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Asservissements numériques Chapitre 1 : Les Signaux à temps discret Chapitre 1 Les Signaux à temps discret 1.1 Introduction L’Automatique des systèmes à temps continu repose sur une représentation mathématique des échanges d’énergies, de forces, d’informations en tant que fonctions du temps à valeur...

Description

Asservissements numériques

Chapitre 1 : Les Signaux à temps discret

Chapitre 1 Les Signaux à temps discret 1.1 Introduction L’Automatique des systèmes à temps continu repose sur une représentation mathématique des échanges d’énergies, de forces, d’informations en tant que fonctions du temps à valeurs réelles (éventuellement espace vectoriel de ℜ ) : Traitement numérique du signal (Digital Signal Processing). Signal : fonction, d’une ou plusieurs variables, contenant l’information sur l’état ou le comportement d’un système physique.

1.1.1 Traitement numérique du signal TNS 

Représenter un signal par une séquence de nombres.



Traiter ces signaux numériques :  estimer des paramètres caractéristiques,  transformer le signal.

1.1.2 Avantages et inconvénients du TNS •

Nature du signal : nombre limité de valeurs

•

Utilisation de la micro-électronique : petites dimensions, fiabilité élevée, coût faible

•

Comparaison avec le traitement analogique : certaines fonctions sont trop compliquées

Pour une exécution analogique pratique (exemple : la transformée de Fourier) 

Nécessité d’un certain niveau de puissance électrique



Impossibilité de traiter des signaux de fréquences trop élevées



Difficulté de conversion analogique-numérique (signaux trop faibles ou trop forts)

1

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Chapitre 1 : Les Signaux à temps discret

1.2. Signaux et systèmes à temps discret 1.2.1 Signaux à temps discret 

Séquence de nombres :

{ x ( n )}  −∞ <

= x [ n]

n >x=-10:1:10; >>u=Heaviside(x); >>stem (x,u), axis([-10 10,-2 2]), grid

… -1

0

2

5

n

Fig. 1.4 : Echelon unité.

u[n] = 

∑

+∞ k =0

δ [n − k ]

(1.6)

Les fonctions sinus discrètes : %Programme MATLAB (figure 1.5) >>y0=sin(x/2) ; >>y1=sinc(x/2); >>subplot(2,2,1),stem(x,y0), grid >>subplot(2,2,2), stem (x,y1,'r')

= x (t )

+φ) A.sin(ω.t=

= x [ n]

A.sin(θ .n + φ )

A.sin(ω.n.T + φ )

3

(1.7)

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Chapitre 1 : Les Signaux à temps discret

A : amplitude, θ : pulsation relative (absolue : ω = θ / T ), φ : phase. 1

sin

0.5 0 -0.5 -1 -15

-10

-5

0 temps (s)

5

10

15

-10

-5

0 temps (s)

5

10

15

1

sinc

0.5

0

-0.5 -15

Fig. 1.5 : Les fonctions sinus et sinus cardinal discrètes. 

Rappel sur la périodicité : x [= n] = x [ n]

x [ n + N ] , N période A.sin(θ .n + φ ) = A.sin(θ .(n + N ) + φ ) = A.sin(θ .n + θ .N + φ )

(1.8)

Donc condition : θ .n = 2.k. π ⇔ N = 2.k. π / θ entier ⇔ 2. π / θ entier • Si x est périodique : 2. π / θ est un nombre entier. Exemple : sin(n. π /4) est périodique de période 8. ici θ = π /4 et φ =0 et 2. π / π /4=8 = période

après 8 points on retombe au même endroit

• Si x n’est pas périodique : 2. π / θ n’est pas un nombre entier. Exemple : sin(n) n’est pas périodique.

on ne retombe pas au même endroit

4

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Chapitre 1 : Les Signaux à temps discret

Conclusion : Un signal continu périodique ne l’est plus forcément une fois discrétisé. Exercice 1 : TD N° 01 On considère le signal x(t ) = sin( xt ) (Fig. 1.6.a)

Fig. 1.6.a : La fonction sinus.

Discrétiser ce signal pour une période d’échantillonnage : T = 0.25s ?, avec : −8 ≤ k ≤ +8 Sol : En remplace t=kT, donc : x[kT= ] sin(π k × T= ) sin(π k × 0.25) Pour : k = 0, ± 1, ± 2, ..., x[k ] (Fig. 1.6.a) donnée par : (T ) sin(0.25 = x[1] x= = π ) 1/ 2

x[−8] = x(−8T ) = sin(−2π ) = 0 ,

x[−7] = x(−7T ) = sin(−1.75π ) = 1/ 2 ,

x[2] x= (2T ) sin(0.5 π) 1 = =

x[−6] = x(−6T ) = sin(−1.5π ) = 1 ,

= x[3] x= (3T ) sin(0.75 = π ) 1/ 2

x[−5] = x(−5T ) = sin(−1.25π ) = 1/ 2 ,

= = π) 0 x[4] x= (4T ) sin(

x[−4] = x(−4T ) = sin(−π ) = 0 ,

x[5] = x(5T ) = sin(1.25π ) = −1/ 2

x[−3] =x(−3T ) = sin(−0.75π ) = −1/ 2 ,

x[6] = x(6T ) = sin(1.5π ) = −1

−1 , x[−2] = x(−2T ) = sin(−0.5π ) =

x[7] = x(7T ) = sin(1.75π ) = −1/ 2

sin(−0.25π ) =−1/ 2 , x[−1] =x(−T ) =

x[8] x= (8T ) sin(2 π) 0 = =

x= [0] x= (0) sin(0) = 0

Fig. 1.6.b : La fonction sinus.

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Chapitre 1 : Les Signaux à temps discret

1.3 TP N° 01 signaux discrets 

Signaux discrets

• Fonction signe +1 si t > 0 sgn ( t ) =   −1 si t ≤ 0 1

>> x=-10:1:10; >> y=sign(x)

fonction sgn

Exemple

0.5 0 -0.5

>> stem(x,y), grid -1 -10

>> stem(x,2*y), grid

-8

-6

-4

-2

0 temps (s)

2

4

6

8

10

>> subplot(2,2,1), stem (x,y), grid >> subplot(2,2,2), stem (x,2*y,'r') ,grid • Fonction rampe  t si t ≥ 0 r (t ) =  0 si t < 0

Exemple

>> x=-10:1:10; >> y= x.*Heaviside(x); >> stem(x,y), grid

fonction rampe

10 5 0 -5 -10 -10

-8

-6

-4

-2

0 temps (s)

2

4

6

>> stem (x,y), axis([-10 10,-10 10]), grid >> subplot(2,1,1), stem (x,y), axis([-10 10,-10 10]), grid • Fonction échelon +1 si t > 0 1 u ( t ) = et u ( 0 ) 2  0 si t < 0

6

8

10

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fonction échelon

2

Exemple

x=-10:1:10; u=Heaviside(x) ;

1 0 -1 -2 -10

-8

-6

-4

-2

stem (x,u), axis([-10 10,-2 2]), grid

0 temps (s)

2

4

6

8

10

>> subplot(2,1,2), stem (x,u), axis([-10 10,-2 2]), grid • Fonction impulsion +∞

δ ( t ) dt ∫=

1,= δ (t )

−∞

du ( t ) dt

>> syms t a; >> u= heaviside(t) ; >> d=diff(u) >> int(d) %%% propriété de l’impulsion de Dirac

:

>> int(dirac(t-a)*sin(a),-inf,inf) • Fonctions sinus et sinus cardinal

x=-4*pi:pi/3:4*pi; %sinus et sinus cardinal y0=sin(x/2) ;

fonction sinus

1 0.5 0 -0.5

y1=sinc(x/2); -1 -10

-8

7

-6

-4

-2

0 temps (s)

2

4

6

8

10

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subplot(2,2,1), stem(x,y0), grid subplot(2,2,2), stem (x,y1,'r') ,grid fonction sinus cardinal

1

0.5

0

-0.5 -10

-8

-6

-4

-2

0 temps (s)

2

4

6

8

10

%sinus amorti en pointillés y2=sin(x).*exp(-0.1*x)/3; subplot(2,2,4), stem (x,y2,'g:'), grid % création de la fonction sinus carrée y3=sin(x).*sin(x); subplot(2,2,3), stem (x,y3), grid • programme 1 %%%%%%%%%%%% figure 1 clf % clear any existing figure k = [-10:20]; % set the time index from % -10 to 20 f1 = -0.92 * sin(0.1*pi*k - 3*pi/4); % compute function f1 % plot function 1 subplot(2,2,1), stem(k, f1), grid xlabel('k') ylabel('-9.2sin(0.1\pi k-0.75\pi') title('Part (a)') %%%%%%%%%%%% figure 2 k = [-5:25]; f2 = 2 * 1.1.^(-1.8*k) - 2.1 * 0.9.^(0.7*k); % plot function 2 subplot(2,2,2), stem(k, f2, 'filled'), grid xlabel('k') ylabel('2(1.1)^{-1.8k} - 2.1(0.9)^0.7k') title('Part (b)')

8

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%%%%%%%%%%%% figure 3 k = [0:50]; f3 = (-0.93).^k .* exp(j*pi*k/sqrt(350)); % plot function 3 subplot(2,2,3), stem(k, real(f3), 'filled'), grid xlabel('k') ylabel('(-0.93)^k exp(j\pi k/(350)^{0.5}') title('Part (c) - real part') % subplot(2,2,4), stem(k, imag(f3), 'filled'), grid xlabel('k') ylabel('(-0.93)^k exp(j\pi k/(350)^{0.5}') title('Part (d) - imaginary part')

Les deux fonctions plot et stem ont une variété d'options disponibles, ce qui peut être sélectionné pour modifier l'apparence des figures. Le lecteur est encouragé d'explorer ces options en cherchant de l'aide sur ces fonctions dans MATLAB. Il existe plusieurs autres fonctions graphiques 2D dans MATLAB : semilogx, semilogy, loglog, bar, hist, polar, stairs, rose, errorbar, compass, et pie. • programme 2 % Part (a) figure(5) % Select figure 5 for plots clf % Clear figure 5 k = [-5:5]; % k = [-5 -4 ...0 ...4 5] f1 = sin(0.1*pi*k); % Calculate function f1 subplot(2,2,1); % Divides fig 5 into (m = 2) % vertical and (n = 2) % horizontal sub-figures. % The last argument (p = 1) % accesses sub-figures % (1...