> 0 , la función f (x) se desplaza a unidades a la izquierda. f (x)=x

2

2

f (x)=( x+ 1) ,

(- 1,1)

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(- 2,1)

(1,1)

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(0,1)

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Sea la función

f (x)=x 2

2 f (x)=( x+a ) , ∀a ∈ R y a< 0 , la función f (x) se desplaza a unidades a la derecha.

f (x)=x 2

f (x)=( x−1 )2 ,

(- 1,1)

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14 pg.

(0,1 )

(1,1)

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(2,1)

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Desplazamiento vertical Sea la función

f (x)=x 2

f (x)=x 2 +a , ∀a ∈ R y a> 0 , la función f (x) se desplaza a unidades hacia arriba. f (x)=x 2

f (x)=x 2 +1

(- 1,2)

(- 1,1)

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(1,2)

(1,1)

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Sea la función

f (x)=x

2

f (x)=x 2 +a , ∀a ∈ R y a 1 , la función f (x) se comprime verticalmente a razón de f (x)=x 2

f (x)=2 x 2

(- 1,2)

(- 1,1)

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1 a

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(1,2)

(1,1)

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Sea la función

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f (x)=x 2

2 f (x)=2 x , ∀a ∈ R y 01 y n ∈ Z

f ( x )=x 3 , f ( x ) =x 5 , f ( x) =x 7 , f ( x )=x 9 , f ( x )=x 11 , f ( x ) =x101

18 pg.

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3. Funciones racionales (racionales propias e impropias) Una función racional se expresa de la siguiente manera.

f ( x )=

P( x) Q ( x)

Donde P(x) y Q(x) son polinnomios y Q(x) es diferente de cero. Funciones racionales propias Son aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador.

f ( x )=

19 pg.

x−3 x2

n...