Centro de Masa y Centro de Gravedad - Ensayo PDF

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Ensayo corto acerca de los temas de Centro de Masa y Centro de Gravedad, de la asignatura física aplicada....

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1.

INTRODUCCIÓN

En esta breve introducción al tema de Centro de Masa y Centro de Gravedad, un concepto de centro de masa nos dice que es el punto en el que se concentra el peso de un cuerpo, de forma que si el cuerpo se apoyara en ese punto, permanecería en equilibrio. En cuanto el centro de gravedad se define como el punto donde se encuentran aplicada las fuerzas gravitatorias de un objeto, o en pocas palabras es el punto donde actúa el peso. El centro de masa y el centro de gravedad son dos cosas distintas conceptualmente, sin embargo, el centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante , como por ejemplo, la aceleración del campo de gravedad sobre la tierra. El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m. A continuación, se profundizaran los temas principales acerca del Centro de Masa y Centro de Gravedad.

2. OBJETIVOS

2.1.



O bjetivo General Utilizar las fórmulas tanto de centro de masa como de centro de gravedad, en problemas de la vida real, que se puedan representar cotidianamente.

2.2.

O bjetivos Especí ficos



Entender el concepto de centro de masas y centro de gravedad.



Verificar de forma experimental y matemática el centro de masas de las figuras geométricas, así como el centro de gravedad de estos cuerpos.

3.

3.1.

DESARROLLO

Centro de Masa

El Centro de Masa (c.m.) es una posición definida en relación a un objeto o a un sistema de objetos. Es el promedio de la posición de todas las partes del sistema, ponderadas de acuerdo a sus masas. Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de masa se ubica en el centroide. Por ejemplo, el centro de masa de un disco uniforme estaría en su centro. Algunas veces el centro de masa no está en ningún lado sobre el objeto. El centro de masa de un anillo, por ejemplo, está ubicado en su centro, en donde no hay material. Para formas más complicadas, necesitamos una definición matemática más general del centro de masa: es la única posición en la cual los vectores de posición ponderados de todas las partes de un sistema suman cero.

3.1.1. Análisis del Centro de Masa Lo interesante acerca del centro de masa de un objeto o de un sistema, es que es el punto en donde actúa cualquier fuerza uniforme sobre el objeto. Esto es útil porque facilita resolver problemas de mecánica en donde tenemos que describir el movimiento de objetos con formas raras y de sistemas complicados. Para los propósitos de los cálculos, podemos tratar un objeto de forma rara como si toda su masa estuviera concentrada en un objeto pequeñito ubicado en el centro de masa. A veces llamamos a este objeto imaginario una masa puntual. Si empujamos un objeto rígido en su centro de masa, entonces el objeto siempre se moverá como si fuera una masa puntual. No va a rotar alrededor de ningún eje, sin importar la forma que tenga. Si el objeto es sometido a la acción de una fuerza fuera de equilibrio en algún otro punto, entonces empezará a rotar alrededor del centro de masa.

3.1.2. ¿Cómo podemos encontrar el Centro de M asa de cualquier objeto o sistema? Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales (𝑋, 𝑌) cuyas masas respectivas valgan 𝑚1 y 𝑚2 ; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa

despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas 𝑚1 ∙ 𝑔 y 𝑚2 ∙ 𝑔 que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide. En general, el centro de masa se puede encontrar con la suma vectorial ponderada de los vectores de posición, la cual apunta al centro de masa de cada objeto en un sistema. Una técnica rápida que nos permite evitar usar aritmética vectorial es encontrar, de manera separada, el centro de masa de los componentes a lo largo de cada eje. Es decir: Para las posiciones de los objetos a lo largo del eje x: 𝐶𝑀𝑥 =

𝑚1 ∙ 𝑥1 + 𝑚2 ∙ 𝑥2 + 𝑚3 ∙ 𝑥3 + ⋯ 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

Y del mismo modo para el eje y: 𝐶𝑀𝑦 =

𝑚1 ∙ 𝑦1 + 𝑚2 ∙ 𝑦2 + 𝑚3 ∙ 𝑦3 + ⋯ 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

Juntos, estos dos dan las coordenadas (𝐶𝑀𝑥 , 𝐶𝑀𝑦 ) del centro de masa del sistema. 3.2.

Centro de Gravedad

El centro de gravedad es el punto a través del cual la fuerza de gravedad actúa sobre un objeto o un sistema. En la mayoría de los problemas de mecánica, se supone que el campo gravitacional es uniforme. Entonces, el centro de gravedad está exactamente en la misma posición que el centro de masa. Los términos del centro de gravedad y del centro de masa a menudo tienden a usarse de manera intercambiable, ya que suelen estar en la misma ubicación.

Para algunas aplicaciones donde se incluya los momentos de torsión, este se puede considerar que el peso total del objeto está actuando en ese punto. En otros términos, el Centro de Gravedad (c.g.) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

3.2.1. Ubicación del Centro de Gravedad El centro de gravedad en cuerpos regulares como una esfera uniforme, varillas, vigas, cubos, se localiza dentro en su centro geométrico, aunque el centro de gravedad este en un punto fijo, esto no quiere decir que siempre este dentro del cuerpo. Pero en objetos irregulares, como en el caso de un martillo, como tiene más peso en uno de sus extremos, su centro de gravedad estará más cerca hacia ese extremo. Como ejemplo para poder entender de manera más fácil del centro de gravedad y como ubicarlo, haremos un experimento bastante sencillo, le encontraremos el centro de gravedad a una varilla, no muy pesada. Primero empezaremos por buscar su centro de gravedad, de manera muy sencilla apoyamos la varilla sobre nuestros dedos índices, y los deslizamos muy lentamente para encontrar el punto, ya después de hallado, lo marcamos para que no se nos pierda de vista,

ahora ponemos uno de nuestros dedos índices a una distancia cercana al centro de gravedad y el otro dedo índice a una distancia un poco más lejana al centro de gravedad, ahora se podrá decir cuál de los dos está ejerciendo más fuerza, la respuesta es bastante sencilla ya que el que ejerce mayor fuerza es el que está más cercano al centro de gravedad, ya que en esa parte está concentrada la mayor parte del peso, ahora comenzamos a desplazar nuestros dedos, y se darán cuenta que el dedo que está más lejano al centro de gravedad, se moverá primero, aunque el que está más cerca al centro de gravedad, se moverá muy lentamente, ya cuando estén ambos dedos, a una distancia considerable, se moverán conjuntamente hasta llegar nuevamente al centro de gravedad, en conclusión es muy sencillo hallar el centro de gravedad de una varilla. Podemos decir que a partir de esta definición del centro de gravedad, se puede aceptar que cualquier cuerpo suspendido desde este punto, se encuentra en equilibrio.

3.2.2. Propiedades del Centro de Gravedad La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo puede reemplazarse por una fuerza única (𝑀𝑔), esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza (−𝑀𝑔), con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el centro de gravedad se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.

3.2.3. Calculo del Centro de Gravedad El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que: 𝑀𝑔(𝑟𝑐.𝑔. ) = ∫ 𝑔(𝑟)𝑝(𝑟)𝑑𝑉 𝑉

𝑟𝑐.𝑔. × 𝑀𝑔(𝑟𝑐.𝑔. ) = ∫ 𝑟 × 𝑔(𝑟)𝑝(𝑟)𝑑𝑉 𝑉

Donde 𝑀 es la masa total del cuerpo y × denota el producto vectorial. 

En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio 𝑔 es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas: 𝑟𝑐.𝑚. =



1 ∫ 𝑟 𝑝(𝑟)𝑑𝑉 𝑀 𝑉

En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por: 𝑢𝑟 𝑢𝑐.𝑚. = ∫ 𝑟 𝑝(𝑟)𝑑𝑉 2 𝑟 2 𝑐.𝑔. 𝑉 𝑟

4. EJERCICIOS

4.1. Encuentra el centro de masas de las partículas que aparecen en la figura. Se supone que el sistema es rígido y el sistema de referencia se encuentra expresado en metros.

Datos

       

𝑚1 = 1 ⁄2 𝑘𝑔

𝑚2 = 3 𝑘𝑔

𝑚3 = 2 𝑘𝑔

𝑚4 = 3 ⁄2 𝑘𝑔

𝑟1 = 0 𝑚

𝑟2 = 3 ∙ 𝑖 + 5 ∙ 𝑗 𝑚 𝑟3 = 6 ∙ 𝑖

𝑟4 = −2 ∙ 𝑖 + 2 ∙ 𝑗 𝑚

Resolución

𝑟 𝐶𝑀 =

∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ∙ 𝑟𝑖 𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

=

𝑚1 ∙ 𝑟1 + 𝑚2 ∙ 𝑟2 + ⋯ + 𝑚𝑛 ∙ 𝑟𝑛 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ +𝑚𝑛

Por tanto, aplicando a nuestras 4 partículas, separando las coordenadas x e y nos queda:

Es decir, el vector de posición del centro de masas es:

𝑟 𝐶𝑀 =

18 18 18 18 ∙ 𝑖 + ∙ 𝑗 𝑚 = ( , ) 𝑚 7 7 7 7

4.2. Estudiamos dos partículas que se mueven en un plano y determinamos que una de ellas tiene una masa de 2 kg y una velocidad de (1, -2) m/s y la otra una masa de 3 kg y una velocidad de (3, 1). Determina la velocidad del centro de masas del sistema y su momento lineal. ¿Forman parte estas partículas de un sólido rígido? Datos

   

Masa primera partícula: 𝑚1 = 2 𝑘𝑔

Masa segunda partícula: 𝑚2 = 3 𝑘𝑔

Velocidad primera partícula: 𝑣1 = (1, −2) = ∙ 𝑖 − 2 ∙ 𝑗 𝑚⁄ 𝑠 Velocidad segunda partícula: 𝑣2 = (3, 1) = 3 ∙ 𝑖 + 𝑗 𝑚⁄ 𝑠

Resolución La expresión para la velocidad del centro de masas de las dos partículas, obtenida derivando la expresión de la posición del centro de masas respecto al tiempo, es:

Para calcular la cantidad de movimiento o momento lineal multiplicamos la velocidad del centro de masas por la masa total:

Finalmente, las partículas no forman parte de un sólido rígido pues la distancia entre ellas cambia con el tiempo, como puede deducirse fácilmente de las componentes del vector velocidad.

5. CONCLUSIONES



Las fórmulas de centros de masas, las podemos utilizar diariamente en actividades comunes, como en una bola de billar o en un martillo; en cuanto a las fórmulas del centro de gravedad, en un camión que transporta cajas o en una varilla.



Con el centro de masa, podemos hallar en donde está concentrada la masa de un cuerpo. En cambio con el centro de gravedad, el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales o no materiales que constituyen el cuerpo.



Con la práctica, podemos comprender mucho más fácil lo aprendido, ya que lo aplicamos a la realidad, y al desarrollar el informe de laboratorio, aprendemos a aplicar las formulas y a hacer los cálculos de una situación que vimos en la realidad.

6. BIBLIOGRAFÍA [1] H. P. Montiel, «Física General,» de Física General, Primera ed., México D.F., GRUPO EDITORIAL PATRIA, 2014, pp. 156-160. [2] Z. Sears y F. Young, Física Universitaria, décimo-segunda ed., vol. I, PEARSON EDUCATION, 2009. [3] C. A, Física en la ciencia y en la industria, REVERTÉ S.A., 2006. [4] G. C. José L. Fernández, «Fisicalab,» [En línea]. Available: https://www.fisicalab.com/apartado/principio-accion-reaccion. [Último acceso: 15 Agosto 2020]. [5] M. F. Gumbau, Problemas resueltos de centros de gravedad y momentos de inercia, Segunda ed., Francia: Universitat Jaume I, 2006. [6] K. Academy, «Khan Academy,» 15 Mayo 2019. [En línea]. Available: https://es.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum/center-of-mass/a/what-iscenter-of-mass. [Último acceso: 27 Enero 2021]. [7] H. M. Guzman, «Sistema de Partículas,» de Física 1, Lima, Pontificia Universidad Cátolica del Perú, 2009, pp. 1-30....