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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA TRABAJO DE LA ASIGNATURA: MECÁNICA DE MATERIALES

TEMA: TAREA N°1: TRABAJO INVESTIGATIVO ALUSIVO A LA CONCEPTUALIZACIÓN DE LOS TÉRMINOS CENTROIDE Y CENTRO DE GRAVEDAD EN CORRELACIÓN CON SU ACCIONAR EN DISTINTOS MATERIALES DE UN CUERPO EN POS DE ESCLARECER SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE AMBOS TÉRMINOS.

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: DIEGO MIRANDA

NIVEL: V “A”

QUITO,02 DE MAYO DEL 2018

1

ÍNDICE 2

OBJETIVOS..................................................................................................... 3 2.1 OBJETIVO GENERAL ...........................................................................................3 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS.................................................................................. 3

3

INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 4 3.1 CENTRO DE GRAVEDAD ............................................................................................. 6 3.1.1 Origen y definición del término según autores. ..............................................6 3.1.2 Definición general del término ........................................................................7 3.1.3 Propiedades del centro de gravedad .............................................................. 8 3.1.4 Aplicación del centro de gravedad..................................................................8 3.1.5 Tabla para el cálculo del centro de gravedad .................................................9 3.1.6 Procedimiento general para el cálculo del centro de gravedad ....................10 3.2 CENTROIDE ........................................................................................................... 11 3.2.1 Definición general del término ...................................................................... 11 3.2.2 Aplicación del centroide................................................................................ 11 3.2.3 Tabla para el cálculo del centroide ...............................................................12 3.2.4 Puntos importantes por considerar para la ubicación del centroide ............. 13 3.3 SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS................................................................................... 14

4

MARCO ADMINISTRATIVO .......................................................................... 16 4.1 CONCLUSIONES ................................................................................................ 16 4.2 RECOMENDACIONES........................................................................................16

5

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 17

OBJETIVOS 1.1

OBJETIVO GENERAL

Investigar y analizar información relativa al centroide y centro de gravedad partiendo de su recopilación en fuentes de consulta acreditadas para la creación de conceptos claros y que permitan establecer relaciones de diferenciación concisos y determinantes entre ambos términos, para subsecuentemente vincular dicha información con la solución de problemas prácticos.

1.2 •

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Indagar en el fundamento físico teórico que engloba la aparición de ambos términos y su relación con expresiones algebraicas.

•

Construir una matriz de diferenciación de ambos términos para evitar caer en confusiones superfluas y esclarecer características inherentes a cada uno de estos.

•

Recopilar tablas que contengan fórmulas para hallar las incógnitas en cuestión dependiendo del cuerpo de estudio y realizar un análisis introspectivo y correlacional entre el fundamento teórico a detallarse a lo largo del documento.

2

INTRODUCCIÓN

Desde tiempos remotos, el deseo e ímpetu humano por la obtención de conocimiento para la innovación y subsecuente mejora de calidad de vida de la especie, ha sido persistente y ha evolucionado en pro de saciar y facilitar nuestra calidad de vida, por ende, dar solución a nuestros problemas; partiendo desde el planteamiento de simples hipótesis arraigadas a la imaginación y mera suposición sin fundamentos o empíricas del ser humano en épocas arcaicas; enfocándonos principalmente en el avance de la física, esta se puede evidenciar en vestigios de diversos mecanismos o sistemas mecánicos estáticos creados; culminando en planteamientos netamente científicos, que en la actualidad, han llevado principalmente a la automatización o mejora sistemática significativa de los mismos a través de obras emblemáticas y complejas a nivel de ingeniería tanto dinámica como estática , de los cuales, enfocándonos en este último considerando modelos de cuerpo rígido, cuerpo deformable y de fluido para su estudio; se puede aseverar su importancia para el cumplimiento fundamental de los deseos de mejora del ser humano, principalmente en el área de la construcción, diseño de maquinaria y piezas mecánicas; en pos de facilitar y mejorar valga la redundancia su calidad de vida, contribuyendo paulatinamente con la creación de sistemas mecánicos que con base en los fundamentos y consecuentemente, fenómenos físicos que nos rodean e influyen en el sistema del cual formamos parte, han logrado ser desarrollados corroborando desde simples hipótesis haciéndolas trascender a teoremas, y facilitando nuestro diario vivir, manteniéndonos al tanto de nuestro entorno en tiempo real, así como alerta y despreocupados dependiendo del tipo de análisis y subsecuente estudio que se les practique, dentro del cual se encuentran inmersos puntos a simple vista triviales, comúnmente empleados erróneamente en expresiones coloquiales, pero de vital

importancia técnica en la mecánica de materiales pues su diferencia implica cambios en cálculos fundamentales, pudiendo desembocar en fallos de diseño que conllevan generalmente a problemas de funcionamiento y de seguridad; estos términos, motivo de la realización del presente trabajo son el centroide y centro de gravedad los cuales serán analizados en correlación con su accionar en distintos materiales de un cuerpo en pos de esclarecer semejanzas y diferencias entre ambos de tal forma que se logre determinar su uso propicio influenciado de manera general por la forma y fuerzas que actúan sobre un sistema.

MARCO TEÓRICO 2.1

Centro de gravedad

2.1.1 Origen y definición del término según autores. En pos de realizar un estudio minucioso del término “centro de gravedad”, en este apartado se indagará en potenciales factores determinantes para la conceptualización del término dadas en su época, al igual que diversas acepciones del término según varios eruditos, de tal manera que en base a estas se logre determinar variaciones con respecto a teorías contemporáneas que lo abarcan y subsecuentemente colaboren en la formación de un concepto completo que incluya las generalidades más importantes del término.

El origen del concepto tiene una connotación militar, la cual según detalla Leopoldo Díaz Fadic en su artículo “ Los conceptos de “centro de gravedad” y “centro del esfuerzo” y su empleo en la determinación de objetivos en la estrategia conjunta” (Fadic, 2005, págs. 12) se le atribuye a Clausewitz, dende la teoría indica que su idea de centro de gravedad se consolidó después de haber escuchado una serie de conferencias presentadas por el físico alemán Paul Herman, de la cuales pudo deducir que el centro de gravedad por sus siglas COG, “Son las condiciones predominantes de ambas partes (…) d e ellas saldrá y se formará un centro de poder y movimiento, del cual dependerá todo y el golpe concentrado de todas las fuerzas deberá dirigirse a este centro de gravedad del enemigo (...) si con ello el enemigo pierde su equilibrio, no debe dársele tiempo para que lo restablezca” (Clausewitz, 1803), expresión la cual representa al centro de gravedad como el punto donde las fuerzas de la gravedad convergen dentro de un objeto, punto en el cual al aplicar una fuerza, el objeto se moverá eficazmente; si se golpea el COG con

bastante fuerza es posible que el objeto pierda su equilibrio y se caiga, esto a manera de dar una visión o idea general de cómo se planteó el concepto.

2.1.2 Definición general del término El Centro de Gravedad (CG) es el punto imaginario de aplicación de la resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada una de las partículas de un cuerpo o bien sobre las distintas masas materiales de este, el cual depende de la simetría y homogeneidad de este; punto respecto al cual estas fuerzas producen un momento resultante nulo o bien sobre el sistema en el cual se ve inmerso este, pudiendo estar situado fuera de él; de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. (Miranda, 2019)

En retrospectiva el centro de gravedad es un concepto físico que tiene que ver con la ubicación de un punto determinado en el cual un cuerpo se conservaría en equilibrio, cuando actúa sobre él un campo gravitacional, dependiendo de varios factores, por ende, con tendencia a cambiar de posición en determinadas circunstancias. (Serway & Jewett, Físisca para ciencias e ingeniería, 2015)

De manera general el centro de gravedad vendría a constituir el centro de simetría de masa, donde se intersecan los planos sagital, frontal y horizontal. En dicho punto, se aplica la resultante de las fuerzas gravitatorias que ejercen su efecto en un cuerpo.

2.1.3 Propiedades del centro de gravedad •

Un objeto apoyado sobre una base plana estaría en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo; lo cual se expresa diciendo que el CG cae dentro de la base de apoyo.

•

Si un cuerpo se aleja de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial, no obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio. (Tipler)

2.1.4 Aplicación del centro de gravedad Según información recopilada del libro “Física para la ciencia y la tecnología” de Paul Tipler; el centro de gravedad sirve para calcular el equilibrio de un sistema, este sistema puede constituir una infinidad de cosas, por ejemplo, una casa, donde el cálculo del centro de gravedad ayudaría a la persona que

guía

la

construcción

a

determinar los puntos en los cuales poner las columnas y /o la columna principal, para que la estructura resista

las cargas que se

le

apliquen, sobredimensionando las mismas como factor de seguridad

Ilustración

1:Estructura

de

acero,

recuperada

https://www.arqhys.com/construccion/construcciones.html

para la estructura.

de:

2.1.5 Tabla para el cálculo del centro de gravedad

Ilustración 2: Tabla contenedora de ecuaciones para el cálculo del centro de gravedad de diferentes cuerpos, recuperado de: http://gravedad.net/que-es-el-centro-de-gravedad-de-figuras-planas

2.1.6 Procedimiento general para el cálculo del centro de gravedad El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el vector que cumple que: 𝑛

𝑀𝑔(𝑟𝐶𝐺 ) = ∫ 𝑔(𝑟)𝑝(𝑟)𝑑𝑉 𝐾

Ilustración 3: Cuerpo general para cálculo de centro de gravedad

Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, donde el vector de campo gravitatorio g es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a una equivalente a la definición del centro de masas.

𝑟𝐶𝑀

1 𝑛 = ∫ 𝑟𝑝(𝑟)𝑑𝑉 𝑀 𝐾

Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo másico y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado po r:

𝑢 𝑟 𝑢𝐶𝐺  = ∫ 𝑑𝑉 2 𝑟 2 𝐶𝐺 𝐾 𝑟 (Borg, 2010)

2.2

Centroide

2.2.1 Definición general del término El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto el cual depende de la forma del sistema; este coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema es simétrica. (Fadic, 2005)

Ilustración 4: Centroide de un triángulo, recuperado de: http://www.wikiwand.com/es/Centroide

Las ecuaciones usadas para localizar el centroide representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la resultante para el sistema.

2.2.2 Aplicación del centroide El centroide tiene varias ramas de aplicación entre las cuales radican las principales ingenierías del medio de la cuales sobresalen la automotriz, civil y mecatrónica; para lo por motivos de estudio se debe asumir que los cuerpos se encuentran en “condiciones ideales”, es decir, el campo gravitatorio es uniforme y el objeto motivo de estudio es homogéneo, así el centro de masa, del centro de gravedad y el centroide coinciden. (Albornoz, 2005)

2.2.3 Tabla para el cálculo del centroide

Ilustración 5: Tabla contenedora de ecuaciones para encontrar el centroide en diferentes figuras, recuperado de: https://www.slideshare.net/neyserfernandezperez3/tabla-decentroides

2.2.4 Puntos importantes por considerar para la ubicación del centroide •

Volumen: Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las fórmulas que resultan son: X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv " dv " dv " dv

•

Área: De manera semejante, el centroide para el área para el área superficial de un boleto, como una palanca o un casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de área en torno a los ejes de coordenadas a saber. X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA " dvA " dA " dA

•

Línea: Si la geometría del objeto tal como una barra delgada, un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente: X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL " dL " dL " dL

(Borg, 2010)

2.3

Semejanzas y diferencias

Semejanzas y Diferencias entre Centro de Gravedad y Centroide Semejanzas Diferencias El centro de masas coincide con el centro Mientras que el centroide es un concepto de gravedad sólo si el campo gravitatorio geométrico que se aplica sobre cualquier es uniforme; es decir, viene dado en todos figura lineal, plana o sólida, teniendo solo los puntos del campo gravitatorio por un que ver con su forma, por lo cual es vector de magnitud y dirección constante.

inalterable; el centro de gravedad es un concepto físico que tiene que ver con la ubicación de un punto determinado en el cual

un

cuerpo

se

conservaría

en

equilibrio, cuando actúa sobre él un campo gravitacional,

dependiendo

de

varios

factores, por ende con tendencia a cambiar de posición en determinadas circunstancias. (Serway & Jewett, Físisca para ciencias e ingeniería, 2015) Se analizará la semejanza entre ambos Se analizará la diferencia entre ambos conceptos mediante el planteamiento de conceptos mediante el planteamiento de un

caso

hipotéticos

donde

se

ven un

caso

hipotéticos

donde

se

ven

aplicados o inmersos; por ejemplo, si se aplicados o inmersos; por ejemplo, si trata de una esfera sólida, de densidad una esfera sólida no tiene densidad uniforme

y

sometida

a

un

campo uniforme o si está inmersa en un campo

gravitacional uniforme, entonces su centro gravitacional que varía con la posición, el

de gravedad estaría ubicado en el centro centro de gravedad estaría desplazado geométrico de la esfera y, en este caso hacia otra posición, la cual se puede particular, coincidiría con el centroide del calcular

aplicando

sólido; es decir el centroide sería el centro matemáticos de gravedad para objetos de densidad uniforme.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos

de

manera

intercambiable,

aunque designan conceptos diferentes. (Serway & Jewett, Físisca para ciencias e ingeniería, 2015)

procedimientos adecuados.

3

3.1

MARCO ADMINISTRATIVO

CONCLUSIONES Mientras que el centroide es un concepto geométrico que se aplica sobre cualquier

•

figura lineal, plana o sólida, teniendo solo que ver con su forma, por lo cual es inalterable; el centro de gravedad es un concepto físico que tiene que ver con la ubicación de un punto determinado en el cual un cuerpo se conservaría en equilibrio, cuando actúa sobre él un campo gravitacional, dependiendo de varios factores, por ende, con tendencia a cambiar de posición en determinadas circunstancias.

El centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es

•

uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante.

•

Para el cálculo del centroide y del centro de gravedad respectivamente es necesario tener en consideración factores fundamentales que facilitan el cálculo de los mismos, factores tales como el área , volumen, linealidad y distancias tanto del cuerpo de estudio como del sistema del cual forma parte.

3.2 •

RECOMENDACIONES Para facilitación del estudio de la mecánica de materiales se recomienda asumir que los cuerpos se encuentran en “condiciones ideales”, es decir, el campo gravitatorio es uniforme y el objeto motivo de estudio es homogéneo, así el centro de masa, del centro de gravedad y el centroide coinciden.

•

Evitar confundir ambos términos pues eso implica fallos severos en el cálculo analítico de sistemas tanto dinámicos como estáticos.

4

BIBLIOGRAFÍA

Albornoz, J. (2005). Centro de gravedad, centro de masa y centroide. Venezuela. Borg, X. (2010). The dynamic centre of gravity. Blaze Labs Research. Clausewitz, C. v. (1803). Fadic, L. D. (2005). Los conceptos de "Centro de gravedad" y "Centro del esfuerzo" y su empleo en la determinación de objetivos en la estrategia conjunta. Revista Marina, 1-2. Fraden, J. (1993). Handbook of modern sensors. Miranda, D. (2019). TRABAJO INVESTIGATIVO ALUSIVO A LA CONCEPTUALIZACIÓN DE LOS TÉRMINOS CENTROIDE Y CENTRO DE GRAVEDAD EN CORRELACIÓN CON SU ACCIONAR EN DISTINTOS MATERIALES DE UN CUERPO EN POS DE ESCLARECER SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE AMBOS TÉRMINOS. Quito. Serway, & Jewett. (2015). Físisca para ciencias e ingeniería. Cengage learning. Tipler, P. (s.f.). Física para la ciencia y la tecnología. Barcelona: Reverté.

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