Catatan Kuliah (3 sks) GM 114 Kalkulus 2 PDF

Preview

Summary

Catatan Kuliah (3 sks) GM 114 Kalkulus 2 (Revisi Terakhir: Januari 2010 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, S.Si, M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Daftar Isi 1 Teknik-teknik Integrasi 1 1.1 Antiderivatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

Description

Catatan Kuliah (3 sks) GM 114 Kalkulus 2 (Revisi Terakhir: Januari 2010 )

Oleh: Didit Budi Nugroho, S.Si, M.Si.

Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

Daftar Isi 1 Teknik-teknik Integrasi 1.1 Antiderivatif . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Integrasi dengan Substitusi Sederhana 1.3 Integrasi Parsial . . . . . . . . . . . . 1.4 Integral Fungsi Hiperbolik . . . . . . . 1.5 Integral Trigonometri . . . . . . . . . 1.6 Substitusi Trigonometri . . . . . . . . 1.7 Integral Fungsi Rasional . . . . . . . . 1.8 Integral Fungsi Irasional . . . . . . . . 1.9 Substitusi tan 21 x . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

1 1 5 11 17 19 26 33 38 41

2 Integral Tentu 2.1 Integral Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Teorema Fundamental dari Kalkulus Integral . . . . . . . . . . . . . . .

43 43 47

3 Integral Tak Wajar 3.1 Pengantar . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Integral atas Interval Tak Terbatas 3.3 Tak Kontinu di Suatu Titik . . . . 3.4 Uji Perbandingan . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

49 49 50 51 52

4 Aplikasi Integral 4.1 Luas Bidang Datar . . . . . . 4.1.1 Persamaan Kartesius . 4.1.2 Persamaan Parameter 4.1.3 Persamaan Kutub . . 4.2 Volume Benda Putar . . . . . 4.2.1 Metode Cakram . . . 4.2.2 Metode Cincin . . . . 4.2.3 Metode Kulit Silindris 4.3 Panjang Kurva . . . . . . . . 4.3.1 Persamaan Kartesius . 4.3.2 Persamaan Parameter 4.3.3 Persamaan Kutub . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

55 55 55 59 60 68 69 72 75 83 83 86 88

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

i

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Kata Pengantar Kata Pengantar

ii

Bab 1

Teknik-teknik Integrasi Dalam bab ini dibahas berbagai teknik integrasi. Integral-integral yang dibicarakan adalah integral tak tentu. Topik-topik yang dicakup dalam bab ini yaitu pengertian antiderivatif beserta aturan-aturannya, integrasi dengan substitusi sederhana, integrasi dengan parsial, integral yang melibatkan fungsi hiperbolik, integral yang melibatkan fungsi trigonometri, integrasi dengan substitusi trigonometri, integrasi yang melibatkan fungsi rasional, integrasi yang melibatkan akar, dan integral dengan substitusi tan 21 x .

1.1

Antiderivatif

Pertama kali didiskusikan proses kebalikan dari diferensiasi. Dengan kata lain, diberikan suatu fungsi f (x) dan diinginkan untuk mencari suatu fungsi F (x) sedemikian dF (x) = F 0 (x) = f (x). Setiap fungsi F (x) yang demikian tersebut dinasehingga dx makan suatu antiderivatif, atau integral tak tentu (inde…nite integral ), dari fungsi f (x), dan dituliskan Z F (x) =

f (x) dx:

Di sini f (x) dinamakan integran (yang diintegralkan) dan x dinamakan integrator. Dinamakan integral tak tentu sebab tidak merujuk pada nilai numerik tertentu, atau tidak menunjuk suatu interval tertentu untuk daerah integrasi. Langkah untuk mencari antiderivatif dari f (x) dinamakan antidiferensiasi atau integrasi. Pengamatan pertama yaitu bahwa antiderivatif, jika ada, tidaklah tunggal. Diandaikan bahwa fungsi F (x) adalah suatu antiderivatif dari fungsi f (x), berarti F 0 (x) = f (x). Diambil G (x) = F (x) + k, dimana k adalah sembarang bilangan riil. Ini mudah dilihat bahwa G0 (x) = F 0 (x) = f (x), yang berarti bahwa G (x) juga merupakan antiderivatif dari f (x). Secara umum dapat dituliskan Z f (x) dx = F (x) + k dengan k selanjutnya dinamakan konstanta integrasi. Sebagai contoh, diberikan f (x) = 2x, maka F (x) = x2 ; G (x) = x2

1

10; H (x) = x2 + k

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi

2

merupakan antiderivatif dari f karena F 0 (x) = G0 (x) = H 0 (x) = 2x: Pengamatan kedua yaitu bahwa untuk sembarang fungsi f (x), selisih dari sembarang dua antiderivatif berbeda dari f (x) pasti merupakan suatu konstanta. Dengan kata lain, jika F (x) dan G (x) adalah antiderivatif-antiderivatif dari f (x), maka F (x) G (x) adalah suatu konstanta. Suatu konsekuensi dari pengamatan kedua yaitu hasil sederhana berikut ini yang berkaitan dengan derivatif dari suatu konstanta. ANTIDERIVATIF DARI NOL. Dipunyai Z 0 dx = k: Dengan kata lain, antiderivatif dari fungsi nol secara tepat adalah semua fungsi konstan.

Tentu saja, beberapa antiderivatif secara sederhana dapat diperoleh dari beberapa aturan mengenai derivatif. Berikut ini didaftar hasil-hasil tersebut. Hasil pertama yaitu berkaitan dengan aturan kelipatan konstan untuk diferensiasi. ATURAN PERKALIAN KONSTAN. Jika suatu fungsi f (x) mempunyai antiderivatif, maka untuk sembarang bilangan riil c, dipunyai Z Z cf (x) dx = c f (x) dx: ANTIDERIVATIF DARI PANGKAT. (a) Jika n adalah suatu bilangan riil sedemikian sehingga n 6= Z (b) Dipunyai

xn dx =

Z

x

1

1, maka

1 xn+1 + k: n+1

dx = ln jxj + k:

ATURAN PENJUMLAHAN. Jika f (x) dan g (x) mempunyai antiderivatif, maka Z Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx:

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi

3

ANTIDERIVATIF UNTUK FUNGSI TRIGONOMETRI. Rumus-rumus antiderivatif berikut ini adalah valid: Z (a) cos (x) dx = sin (x) + k (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

Z Z Z Z Z Z Z

sin (x) dx = csc2 (x) dx =

cos (x) + k cot (x) + k

sec2 (x) dx = tan (x) + k cot (x) csc (x) dx =

csc (x) + k

tan (x) sec (x) dx = sec (x) + k csc (x) dx =

ln jcot (x) + csc (x)j + k

sec (x) dx = ln jtan (x) + sec (x)j + k

ANTIDERIVATIF UNTUK FUNGSI EKSPONENSIAL UMUM. Diandaikan a > 0 dan a 6= 1, maka Z ax + k: ax dx = ln (a) Secara khusus, dengan pengambilan a = e akan dipunyai Z ex dx = ex + k:

Contoh 1.1 Menggunakan aturan penjumlahan, aturan perkalian konstan, dan antiderivatif dari pangkat, diperoleh Z Z Z Z 3 3 x + 3x + 1 dx = x dx + 3x dx + x0 dx =

1 4 3 2 x + x + x + k: 4 2

Contoh 1.2 Menggunakan aturan penjumlahan, antiderivatif dari pangkat dan fungsi trigonometri, diperoleh Z Z Z 1 3 3 x + sin (x) dx = x dx + sin (x) dx = x4 cos (x) + k: 4

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi

4

Contoh 1.3 Diperoleh Z Z Z (sin (x) + sec (x)) dx = sin (x) dx + sec (x) dx =

cos (x) + ln jtan (x) + sec (x)j + k:

Contoh 1.4 Diperoleh Z Z Z x x (e + 3 cos (x)) dx = e dx + 3 cos (x) dx = ex + 3 sin (x) + k: Contoh 1.5 Diperoleh Z Z 1 sin (x) (1 sin (x)) (1 sin (x)) dx = dx 1 + sin (x) (1 + sin (x)) (1 sin (x)) Z 1 2 sin (x) + sin2 (x) = dx 1 sin2 (x) Z 1 2 sin (x) + sin2 (x) dx = cos2 (x) Z = sec2 (x) 2 tan (x) sec (x) + tan2 (x) dx Z = sec2 (x) 2 tan (x) sec (x) + sec2 (x) 1 dx Z = 2 sec2 (x) 2 tan (x) sec (x) 1 dx = 2 tan (x)

2 sec (x)

x + k:

SOAL-SOAL UNTUK SUBBAB 1.1 Hitung setiap integral tak tentu berikut ini: Z (1) x3 dx (2) (3) (5) (7) (9) (11)

Z

Z

Z

Z

Z

(5x + 3) dx

(4)

2x2

3x + 1 dx

5+x

2

1

x2 + x (x

4x 1 2

3)2 dx

3

dx

(6) dx

(8) (10) (12)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

5

x 2 dx 1 + 2x + 3x2 12x7

3x5 + 2x2 + 1 dx

3x4 + 19x 1

2x 3 (2x

dx

2

3x 3

3)2 dx

3

dx dx

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi

(13) (15) (17) (19) (21) (23) (25) (27) (29) (31) (33) (35) (37) (39) (41) (43) (45)

1.2

Z

x2

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

+a

2

(14)

dx

2

1 x+ x (x

dx

(16)

2) (x + 3) dx

(18)

x+1 dx x

(20)

x3 + x2 x x 1

1

dx

x3 8 dx x2 + 2x + 4 p

Z

Z

Z

(24) (26)

p x x dx

(28)

(3 +

p

x) (4

p 2 x) dx

p p 4+3 x+x x dx x2 r ! Z 4 3x p dx 4 27 x Z 16 (ex + 1) dx

Z

(22)

x dx

Z

Z

5

5x +

3 e

dx

x

5 cos (x) dx (5 cos (x) + 4x) dx 10 sec2 (x)

dx

(30) (32) (34) (36) (38) (40) (42) (44)

Z

1+x

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

1 2 dx

1 x

x

2

dx

x 2x3 + 1

2

dx

2x2

3x + 6 dx x2

x3 x

a3 dx a

p

3 dx

p

2px dx

p 1 x3 + 8 3 x

3x dx

Z

3x + 1 p dx 3 x Z p x 4 +p 4 5 x Z 8ex dx Z

Z

Z

Z

Z

dx

x2 ex + x dx x2 (x + 1)3 + ex (1

dx

2 cos (x)) dx

(sin (x) + cos (x)) dx sec2 (x) + 1 dx

p ( x + sec (x) tan (x)) dx

Integrasi dengan Substitusi Sederhana

Sekarang didiskusikan bagaimana kita dapat menggunakan aturan rantai dalam diferensiasi untuk membantu menyelesaikan masalah dalam integrasi. Teknik ini biasanya

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi

6

dinamakan integrasi dengan substitusi. Perlu ditekankan bahwa teknik tersebut tidak selalu dapat digunakan. Pertama, kita tidak mengetahui antiderivatif dari fungsi. Kedua, tidak ada jalan sederhana dimana kita dapat menggambarkannya untuk menolong kita mencari suatu substitusi yang sesuai dalam kasus dimana teknik dapat digunakan. Di sisi lain, ketika teknik dapat digunakan, mungkin terdapat lebih dari satu substitusi yang sesuai. INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI VERSI 1. Jika kita membuat sub0 stitusi x = g (u), maka dx = g (u) du, dan Z Z f (x) dx = f (g (u)) g 0 (u) du:

Contoh 1.6 Diperhatikan integral tak tentu Z p x x + 1 dx: Jika kita membuat substitusi x = u2 1, maka dx = 2u du, dan Z Z Z Z p 2 2 4 x x + 1 dx = 2 u 1 u du = 2u du 2u2 du =

2 5 u 5

5 2 3 2 u + k = (x + 1) 2 3 5

3 2 (x + 1) 2 + k: 3

Di sisi lain, jika kita membuat substitusi x = v 1, maka dx = dv, dan Z Z Z Z p 3 1 1 2 2 x x + 1 dx = v 2 du (v 1) v dv = v dv =

2 5 v2 5

5 2 3 2 v 2 + k = (x + 1) 2 3 5

3 2 (x + 1) 2 + k: 3

Kita bisa menegaskan bahwa integral tak tentu tersebut adalah benar dengan memeriksa bahwa p 5 3 d 2 2 (x + 1) 2 (x + 1) 2 + k = x x + 1: dx 5 3 INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI VERSI 2. Diandaikan bahwa suatu fungsi f (x) dapat dituliskan dalam bentuk f (x) = g (h (x)) h0 (x). Jika kita membuat substitusi u = h (x), maka du = h0 (x) dx, dan Z Z Z f (x) dx = g (h (x)) h0 (x) = g (u) du: Dicatat bahwa dalam Versi 1, variabel x pada awalnya ditulis sebagai fungsi dari variabel baru u, sedangkan dalam Versi 2, variabel baru u dituliskan sebagai fungsi dari x. Bedanya, untuk substitusi x = g (u) dalam Versi 1 harus mempunyai invers agar variabel u bisa dikembalikan ke variabel asli x di akhir proses.

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi Contoh 1.7 Diperhatikan integral tak tentu Z x x2 + 3

7

4

dx:

Pertama kali dicatat bahwa derivatif dari fungsi x2 + 3 sama dengan 2x, sehingga ini tepat untuk membuat substitusi u = x2 + 3. Selanjutnya du = 2x dx, dan Z Z Z 1 1 1 1 4 4 5 x x2 + 3 dx = 2x x2 + 3 dx = u4 du = u5 + k = x2 + 3 + k: 2 2 10 10 Contoh 1.8 Diperhatikan integral tak tentu Z 1 dx: x ln (x) 1 Pertama kali dicatat bahwa derivatif dari fungsi ln (x) sama dengan , sehingga ini x 1 tepat untuk membuat substitusi u = ln (x). Selanjutnya du = dx, dan x Z Z 1 1 dx = du = ln juj + k = ln jln (x)j + k: x ln (x) u Contoh 1.9 Diperhatikan integral tak tentu Z 3 x2 ex dx: Pertama kali dicatat bahwa derivatif dari fungsi x3 sama dengan 3x2 , sehingga ini tepat untuk membuat substitusi u = x3 . Selanjutnya du = 3x2 dx, dan Z Z Z 1 1 1 3 1 2 x3 2 x3 3x e dx = eu du = eu + k = ex + k: x e dx = 3 3 3 3 Contoh 1.10 Diperhatikan integral tak tentu Z tan3 (x) sec2 (x) dx: Pertama kali dicatat bahwa derivatif dari fungsi tan (x) sama dengan sec2 (x), sehingga ini tepat untuk membuat substitusi u = tan (x). Selanjutnya du = sec2 (x) dx, dan Z Z 1 1 tan3 (x) sec2 (x) dx = u3 du = u4 + k = tan4 (x) + k: 4 4 Kadang-kadang, kemungkinan dari substitusi tidak bisa terlihat secara jelas dengan cepat, dan banyak terjadi trial dan error. Kenyataan bahwa suatu substitusi tidak terlihat muncul bukan berarti bahwa metode tersebut gagal. Ini bisa terjadi dalam kasus ketika kita menggunakan suatu subtitusi yang tidak sesuai. Atau barangkali kita pertama kali melupakan modi…kasi dari masalah. Hal ini diilustrasikan dalam contoh berikut ini.

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi

8

Contoh 1.11 Diperhatikan integral tak tentu Z tan (x) dx: Di sini tidak terlihat sembarang substitusi yang akan digunakan. Tetapi, jika dituliskan Z Z sin (x) tan (x) dx = dx; cos (x) maka kita mengamati bahwa derivatif dari fungsi cos (x) sama dengan sin (x), sehingga ini tepat untuk membuat substitusi u = cos (x). Selanjutnya du = sin (x) dx, dan Z Z Z sin (x) 1 tan (x) dx = dx = du = ln juj + k = ln jcos (x)j + k: cos (x) u Lebih lanjut, berikut ini diperoleh rumus-rumus antiderivatif dari fungsi eksponensial dan trigonometri yang lebih umum dari pada fungsi dalam subbab sebelumnya, dengan cara membuat substitusi u = px + q dan du = p dx. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k)

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

(px + q)n dx = (px + q)

1

apx+q dx =

1 (px + q)n+1 + k p (n + 1)

dx =

1 ln jpx + qj + k p

1 apx+q + k; jika a > 0; a 6= 1. p ln (a)

1 epx+q dx = epx+q + k. p cos (px + q) dx = sin (px + q) dx = csc2 (px + q) dx = sec2 (px + q) dx =

1 sin (px + q) + k. p 1 cos (px + q) + k. p 1 cot (px + q) + k. p 1 tan (px + q) + k. p

cot (px + q) csc (px + q) dx = tan (px + q) sec (px + q) dx = cot (px + q) dx =

1 csc (px + q) + k. p 1 sec (px + q) + k. p

1 ln jsin (px + q)j + k. p

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi

(l) (m) (n)

Z Z Z

9

tan (px + q) dx =

1 ln jcos (px + q)j + k. p

csc (px + q) dx =

1 ln jcsc (px + q) + cot (px + q)j + k. p

sec (px + q) dx =

1 ln jsec (px + q) + tan (px + q)j + k. p

SOAL-SOAL UNTUK SUBBAB 1.2 Dalam soal (1) (60), hitung setiap integral tak tentu dengan menggunakan substitusi yang diberikan. Z Z (1) sin (3x) dx, u = 3x (2) cos (5x) dx, u = 5x (3) (5) (7) (9) (11) (13) (15) (17) (19) (21) (23) (25)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

x sin

x2

dx, u =

x2

(4)

x2 tan x3 + 1 dx, u = x3 + 1 csc2 (2x x2 cos

x3

csc (5x cos3 (x)

1) dx, u = 2x + 1 dx, u =

x3

7) dx, u = 5x

1 +1 7

(6) (8) (10) (12)

dx, u = sin (x)

(14)

cot3 (x) dx, u = cot (x)

(16)

csc3 (x)

dx, u = cot (x)

tan5 (x) sec2 (x) sec3 (x) tan (x)

dx, u = tan (x) dx, u = sec (x)

arcsin4 (x) p dx, u = arcsin (x) 1 x2 x2 2x3 + 1

3

dx, u = 2x3 + 1

(18) (20) (22) (24) (26)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

x cos 1 + x2

dx, u = 1 + x2

sec2 (3x + 1) dx, u = 3x + 1 x sin x2

dx, u = x2

sec (3x + 5) dx, u = 3x + 5 sin3 (x) dx, u = cos (x) tan3 (x) dx, u = tan (x) sec4 (x) dx, u = tan (x) sin3 (x) cos (x) dx, u = sin (x) cot3 (x) csc2 (x) dx, u = cot (x) csc3 (x) cot (x) dx, u = csc (x) arctan3 (x) dx, u = arctan (x) 1 + x2 2 3x

4

dx, u = 3x

4

Bab 1. Teknik-teknik Integrasi

(27) (29) (31) (33) (35) (37) (39) (41) (43) (45) (47) (49) (51) (53) (55) (57) (59)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

4 dx, u = 5x + 2 5x + 2 x (x2

1)

3 2

dx, u =

(28)

x2

1

x2 dx, u = x3 + 4 3 x +4

p 1 p dx, u = 1 + x p x (1 + x) dx, u = (x4 + 16)2

x4

+ 16

Z

cos (x) dx, u = 1 + sin (x) 1 + sin (x) p Z p sin ( x) p dx, u = x x Z sin (ln (x)) dx, u = ln (x) x Z cos (x) dx, u = sin (x) sin4 (x) Z 10sin(x) cos (x) dx, u = sin (x) Z

Z

Z

Z

Z

Z

(30) (32)

x+6 dx, u = x + 2 (x + 2)2

x3

10

(34) (36) (38) (40) (42) (44) (46) (48)

p x x + 2 dx, u = x + 2

(50)

(1 + ln (x))10 dx, u = ln (x) x

(52)

p

1 9

x2

dx, x = 3 cos (u)

1 dx, x = 2 tan (u) 4 + x2 x

3 dx,

u=1+x

1

4x 1 p dx, u = 4x + 1 4x + 1

(54) (56) (58) (60)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z