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EJERCICIOS RESUELTOS CENTRO DE GRAVEDAD 1.

La figura mostrada es una lámina de acero

de

densidad

uniforme,

determinar

las

2.

Hallar

las

coordenadas

del

centro

de

gravedad de la siguiente figura homogénea.

coordenadas del centro de gravedad.

2

2

10 cm

2

5

5 cm

 6, 38; 1,13   4, 38; 0,13  5, 38; 0,18 

a) 10 cm

 4, 67;  4, 67;  6, 67;

a) c) d)

 4,67  3,67  4,67

 6, 33;  6, 67;

b) d)

4,67 4,67

c)

 

3

e)

 6, 38;  6, 38;

b) d)

2,13 0,13

 

Solución: Asignamos números a los componentes:

Solución:

Y

Dividimos el gráfico en figuras conocidas:

2

Y 2 1

2

2

2

10 cm

X

3

5

1

6 cm

Elaborando una tabla: 12 cm

X

Fig.

x

1

16

Elaborando una tabla:

Fig.

x

i

y

A

i

i

x A i

i

y A i

i

y

A

i

i

x A i

i

1

6

3

72

432

216

2

8

8

36

288

288

108

720

504

2

2

i

2

24

128

32

8

–3

6

–8

21

134

8

3 i

y A

i

3

3

3

x

y

c

c



720

 6, 67

x

c



108



504 108

21

 6, 38

8

 4, 67 y

 6, 67;

134

4,67



Rpta.

c



3 21

 0,13

 6, 38;

0,13



Rpta.

1

www.Ejercicios deFísica.com 3.

Hallar la suma de las coordenadas del centro

4.

Una varilla de 20 cm de largo se dobla en

de gravedad de la varilla doblada en U, que se

dos partes iguales formando un ángulo de 60°.

muestra en la figura:

¿A qué distancia del vértice “O” se encuentra el centro de gravedad de la varilla doblada? a)

7

3

2 5 cm

b)

5

O

3

3

c)

3

60º

3

2 5 cm

a) 4

b) 5

d) 6

e) 4, 8

d)

7

3

8

c) 4, 5 e)

5

3

2

Solución:

Solución:

Y

Ubicamos de manera conveniente en un

eje de

coordenadas: Y

1

5 cm

1 5

3

5 2

(x , y ) c

2

5

5 cm

3

5

2

X

x

Fig. 1

x

y

c

c

y

i

0

L

i

2,5

i

5

x L i

i

0

y L i

i

2,5

0

5

12,5

0

5

2,5

5

25

12,5

15

37,5

37,5

15

150

2



37, 5

375

5

15

 

375

 

150

xc



yc

Fig.

x

y

i

L

i

1 2

5

5

2

3

5

3

0

5

Luego:

2



xc

yc

5

Rpta.



75

x L

i

i



20



25

25

10

50

20

75

4 3



20

5

3

4

Por Pitágoras:

O

10

15

C.G.

d

2

X

i

y L i

i

12,5

3

37, 5

10 cm

Construimos nuestra tabla:

2



2

30º

O

Elaborando una tabla:

c

d

y

x

c

c

25

3

0 25

3

www.EjerciciosdeFísica.com

2

d

d

 15  5     4  4

2



2

225 16



75



16

5.

  

3

a

2a

2

3







a

3

2



8



300

a

a



16 2

a

3

12

1

0

4

16

a

3

2

Luego: 1

5



d

3

2

3

Rpta.

2

y

c



3





yc

2

a

2a



Rpta.



4

Hallar la coordenada yC del C.G. de la placa

mostrada.

a

2

6.

Determinar la posición del C.G. de un carril

de vía férrea curvada según se muestra en la figura. Si se sabe que el radio de curvatura es

a

2

2

2a

a)

3

b)



4

e)



a) 150 m

3a 2

5a

d)

igual a 154 m. Considere:

a

c)





22

.

7

154 m

b) 145 m

2a



c) 147 m

3a

60º

O

d) 152 m



154 m

e) 125 m

Solución: Dividimos

B

la

placa

en

formas

(semicírculos).

(x , y )

c

Solución:

A

c

154 m

(x 3 , y3 )

1

2

conocidas

(x , y )

Y

2

O

(x , y ) 1

2

1

3

4a 3

3



OG X

Elaboremos la tabla de valores: OG

1

0

4a





2

3

2



Ai

yi

a

2a

2

3





a

 8

xi Ai 2

a

2

a

3 3

16

G







a

OG a

12

B

 154 sen

 6

 6

3

3



Rsen

yi A i 2

0

30º

154 m

4a

 2a

xi

A



154(

1

)

2 1 6

(

22



6(7)(77) 22

)

7

OG



147 m

Rpta.

3

www.Ejercicios deFísica.com 7.

Hallar el centro de gravedad del alambre, en

función de “R”, con respecto al sistema de coordenadas que se indica.

yc



2R



2



2 R

R



Finalmente:

Y

C.G.

R



R

1    1,   

Rpta.

R

8.

2

gravedad de la placa que se muestra:

Determinar

la

del

centro

de

20 cm

X

R

posición

2

5 cm

1   R  1,   2  2  R  1,   

a)

d)

b)

e)

1   R  2,    4   R  1,   3 

c)

 1 R 1,   

12 cm 22 cm

8 cm

Solución: Y

14 cm

1

2 R

2R



d) (6,34; 10,65)

R/2

2r

R/2

b) (7,50; 11,53)

c) (7,25; 11,06) e) (7,31; 11,61)

2r

 O

a) (7,58; 10,48)

X

Solución:



Dividimos la figura en formas conocidas:

3

Y

Completamos nuestra tabla:

x

1

2

i

R

3R 2

3

R

y

i

2R

 R





2

R



L

x L

R

R 2

i

R

i

3

2

R



R 2 4

R2

2

2 R

i

4 2

R 2

20 cm

y L i

2R

i

5 cm

2

12 cm

R

2

22 cm

2

R

2

8 cm

2

2R

2

14 cm

De donde:

x

c



 2 R 2R

2 R

Las áreas parciales son rectángulos, sus centros de

gravedad

diagonales.

4

X

son

las

intersecciones

de

sus

www.EjerciciosdeFísica.com x

y

i

A

i

x A

i

i

y A

i

i

1

10

19,5

100

1000

1950

2

4

12,5

72

288

900

3

7

4

112

784

448

2072

3298

3298

 11, 61

284 x



c

2072

 7, 30

y

284

c



La coordenada yc

i

R y

c



(7, 31; 11, 61)

284

h

Sobre una esfera maciza de radio “R” se ha

radio

igual

al

de

la

R 2h

R

4

 



2

h

0

3 4

R 3 3

3

 4R 2



debe ser cero: 4

4 4 R

12

4

9.

h

3

Rpta.

colocado un cono cuya

2

12

 R 2h 2

Finalmente:

C.G.



2

2



4R

h

 16R 2

Rpta.

base circular tiene su

esfera.

¿Qué

altura

debe

tener dicho cono para que el C.G. del sistema se

10.

encuentre en el punto de contacto?

plancha metálica semicircular mostrada.

a)

3R

b)

4R

c)

2R

d)

R

Calcular el ángulo de equilibrio para la

a) arc tan

b) arc tan

R

R

e)

c) arc tan

5R d) arc cot

Solución: Sea

el

origen

de

coordenadas

el

centro

de

           

   4   3  5   3  4   3  2

3



R

e) arc tan 2

gravedad (punto de contacto).

C.G.

 (x c ,

y ) c

 (0,

Solución:

0)



Vesfera

C.G.

R 2 h

debe

h

pasar

4



X

4

R

3

2

por

Se sabe que: y

de

un

cuerpo

su

C.G.

Además

de

ubicarse



4R 3



En el triángulo rectángulo:

3

R

4R



3



R

1

equilibrio

h

tan

Fig.

de

sobre su eje de simetría.

3



condición

suspendido, la vertical que contiene la cuerda

Cálculo de Volúmenes:

Vcono

Por

Y

yi

Vi

y iV i

h

R 2h

 R 2h 2

4

3

12

–R

4

R 3

3

4



arc tan

4 3



 4     3 

Rpta.

R 4 3

5

www.Ejercicios deFísica.com 11. de

Un alambre rígido homogéneo de 25 cm

longitud

es doblado como

se indica en

la

figura. ¿Cuánto debe medir “x” para mantener equilibrio?

O

Solución: Ubicamos el origen de coordenadas en el centro del círculo mayor (Eje de simetría

x

2

5 cm

a) 10 cm

b) 15 cm

d) 12 cm

e) 16 cm

c) 10 cm

(x , y ) c

D.C.L. de la barra

x

2

Elaborando el cuadro respectivo:

O 20

C

x

Fig.

yi

1

el

alambre

es

R

0

x

W1

R

2 Como

Ai

10

R

A

c

W

 10

B

homogéneo,

su

peso



2

es

 M0  0 : W1 (20  x)  W2(x 10)  0  x) 

20k(x

x

12.



a)

b)

c)

d)

e)



R



R



2R



R



3R

6

yc

Rpta.

Determinar la coordenada y c

de gravedad de la figura. R

4

4

5

5

6

8

R

2

 R2

4

 10) 12 cm

yi A i 2

R

cm .



 3 4

del centro

0



R



R 8

R 3



8

R

2

y

c





R 6

3

8

4 3

proporcional a su longitud:

5k(20

X

R

1

Solución:

5

– eje Y).

Y

Rpta.

3

www.EjerciciosdeFísica.com 13. la

Encuentre las coordenadas del C.G. de placa

metálica

de

espesor

uniforme.

Considere π = 3,1. Y(cm) 30 cm

30 cm

6 cm

10 cm

X(cm)



Hallando

las

coordenadas

del

centro

de

gravedad y las áreas respectivas.

Área 900 cm

36π cm

2 2

X

Y

15

15

24

10

Para la absisa

x



 A 2x 2 900 15   36  24   A1  A 2 900  36 

A 1x 1

x

 13, 7



Ahora para la ordenada.

y



 A 2y 2 900 15   36  10    A A 900  36  1 2

A 1y 1

y



cm

 15, 7

cm

Entonces el centro de gravedad es: C.G. = (13,7; 15,7)

7...