Centrides y centro de gravedad ,propiedades de simetria y teorema de pappus-guldinus PDF

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es un buen libro en donde explica demaciados temas que se tratan en clase, pero este trabajo es solo una pequeña parte del libro...

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Centroide Es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. En particular, si el material de que está compuesto un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o el peso específico serán constantes en todo el cuerpo. Las fórmulas resultantes definen el centroide de un cuerpo, ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen solamente del cuerpo. Se considerarán tres casos específicos. Centro de gravedad El centro de gravedad es el punto imaginario de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional La fuerza de gravedad o peso w de un cuerpo bidimensional en el plano xy o proyectado sobre este, se ubica en un punto especial conocido como centro de gravedad (CG) con coordenadas

.

Dada una distribución de n partículas en un campo gravitacional uniforme, sobre cada una de ellas actúa la fuerza de gravedad con la misma intensidad, tal que existen n-vectores de peso wi = mig con i = 1, 2, ..., n.. Las expresiones que determinan la fuerza resultante w y las coordenadas

se

pueden dar con relación a dos formas de visualizar el sistema: nivel discreto y nivel continuo. Siempre hay que tener en cuenta que el centro de gravedad para una línea no se localiza exactamente sobre ella.

Propiedades de Simetria y Teorema de Pappus – Guldinus

Teroema de Pappus – Guldinus, Teorema 1 La determinación del centroide C de un área o de una línea se simplifica cuando el área o la línea poseen ciertas propiedades de simetría

Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y cuerpos de revolución. El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la su perficie.

Teorema 2 El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.

Superficie de revolución Si el área o la línea es simétrica con respecto a un eje, su centroide C se encuentra sobre dicho eje; si el área o la línea es simétrica con respecto a dos ejes, C está localizado en la intersección de los dos ejes; si el área o la línea es simétrica con respecto a un centro O, C coincide con O.

Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fıjo.

Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fıjo.

Centroides de áreas y líneas por integración. El centroide es una idea puramente geométrica dependiente del estilo o forma del cuerpo. Determinar este punto es equivalente a definir su centro geométrico, el cual coincide con el centro de gravedad si la densidad del cuerpo es homogénea. A continuación se presenta la expresión para determinar las coordenadas

del

centroide para líneas y áreas, sean o no de placa homogénea, utilizando para ello un proceso similar al empleado en las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo bidimensional.

Primeros momentos de líneas y áreas Una forma de analizar los primeros momentos en un área o línea es mediante cuatro propiedades como son: si existe un eje de simetría, el centroide se ubica sobre este, porque su primer momento estático con relación a dicho eje es igual a cero. Con dos ejes de simetría el centroide se ubica en la intercepción de dichos ejes y en el caso en donde no existen ejes de simetría para áreas o líneas se localiza entonces su centro de simetría. Finalmente, en áreas asimétricas o fronteras irregulares el centroide se localiza al evaluar las integrales de forma numérica

Centroides de áreas y líneas compuestas. Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa X del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento Qy del área compuesta con respecto al eje i/ puede expresarse como el producto de X con el área total y como la suma de los primeros momentos denlas áreas elementales con respecto al eje y (figura 5.10). La ordenada Y del centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento £)v del área compuesta. Así, se tiene Qy = X(A | + Á2 + • • • + An) = + X2A2 + • • • + x„An

Qx = Y(A, + A2 + • • • + A„) = j/]Ai + y2A2 + y„An o en forma condensada, Qy = X IA = 2xA Qx = Y2A = ZyA Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos dd área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas X y Y de su centroide. Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo con respecto a dicho eje. Además al área de 1111 agujero se le debe asignar un signo negativo De manera similar, en muchos casos es posible determinar el centro de gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una línea compuesta dividiendo al alambre o a la h'nea en elementos más simples

Conclusión Llegue a la conclusión de que el centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría de dicha figura. Para un objeto, figura limitada o región finita el grupo de isometría no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometría

no

es

trivial,

sus

simetrías

pueden

determinar

el

centroide.

Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetría trasnacional el centroide no está definido, porque una traslación no tiene ningún punto fijo.

También que el centro de gravedad sirve para calcular el equilibrio de un sistema, este sistema puede ser infinidad de cosas, por ejemplo una casa, los puntos en los cuales poner las columnas y /o la columna principal. Esto nos sirve para ser mejore en nuestra profesión que es la Mecatronica....