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´ Departamental de Matem´ atica ISEL ::: Area Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Tecnologias e Gest˜ ao Municipal ´ DIFERENCIAL E INTEGRAL I CALCULO

Lista de exerc´ıcios #1 (C´ alculo diferencial) 1. Determine (se poss´ıvel) todas as solu¸co˜es das equa¸co˜es dadas. (a) 5 sin(3x) = 2

(b) 8 cos(2x + 1) − 3 = 1

(c) 4 tan(5x) = 8

(d) 8 tan(2x + 1) − 3 = 1

(e) 4 sin(5x) = 8

(f ) 2 cos(3x) = 3

2. Para que um barco flutue numa certa ba´ıa, ´e preciso que a profundidade da ´agua seja pelo menos de 2.5 m. A profundidade p(t) da ´agua em torno do barco, em metros e onde t ´e o tempo medido em horas desde a meia-noite, ´e dada por p(t) = 5 + 4.6 sin(0.5t). Se um barco sair da ba´ıa ao meio-dia, qual ´e a hora mais tardia a que pode regressar sem ficar encalhado? 3. Determine os dom´ınio e contradom´ınio da fun¸c˜ao g(x) = arcsin(3x + 1). 4. Comprove as identidades que se seguem. (a) sinh x + cosh x = ex e cosh x − sinh x = e−x .

(b) (sinh x + cosh x)α = sinh(αx) + cosh(αx) e (cosh x − sinh x)α = cosh(αx) − sinh(αx), onde α designa uma qualquer constante real. 5. Seja f (x) = aex + be−x , com a 6= 0 e b = 6 0. Mostre que existem constantes α e β tais que f (x) = α sinh(x + β) ou f (x) = α cosh(x + β). Por outras palavras, quase todas as fun¸c˜oes da forma aex + be−x s˜ ao um seno ou um cosseno hiperb´olicos. 6. Determine a equa¸c˜ao de uma caten´ aria que represente a forma de um cabo suspenso, entre dois postes com 7 m de altura que distam 14 m entre si, sabendo que no ponto m´edio o cabo se encontra a 5 m do solo. 7. O arco de St. Louis foi constru´ıdo com base n˜ ao numa caten´ aria pura, mas antes numa caten´ aria ponderada de equa¸ca˜o y = 211.49 − 20.96 cosh(0.03291765x) que representa a curva central do arco, onde x e y s˜ ao medidos em metros e |x| 6 91.2. (a) Quanto distam as bases do arco central? Qual ´e a altura m´axima do arco central? (b) A que distˆ ancia das bases ´e a altura do arco central igual a 100 m? 8. O deslocamento (em metros) de uma part´ıcula que segue em movimento rectil´ıneo ´e dado por s = t2 − 8t + 18, onde t ´e o tempo medido em segundos.

(a) Determine a velocidade m´edia da part´ıcula em cada um dos intervalos: [3, 4], [3.5, 4], [4, 5], e [4, 4.5].

(b) Determine a velocidade (instantˆ anea) da part´ıcula aos t = 4 segundos. (c) Desenhe o gr´ afico de s como fun¸c˜ao de t. Marque as rectas cujo declive s˜ ao as velocidades m´edias calculadas na al´ınea (a) e marque a recta tangente cujo declive ´e a velocidade calculada na al´ınea (b). 1

9. O n´ umero N de lojas (a 30 de Junho) de uma determinada cadeia de gelados ´e dada na tabela ao lado.

Ano

1998

1999

2000

2001

2002

N

1886

2135

3501

4709

5886

(a) Determine a taxa m´ edia de crescimento: de 2000 a 2002; de 2000 a 2001; de 1999 a 2000. Em cada caso indique unidades. (b) Estime a taxa (instantˆ anea) de crescimento no ano 2000, tomando uma m´edia entre duas taxas m´edias de varia¸c˜ao. Quais s˜ ao as unidades? (c) Estime a taxa de crescimento no ano 2000, medindo o declive de uma recta. 10. Cada limite abaixo representa a derivada de uma fun¸ca˜o f num ponto a. Identifique f (x) e a em cada caso. √ 4 16 + h − 2 (1 + h)10 − 1 2x − 32 (a) lim (c) lim (b) lim h→0 x→5 x − 5 h→0 h h (d)

lim

x→π/4

tan x − 1 x − π/4

cos(π + h) + 1 h h→0

(e) lim

t4 + t − 2 t→1 t−1

(f ) lim

11. Fa¸ca a correspondˆ encia correcta entre o gr´afico de cada fun¸c˜ao em (a)–(d) e o gr´ afico da respectiva derivada em (i)–(iv). y

y

0

x

(a)

x

0

x

x

(c) y

0

y

0

(b) y

(i)

y

0

(d) y

0

x

y

0

(ii)

(iii)

x

x

0

x

(iv)

12. O custo de produzir x kg de ouro extra´ıdo de uma mina nova ´e de C = f (x) euros. (a) Qual ´e o significado da derivada f ′ (x)? Quais s˜ao as suas unidades? (b) O que significa a afirma¸c˜ao f ′ (25) = 17? 13. O n´ umero de bact´erias, decorridas t horas do in´ıcio de uma experiˆencia controlada em laborat´ orio, ´e n = f (t). (a) Qual ´e o significado da derivada f ′ (5)? Quais s˜ao as suas unidades? (b) Suponha que existem nutrientes e espa¸co ilimitados para as bact´erias. Que valor ser´ a maior, f ′ (5) ou f ′ (10)? (c) Se a quantidade de nutrientes fosse limitada, isso afectaria a conclus˜ao tirada na al´ınea anterior? Explique. 2

14. Recorde-se que as derivadas laterais (esquerda e direita) s˜ao dadas por fe′ (a) = lim − h→0

f (a + h) − f (a) h

f (a + h) − f (a) h h→0+

e

lim

se os limites existirem, e que f ′ (a) existe somente quando as derivadas laterais forem iguais. (a) Determine f e′ (4) e f d′ (4), sendo f a fun¸c˜ao dada por  0, x60    5 − x, 0 < x < 4 f (x) =    1 , x>4 5−x

(b) Esboce o gr´ afico de f .

(c) Onde ´e que f ´e cont´ınua? Justifique. (d) Onde ´e que f n˜ ao ´e diferenci´ avel? Justifique. 15. Investigue se existe f ′ (0). 2

(a) f (x) = (x + |x|) + x

(b) f (x) =

  

( x sin(1/x) + x, x 6= 0 (c) f (x) = 0, x=0

(d) f (x) =

x− 0,

|x3 | , x 6= 0 x x=0

( x2 sin(1/x), x 6= 0 0,

x=0

16. O gr´ afico de f ´e dado. Identifique, justificando, os pontos onde f n˜ ao ´e diferenci´avel. y

−2

y

0

x

2

(a)

0

4

x

(b) y

−2

(c)

2

y

0

4

x

−2

(d) 3

0

2

x

17. Considere a fun¸c˜ao ( x2 , x62 f (x) = mx + b, x > 2 Determine os valores m e b que tornam f diferenci´avel. 18. Cada figura abaixo mostra os gr´aficos de f , f ′ , f ′′ e f ′′′ . Identifique correctamente cada curva e explique as suas escolhas. y

y

0

t

0

x

(b)

(a)

19. Derive a fun¸c˜ao (a, b e c s˜ ao constantes). √ 30

(1) f (x) = 186.5

(2) f (x) =

(3) f (t) = 2 −

(4) F (x) = 34 x8

(5) f (x) = x3 − 4x + 6

(6) f (t) =

(7) f (t) = 14 (t4 + 8)

(8) h(x) = (x − 2)(2x + 3)

(9) y = x−2/5

1 6 t 2

2 t 3

− 3t4 + t

(10) y = 5ex + 3

(11) V (r) = 43 πr 3

(12) R(t) = 5t−3/5

12 s5

(14) B(y) = cy−6

(15) G(x) =

(17) F (x) = ( 12 x)5

(18) f (t) =

(13) A(s) = − (16) y =

√ 3 x

(19) y = ax2 + bx + c (22) y =

√ x2 − 2 x x

(20) y =

√ x(x − 1)

(23) y = 4π 2

(25) H(x) = (x + x−1 )3 (26) y = aev + (28) v =

2  √ 1 x+ √ 3 x

(29) z =

(21) y =

a + bey y10

4

√ 1 t− √ t

x2 + 4 x + 3 √ x

(24) g(u) = c b + 2 v v

√ x − 2ex

√ √ 2u + 3u

√ √ (27) u = 5 t + 4 t5 (30) y = ex+1 + 1

20. Derive (a, b, c e d s˜ ao constantes). (a) f (x) = (x3 + 2x)ex (d)

ex 1+x

(g) V (x) = (2x3 + 3)(x4 − 2x) √ (j) R(t) = (t + e )(3 − t) t

(m) y = (p) y =

t2 + 2 t4 − 3t2 + 1 1 s + aes

(s) f (t) =

2t √ 2+ t

(v) f (x) =

1 − xex x + ex

√ x xe

(c) y =

(e) g(x) =

3x − 1 2x + 1

(f ) f (t) =

(h) Y (u) = (u−2 + u−3 )(u5 − 2u2 ) (k) F (y) =



3 1 − 4 2 y y

(y + 5y3 )

t (t − 1)2 √ v 3 − 2v v (q) y = v √ t− t (t) g(t) = 1/3 t (w) f (x) =

1 2

(l) y =

x3 1 − x2 x3

x+1 +x−2

3

(r) z = w 2 (w + cew ) (u) f (x) =

a b + cex

(x) f (x) =

ax + b cx + d

cotan x (c) y = 2 cosec x + 5 cos x

(e) g(t) = 4 sec t + tan t

(g) y = eu (cos u + cu)

(h) y = (k) y =

(i) y =

2t 4 + t2

(o) y = (r 2 − 2r )er

x x + (c/x)

(d) g(t) = t3 cos t

sec θ 1 + sec θ



(n) y =

21. Derive (c ´e uma constante). √ (a) f (x) = x sin x (b) f (x) = sin x +

(j) f (θ) =

ex x2

(b) g(x) =

x 2 − tan x

1 − sec x tan x

(m) y = cosec θ(θ + cotan θ) (n) f (x) = xex cosec x

(f ) h(θ) = cosec θ + eθ cotan θ (i) y =

1 + sin x x + cos x

(l) y =

sin x x2

(o) y = x2 sin x tan x

22. Determine a derivada da fun¸c˜ao (a, k, n, p e r s˜ ao constantes). (1) F (x) = (x4 + 3x2 − 2)5 (4) F (x) =

√ 4 1 + 2x + x3

(7) y = cos(a3 + x3 )

(2) F (x) = (4x − x2 )100 (5) g(t) =

1 (t4 + 1)3

(8) y = a3 + cos3 x

(3) f (x) = (1 + x4 )2/3 (6) f (t) =

√ 3 1 + tan t

(9) y = 3 cotan(nθ )

(10) g(x) = (1 + 4x)5 (x − x2 )8 (11) h(t) = (t4 − 1)3 (t3 + 1)4 (12) y = 4x4 (8x2 − 5)−3 √ (13) y = (x2 + 1) 3 x2 + 2

(14) y =



x2 + 1 x2 − 1 5

3

(15) e−5x cos(3x)

x cos x

(16) y = e

(19) G(y) =

(17) y = 10

(y − 1)4 (y2 + 2y)5

(22) y = sin(tan(2x)) (25) y = tan2 (3θ)

1−x2

(18) F (z) =

r (20) y = √ 2 r +1  2 5 y (23) G(y) = y+1 (26) y = sec2 x + tan2 x

  1 − e2x (28) y = cos 1 + e2x √ x)

(31) y = ek tan(

(29) f (t) =

r

t2

t +4

2

(35) y =

q

x+

(37) y = [x + (x + sin2 x)3 ]4 (38) y = cos

p

p

x+

√ 1 − x2 arcsin x

√ (g) F (θ) = arcsin sin θ

eu − e−u eu + e−u

(24) y = 2sin(πx) (27) y = x sin(1/x)

√ x

(33) y = sin(sin(sin x)) (36) g(x) = (2rarx + n)p

sin(tan(πx)) (39) y = 23

23. Determine a derivada da fun¸c˜ao e simplifique se poss´ıvel. √ √ (a) y = arctan x (b) y = arctan x (d) G(x) =

(e) y = arctan(x −

z−1 z+1

(30) y = cotan2 (sin θ )

(32) f (t) = tan(et ) + etan t

(34) f (t) = sin2 (esin t )

(21) y =

r

(c) y = arcsin(2x + 1)

√ 1 + x2 )

(h) y = arccos(e2x )

x2

(f ) h(t) = arccotan(1/t) r 1−x (i) y = arctan 1+x

24. Derive a fun¸c˜ao (a ´e uma constante). (a) f (x) = ln(x2 + 10)

(b) f (x) = sin(ln x)

(c) f (x) = ln(sin2 x)

(d) f (x) = log2 (1 − 3x)

(e) f (x) = log 5 (xex )

(f ) f (x) =

√ (g) f (x) = ln( 5 x)

(h) f (x) = sin x ln(5x)

(i) f (t) =

  (2t + 1)3 (j) F (t) = ln (3t − 1)4

(k) h(x) = ln(x +

√ x2 − 1)

(p) y = ln |2 − x − 5x2 |

ln u 1 + ln(2u) r a2 − z 2 (q) H(z) = ln a2 + z 2

(s) y = ln2 (1 + ex )

(t) y = 2x log10

(m) F (y) = y ln(1 + ey )

(n) f (u) =

6

√ x

√ ln x

5

1 + ln t 1 − ln t

√ (l) g(x) = ln(x x2 − 1) (o) y =

1 ln x

(r) y = ln(e−x + xe−x ) (u) y = log 2 (e−x cos(πx))

25 (deriva¸c˜ ao logar´ıtmica). O c´ alculo da derivada de fun¸c˜oes complicadas que envolvam produtos, quocientes, ou potˆencias, pode frequentemente ser simplificada usando logaritmos. O procedimento resume-se nos seguintes passos: • aplica-se o logaritmo natural a ambos os membros da equa¸c˜ao y = f (x) e usam-se as propriedades do logaritmo para simplificar a express˜ao no membro direito; • derivam-se ambos os membros em ordem a x (n˜ ao esquecer que y ´e fun¸ca˜o de x); • finalmente, resolve-se a equa¸c˜ao resultante do passo anterior em ordem a y′ . Usando esta metodologia, derive as fun¸c˜oes abaixo. √ 2 (a) y = (2x + 1)5 (x4 − 3)6 (b) y = x ex (x2 + 110 ) r 2 4 x +1 (d) y = (e) y = xx x2 − 1 √ (g) y = xsin x (h) y = ( x)x (j) y = (sin x)ln x

(k) y = (tan x)1/x

(c) y =

sin2 x tan4 x (x2 + 1)2

(f ) y = xcos x (i) y = (cos x)x (l) y = (ln x)cos x

26. Calcule a derivada e simplifique sempre que poss´ıvel. (a) f (x) = tanh(1 + e2x )

(b) f (x) = x sinh x − cosh x

(c) g(x) = cosh(ln x)

(d) h(x) = ln(cosh x)

(e) y = x cotanh(1 + x2 )

(f ) y = ecosh(3x)

(g) f (t) = cosech t[1 − ln(cosech t)]

(h) f (t) = sech2 (et ) r 1 + tanh x (k) y = 4 1 − tanh x

(i) y = sinh(cosh x)

(j) y = arctan(tanh x)

(l) G(x) =

1 − cosh x 1 + cosh x

√ (n) y = x argtanh x + ln 1 − x2

(m) y = x2 argsinh(2x) (o) y = x argsinh(x/3) −

√ 9 + x2

√ (p) y = argtanh x

27. Determine a derivada de ordem n das fun¸c˜oes: (a) xn

(b) ln x

(c) ln(2x)

(d) 1/(x + 1)

(e) sin x

(f ) xex

(g) ex cos x

(h) sin x cos x

Nota: para (e), ser-lhe-´ a u ´ til recordar que sin x = − cos(x + π/2), qualquer que seja x ∈ R. 28. Qual ´e a cent´esima derivada de f (x) = sinh x? 29. Um fabricante produz tiras de tecido com uma largura fixa. A quantidade q de tecido (medida em metros) que ´e vendida, depende do pre¸co de venda p (em euros por metro), pelo que podemos escrever q = f (p). A receita total realizada, com pre¸co de venda p, ´e ent˜ ao dada por R(p) = pf (p). (a) O que significa dizer que f (20) = 10000 e f ′ (20) = −350? (b) Assumindo os valores da al´ınea anterior, determine R′ (20) e interprete o resultado. 7

30. Em 1999, a popula¸c˜ao da a´rea metropolitana de uma certa cidade era de 961400 habitantes e a popula¸ca˜o estava a crescer cerca de 9200 pessoas por ano. O rendimento per capita anual era sensivelmente 30593 e e estava a crescer 1400 e por ano. Use a regra da derivada do produto para estimar a taxa de crescimento do rendimento global daquela a´rea em 1999. Explique o significado de cada termo. 31. Quais s˜ ao os valores de a e b que tornam a recta 2x + y = b tangente `a par´ abola y = ax2 quando x = 2? 32. Suponha que a curva y = x4 + ax3 + bx2 + cx + d tem uma recta tangente com equa¸c˜ao y = 2x + 1 quando x = 0 e uma recta tangente com equa¸ca˜o y = 2 − 3x quando x = 1. Determine os valores de a, b, c e d . √ 33. Determine o valor c de modo a que a recta y = 32 x + 6 seja tangente `a curva y = c x. 34. Uma escada com 3 metros de comprimento ´e encostada a um muro vertical. Sejam θ o aˆngulo que o topo da escada faz com o muro e x a distˆ ancia dos p´es da escada ao muro. Se os p´es deslizam afastando-se do muro, qu˜ ao r´apido varia x relativamente a θ quando θ = π/3?   35. A profundidade da a´gua numa ba´ıa ´e aproximadamente y = 1.5 + 1.4 cos π6 t metros, passadas t horas da meia-noite. (a) Determine dy/dt. O que representa dy/dt em termos do n´ıvel da a´gua? (b) Para 0 6 t 6 24, quando ´e que dy/dt se anula? O que ´e que isso significa, em termos do n´ıvel da a´gua? 36. O valor comercial de um carro comprado em 2003 ´e aproximado por V (t) = 25(0.85)t , onde t ´e a idade do carro, em anos, e V ´e expresso em milhares de euros. (a) Calcule e interprete V (4). (b) Determine V ′ (t). Quais s˜ao as respectivas unidades? (c) Calcule e interprete V ′ (4). (d) Comente a afirma¸c˜ao: “Do ponto de vista econ´ omico, o melhor ´e manter o carro o maior tempo poss´ıvel.” 37. Um peso na extremidade de uma mola oscila horizontalmente numa superf´ıcie nivelada, como sugerido na figura abaixo. A equa¸c˜ao do seu movimento ´e x(t) = 8 sin t, com t em segundos e x em cent´ımetros. (a) Determine a velocidade e a acelera¸c˜ao no instante t. (b) Determine a posi¸ca˜o, velocidade e acelera¸ca˜o do peso aos 2π/3 segundos. Em que direc¸c˜ao se move nesse instante?

0

x

38. A equa¸ca˜o do movimento de uma part´ıcula ´e s = 2t3 − 7t2 + 4t + 1, onde s est´a em metros e t em segundos. (a) Determine a velocidade e a acelera¸c˜ao em fun¸ca˜o de t. 8

(b) Calcule a acelera¸c˜ao decorrido 1 segundo. (c) Calcule a acelera¸ca˜o quando a velocidade ´e nula. 39. O campo magn´etico B ´e dado em fun¸c˜ao da distˆ ancia r ao centro de um cabo por ( r B , r6r 0 0 B(r) = rr00 B , r > r 0 r 0 onde r0 e B0 s˜ ao constantes positivas. (a) Esboce o gr´ afico de y = B(r). O que representa a constante B0 ? ´ B uma fun¸ca˜o cont´ınua? (b) E avel? (c) Determine dB/dr (e identifique o respectivo dom´ınio). ´E B uma fun¸ca˜o diferenci´ 40 (fun¸c˜ oes de classe C p ). Quando uma fun¸c˜ao f admite p derivadas, diz-se que ´e p-vezes diferenci´ avel ; caso f (p) seja cont´ınua, dizemos que f ´e p-vezes continuamente diferenci´ avel, ou de classe C p . Se f admite derivada de qualquer ordem, ent˜ ao f diz-se indefinidamente diferenci´ avel, ou de classe C ∞ . (Claro que todas estas no¸co˜es dependem do dom´ınio considerado.) (a) Justifique que se f ´e uma fun¸c˜ao p-vezes diferenci´avel, ent˜ ao f, f ′ , f ′′ , . . . , f (p−1) s˜ao p−1 fun¸co˜es cont´ınuas, ou seja, f ´e de classe C . (b) Mostre que f (x) = |x| ´e de classe C ∞ em R \ {0}. (c) Mostre que a fun¸c˜ao ( x2 , x > 0 g(x) = x3 , x < 0 ´e de classe C ∞ em R \ {0}, mas de classe C 1 em R. 41. Escreva a fun¸ca˜o composta na forma g(f (x)). Identifique as fun¸co˜es u = f (x) e y = g(u) e calcule dy/dx. √ (a) y = sin(4x) (b) y = 4 + 3x (c) y = (1 − x2 )10 (d) y = tan(sin x)

√ x

(e) y = e

(f ) y = sin(ex ) y

42. Sendo f e g as fun¸co˜es cujos gr´ aficos s˜ ao mostrados na figura, sejam u(x) = f (g(x)), v(x) = g(f (x)) e w(x) = g(g(x)). Determine cada uma das seguintes derivadas, se existir. Caso n˜ ao exista, explique porquˆe.

f

(a) u′ (1)

g 1

(b) v ′ (1)

0

(c) w′ (1)

1

x

43. Ar ´e bombeado para um bal˜ao esf´erico cujo volume expande a uma taxa de 100 cm3 /s. Qu˜ ao r´apido est´ a o diˆametro do bal˜ ao a aumentar quando o seu raio ´e de 25 cm? 9

44. O carro A via ja para oeste a 80 km/h e o carro B via ja para norte a 95 km/h. Ambos se dirigem para um cruzamento entre as duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro, quando o carro A est´a a 480 m do cruzamento e o carro B a 640 m? 45. Uma pessoa caminha ao longo de um passeio rectil´ıneo a uma velocidade de 1.2 m/s. Um holofote sens´ıvel ao movimento est´a localizado no ch˜ ao a 6 m do passeio e mant´em-se focado no indiv´ıduo. A que taxa est´a o holofote a rodar quando a pessoa se encontra a 4.5 m do ponto no passeio mais perto do holofote? 46. Gravilha est´ a a ser despejada por uma esteira rolante a` taxa de 0.85 m3 /min, enquanto forma uma pilha c´onica cuja altura e diˆ ametro na base s˜ao sempre iguais. Qu˜ ao r´apido est´ a a altura da pilha a aumentar quando esta tem 3 m? 47. Se duas resistˆ encias R1 e R2 est˜ ao ligadas em parale...