Chương VIII. PHƯƠNG Trình SAI PHÂN PDF

Preview

Summary

####### Chƣơng VIII. PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNA. TÓM TẮT LÍ THUYẾT8. KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN. 8.1. Khái niệm sai phân. a/ Cho hàm số y = f ( n ) với n  N hay n  N*. Kí hiệu : yn = f ( n ). Hiệu số yn+1  yn = f ( n+1 )  f ( n ) được gọi là sai phân cấp 1 (gọi tắt là sai phân)#####...

Description

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

Chƣơng VIII.

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

8.1. KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN. 8.1.1. Khái niệm sai phân. a/ Cho hàm số y = f(n) với n  N hay n  N*. Kí hiệu: yn = f(n). Hiệu số yn+1  yn = f(n+1)  f(n) được gọi là sai phân cấp 1 (gọi tắt là sai phân) của hàm số yn. Kí hiệu: yn = yn+1  yn. b/ Nếu yn là sai phân của hàm số yn thì sai phân của sai phân yn được gọi là sai phân cấp 2 của hàm số yn. Kí hiệu: 2yn = ( yn) = yn+1  yn. Tương tự: Sai phân cấp k của hàm số yn là sai phân của sai phân cấp k  1 của yn (k  3, k  N). Kí hiệu sai phân cấp k của hàm số yn là: 1   1 kyn = ( k yn) =  k 1yn+1  k yn.

c/ Định lí: Cho hàm số yn (n  N hay n  N*) có sai phân cấp k là kyn. Khi đó ta có:  k y n 

k

 (1) C y

i 0

i

i k n k  i

(1)

8.1.2. Phƣơng trình sai phân. a/ Phương trình sai phân là phương trình có chứa biến số n, n N (hay n N*), hàm số yn chưa biết và các sai phân các cấp của yn. Tức là phương trình có dạng: k F (n, yn, yn, 2yn , ... ,  yn) = 0. Cấp cao nhất của sai phân của hàm yn (chưa biết phải tìm) có mặt trong phương trình gọi là cấp của phương trình sai phân. Theo công thức (1) ta có thể viết các phương trình sai phân cấp k dưới dạng F (n, yn, yn+1, ... , yn+k ) = 0 (2) b/ Nghiệm của phương trình sai phân: Cho phương trình sai phân cấp k k F (n, yn, yn , 2yn , ... ,  yn) = 0 hay F (n, yn, yn+1, yn+2 , ... , yn+k ) = 0 (2) + Nghiệm của phương trình sai phân (2) là hàm số yn thỏa mãn phương trình (2) (Tức là khi ta thay yn, yn+1, yn+2 , ... , yn+k vào phương trình (2) ta được đồng nhất thức). + Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (2) là hàm số có dạng yn = f(n, C1, C2 , .... , Ck ) với C1, C2 , ... , Ck là các hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình sai phân (2).

1

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

c/ Nghiệm riêng của phương trình sai phân (2) là hàm số suy ra từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các mỗi kí tự C1, C2 , ... , Ck một số xác định cụ thể nào đó. Do sự hạn chế của chương trình nên trong phần còn lại của chương này ta chỉ xét các loại phương trình sai phân cấp 1 và cấp 2. 8.2. PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP 1. 8.2.1. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng. a/ Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng là phương trình sai phân cấp 1 có dạng: yn+1 + pyn = q (3) với p, q là các hằng số không đổi , n  N ( N*). + Nếu q = 0 thì (3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. + Nếu q ≠ 0 thì (3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. b/ Định lí: Nếu y n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất yn+1 + pyn = 0 và

y

* n

là nghiệm riêng của phương trình sai phân không thuần nhất yn+1 + pyn = q.

thì yn = y n + y *n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân yn+1 + pyn = q . c/ Cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng. + Đối với phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. yn+1 + pyn = 0 hay yn+1 =  pyn Đặt yo = C, C là hằng số tùy ý. Khi đó ta có :

y1 = pC,

y2 = py1 = (–p)2C, y3 = py2 = (–p)3C,

............................. yn = pyn1 = (p)n.C Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất yn+1 + pyn = 0 là yn = C( p)n với C là hằng số tùy ý. + Đối với phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. yn+1 + pyn = q . Theo trên ta có nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất có dạng y n = C(p)n, C: hằng số tuỳ ý, nên nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất có dạng: * yn = C(p)n + y *n , với y n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất yn+1 + pyn = q.

2

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

Do đó để tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không * thuần nhất ta chỉ cần tìm một nghiệm riêng y n nào đó của nó. Phương pháp tìm nghiệm riêng y *n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. + Nếu p = –1 thì thì nghiệm riêng y *n có dạng y *n = an, + Nếu p ≠ –1 thì thì nghiệm riêng y *n có dạng y *n = a, với a là hằng số thực chưa biết, để tìm a ta tìm yn*1 rồi thay y n*1, y *n vào phương trình không thuần nhất, đồng nhất hai vế tìm phương trình đối với a và tìm được y *n như sau: Nếu p = –1 thì a = q  y *n = qn; nếu p ≠ –1 thì a  q  y*n  q . p 1 p 1 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất yn+1 + pyn = q là: yn = y n + y *n = C + qn nếu p = –1, yn = y n + y *n = C( p)n +

q nếu p ≠ –1. p 1

Chú ý: Để tìm một nghiệm nào đó của phương trình không thuần nhất (3) thỏa mãn điều kiện y0 = α là hằng thực đã biết ta thay n = 0 vào nghiệm tổng quát, tìm C, suy nghiệm yn cần tìm. 8.2.2. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát. a/ Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát là phương trình sai phân cấp 1 có dạng : yn+1 + p(n)yn = q(n) (4) với n  N ( N*) và p(n), q(n) là các hàm của n. + Nếu qn  0 thì (4) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. + Nếu n N để q(n) ≠ 0 thì (4) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. b/ Định lí: Nếu y n là nghiệm tổng quát của phương trình yn+1 + p(n)yn = 0 và

y *n là nghiệm riêng của phương trình

yn+1 + p(n)yn = q(n).

thì yn = y n + y là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân yn+1 + p(n)yn = q(n) . * n

c/ Cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1với hệ số hằng. * Trƣờng hợp p(n) là hằng số. + Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất yn+1 + pyn = 0, là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất, có dạng n y n = C(p) , C: hằng số tuỳ ý.

3

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC * n

+ Phương pháp tìm nghiệm riêng y của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất với hệ số hằng . ) Phƣơng pháp hệ số bất định: i/ Nếu q(n) là đa thức bậc k của n và p = 1 thì nghiệm riêng y *n có dạng: k k1 y *n = n(akn + ak1n + ... + a1n + ao)

với ak, ak1 , ... , a1, ao là các hệ số thực chưa biết. ii/ Nếu q(n) là đa thức bậc k của n và  p  1 thì nghiệm riêng y *n có dạng k y *n = akn + ak 1nk1 + ... + a1n + ao

với ak, ak1 , ... , a1, ao là các hệ số thực chưa biết. iii/ Nếu q(n) = Pk(n).n và  = p thì nghiệm riêng y *n có dạng: k k1 n y *n = n(akn + ak1n + ... + a1k + ao) 

với ak, ak1 , ... , a1, ao là các hệ số thực chưa biết. iv/ Nếu q(n) = Pk(n).n và   p (với Pk(n) là đa thức bậc k đã biết) thì nghiệm n riêng y *n có dạng: y *n = (aknk + ak1nk-1 + ... + a1n + ao). với ak, ak1 , ... , a1, ao là các hệ số thực chưa biết. Để tìm ak, ak1 , ... , a1, ao trong các trường trên , ta tìm yn*1 rồi thay y n*1 , y *n vào phương trình không thuần nhất, đồng nhất hai vế ta được hệ phương trình đối với ak, ak 1, ..., a1, ao, giải hệ suy ra ak, ak 1 , ... , a1, ao suy ra y *n. v/ Nếu q(n) = a sinn + bcosn, với a, b  R , a2 + b2  0 và   k , k  Z thì nghiệm riêng y *n có dạng y *n = Asinn  + Bcosn với A, B chưa biết, để tìm A, B ta tìm y n*1 rồi thay yn*1 , y *n vào phương trình không thuần nhất, đồng nhất hai vế tìm hệ phương trình đối với A, B.  ) Phƣơng pháp biến thiên hằng số. Cho phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất: yn+1 + pyn = q(n) (4) với p là hằng số, Theo trên ta có nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất tương ứng là y n = C(p)n với C là hằng số tùy ý. Để tìm nghiệm riêng y *n của phương trình (4) ta xét y *n dưới dạng: y *n = un (p)n với un là 1 hàm của n chưa biết (xem hằng số C ở nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là 1 hàm số của n). Tìm y n*1, thay y n*1 , y *n vào (4) rồi giải tìm được un suy ra nghiệm riêng y *n của (4)  nghiệm tổng quát của (4) là yn = y n + y *n = C(p)n + y *nvới C là hằng số tùy ý. 4

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22) * nk

Định lí: Nếu y

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

là nghiệm riêng của phương trình :

yn+1 + p.yn = qk(n) , k = 1,m (m  2) thì y = yn*1 + y*n2 + ... + y*nm là nghiệm riêng của phương trình : * n

yn+1 + p.yn = q1(n) + q2(n) + ... + qk(n) . + Dựa vào định lí trên để tìm nghiệm riêng của phương trình : yn+1 + pyn = q1(n) + q2(n) + ... + qk(n) . ta tìm nghiệm riêng của từng phương trình yn+1 + pyn = qk(n) , k = 1,m . rồi lấy tổng các nghiệm riêng của các phương trình đó. * Trƣờng hợp p(n) là hàm của n. + Giải phương trình thuần nhất tương ứng yn + 1 + p(n) yn = 0 Ta có (a)  yn+1 = p(n)yn Cho n lần lượt từ 0 đến n (hay từ 1 đến n) ta có y1 =  p(0) yo,

y2 =  p(1) y1,

(a)

y3 =  p(2)y2

........................................, yn =  p(n – 1)yn  1 Nhân các đẳng thức trên vế theo vế ta được : y1 . y2 ... yn = (1)n p(1) . p(2). . . . p(n –1). yo . y1 ... yn1  yn = (1)n p(1) . p(2). . . . p(n –1). yo. Đặt yo = C là hằng số tùy ý ta có nghiệm tổng quát của phương (a) là:

y n = (1)n C. p(1) . p(2). . . . p(n –1) hay y n + Tìm nghiệm riêng y *n của phương trình không thuần nhất. Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số như cách giải phương trình sai phân tuyến tính với p là hằng số. 8.2.3. Ứng dụng phƣơng trình sai phân cấp 1 trong kinh tế. a/ Mô hình thị trƣờng có hàng hóa tồn đọng. Sau đây là mô hình thị trường với giả thiết những người bán còn hàng tồn đọng. Các giả thiết của mô hình: Cả lượng cung Qs và lượng cầu Qd đều không bị trễ và đều là hàm tuyến tính của giá cả ở mỗi thời kỳ và giá là hàm theo theo thời kì t, t  N: Qdt = a – bPt , a > 0, b > 0 và Qst = –c + dPt , c > 0, d > 0. Giá cả được điều chỉnh không theo nguyên tắc cân bằng thị trường ở mỗi thời kì. Việc đặt giá của người bán ở đầu mỗi thời k ì căn cứ vào giá của thời kỳ trước và lượng hàng tồn kho của thời kỳ trước. Nếu theo mức giá của thời kì trước mà hàng 5

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

hóa còn tồn đọng thì người bán đặt giá thấp hơn cho thời kì hiện tại hoặc ngược lại, nếu lượng hàng hóa không đủ bán thì người bán đặt giá cao hơn. Lượng điều chỉnh giá từ thời kì t sang thời kì t + 1 được xác định theo công thức: Pt +1 – Pt = –(Qst – Qdt) ,  là hằng số dương. Kết hợp với các giả thiết ở trên ta có phương trình: Pt +1 – Pt = – (–c + dPt – a + bPt)  𝑃𝑡+1 − 1 − 𝜆(𝑏 + 𝑑) 𝑃𝑡 = 𝜆(𝛼 + 𝑐). Phương trình này là phương trình sai phân ôtônôm tuyến tính cấp một dạng yn+1 + pyn = q với p = − 1 − 𝜆(𝑏 + 𝑑) , q = 𝜆 𝛼 + 𝑐 , y = P , n = t. Nghiệm của phương trình có dạng: yn = C [−𝑝]n + q p1 hay trong đó 𝑃 =

𝑃𝑡 = 𝑃0 − 𝑃 1 − 𝜆(𝑏 + 𝑑) 𝑎 +𝑐 𝑏 +𝑑

𝑡

+ 𝑃,

là giá trị cân bằng và P0 là giá ở thời kỳ đầu tiên t = 0.

b) Mô hình thu nhập có trễ. Xét mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô ở dạng đơn giản: Y = C + I (a) không tính đến vai trò của chính phủ và quan hệ kinh tế với nước ngoài. Giả sử I = I0 (lượng đầu tư không thay đổi) và giả sử tiêu dùng của thời kì t + 1 phụ thuộc vào thu nhập của thời kì t , có phương trình dạng: Ct +1 = C0 + cYt ( b) với 0 < c < 1 Từ (a) và (b) ta có phương trình: Yt +1 = Ct +1 + I0  Yt + 1 = cYt + C0 + I0  Yt + 1 – cYt = C0 + I0 Giải phương trình sai phân ôtônôm tuyến tính cấp một này ta được: 𝐶 +𝐼

𝑌𝑡 = 𝑌0 − 𝑌 𝑐 𝑡 + 𝑌, với 𝑌 = 0 0. 1 −𝑐

8.3. PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP 2. 8.3.1. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2. a/ Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng là phương trình sai phân cấp 2 có dạng : yn+2 + pyn+1 + qyn = r(n) (5) với p, q là các hằng số thực không đổi và r(n) là hàm số theo n hoặc là hằng số thực không đổi. + Nếu r(n)  0 thì (5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất. + Nếu n  N để r(n) ≠ 0 thì (5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. + Nếu p, q, r(n) đều là các hằng số thì (5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng.

6

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

b/ Định lí: Nếu y n là nghiệm tổng quát của phương trình: yn+2 + pyn+1 + qyn = 0

(6)

yn+2 + pyn+1 + qyn = r(n) (7)

và y *n là nghiệm riêng của phương trình

thì nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (7) là: yn = y n + y *n c/ Cách giải phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng. i) Đối với phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất: yn+2 + pyn+1 + qyn = 0 (6) với p, q là các hằng thực không đổi . Ta xét nghiệm của phương trình (6) dưới dạng yn = xn, x  R \ {0}.  y n + 1 = x n + 1 , y n + 2 = x n + 2. Thay yn + 2 , yn + 1 , yn vào (7) ta được xn +2 + pxn +1 + qxn = 0  xn (x2 + px + q) = 0 vì x  0  xn  0.  x2 + px + q = 0 (*) Phương trình (*) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất (6). Ta có các trƣờng hợp xảy ra sau: + Trường hợp phương trình đặc trưng (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, khi đó ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (7) là; yn = C1(x1)n + C2(x2)n với C1, C2 là hai hằng số tùy ý. + Trường hợp phương trình đặc trưn g (*) có nghiệm kép x1 = x2 =  p , khi đó ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (6) là : n yn = (C1 + C2n)( p ) với C1, C2 là hai hằng số tùy ý. 2

2

+ Trường hợp phương trình đặc trưng (*) có 2 nghiệm phức  x1     i  r(cos  i sin  ) , với  > 0, i là đơn vị phức, i2 = 1,  x   i  r(cos  i sin ) 2

  , sin   2 2 , 0 <  <  , 2     khi đó ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (6) là: r  2   2 , cos  

n

2

yn = r (C1cosn  + C2sinn )

với C1, C2 là hai hằng số thực tùy ý.

7

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

ii) Đối với phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. Theo trên ta đã tìm được nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất (6), đặt nghiệm đó là y n , nên theo định lí về nghiệm của phương sai phân tuyến tính cấp 2 ta chỉ cần tìm thêm một nghiệm riêng y *n nào đó của phương trình không thuần nhất (7), ta có nghiệm tổng của phương trình (7) là yn = y n + y *n . Cách tìm nghiệm riêng

y *n

của phƣơng trình sai phân (7):

* Phƣơng pháp hệ số bất định: Xét các trường hợp đặc biệt sau : i) Trường hợp r(n) = Pk(n). n ,  0,  có thể = 1. + Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm   thì nghiệm riêng y *n có dạng

y *n = (aknk + ak  1nk  1 + ... + a1n + ao) n. + Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm đơn =  thì nghiệm riêng y *n có dạng : y *n = n(aknk + ak  1nk  1 + ... + a1n + ao) n . Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép =  thì nghiệm y *n có dạng : n y *n = n2 (aknk + ak  1nk  1 + ... + a1n + ao)  .

với ak, ak  1, ... , a1, ao là những hằng số thực chưa biết. Để tìm ak, ak  1, ... , a1, a ta tìm y*n 1 , y n* 2 rồi thay vào (7), đồng nhất hai vế tìm được một hệ phương trình đối với ak, ak  1, ... , a1, ao. ii) Trường hợp r(n) = r1(n)+ r2(n) + ... + rm(n) . Để tìm nghiệm riêng y *n, ta tìm nghiệm riêng y*nk của từng phương trình yn + 2 + pyn + 1 + qyn = rk (n), k = 1, m rồi sử dụng công thức y*n  y*n1  y*n 2  . . .  y*nm .

* Phƣơng pháp biến thiên hằng số : Giả sử ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình yn + 2 + pyn + 1 + qyn = 0 là y n = C1f1(n) + C2f2(n) với C1, C2 là hai hằng số tùy ý.

8

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

Khi đó nghiệm riêng y

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC * n của

phương trình yn + 2 + pyn +1 + qyn =r(n) có dạng

y *n = u1(n).f1(n) + u2(n).f2(n) với u1(n), u2(n) là hai hàm của n chưa biết.  f1( n  1).u1( n)  f 2(n  1).u2(n )  0 q[f1(n 1). u1(n )  f 2 (n 1). u 2 (n )]  rn

Để tìm u1(n), u2(n) ta giải hệ sau: 

Tìm u1(n), u2(n) rồi tìm u1(n), u2(n)  nghiệm riêng y *n của phương trình không thuần nhất. Chú ý: Để tìm một nghiệm nào đó của phương trình sai phân cấp 2 thỏa mãn các điều kiện ban đầu đã cho, ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đó rồi thay các điều kiện ban đầu đã cho vào nghiệm tổng quát tìm được hệ phương trình đối với 2 hằng số C1, C2. Giải hệ tìm C1, C2, rồi thay các hằng số đó vào phương trình nghiệm tổng quát, suy ra nghiệm cần tìm. d/ Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân: yn+2 + 3yn+1 + 2yn = 0,

n  N (1)

Giải Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất (1) có phương trình đặc trưng là x2 + 3x + 2 = 0  x1  1, x1  2  Phương trình sai phân thuần nhất (1) đã cho có nghiệm tổng quát là yn = C1(–1)n + C2(– 2)n với n  N và C1, C2 là các hằng số thực tùy ý. Ví dụ 2: Giải phương trình sai phân: yn+2 – 4yn+1 + 4yn = 0,

n  N (2)

Giải Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất (2) có phương trình đặc trưng là x2 – 4x + 4 = 0  x1  x2  2  Phương trình sai phân thuần nhất (2) đã cho có nghiệm tổng quát là yn = (C1 + C2 n)2n với n  N và C1, C2 là các hằng số thực tùy ý.

9

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

Ví dụ 3: Giải phương trình sai phân: yn+2 – yn+1 + yn = 0, n  N (3) Giải Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất (3) có phương trình đặc trưng là

 1  3i    cos  isin  x1  2 3 3 x –x +1 = 0    1  3i    cos  i sin (với r =1,  = π/3).  x2   2 3 3  Phương trình sai phân thuần nhất (3) đã cho có nghiệm tổng quát là 2

yn  C1cos

n n  C2sin với n  N và C1, C2 là các hằng số thực tùy ý. 3 3

Ví dụ 4: Giải phương trình sai phân: yn+2 + 8yn+1 – 9yn = (11n + 35)2n, n  N (4) Giải Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng của (4) là : yn+2 + 8yn+1 – 9yn = 0 Phương trình này có phương trình đặc trưng là x2 + 8x – 9 = 0  x1  9, x1  1  Phương trình thuần nhất tương ứng của (4) có nghiệm tổng quát :

yn

= C1( – 9)n + C2 với n  N và C1, C2 là các hằng số thực tùy ý.

Ta có VP(4) = (11n + 35)2n có dạng r(n) = Pk (n).αn với Pk(n) = 11n + 35 là đa thức bậc k = 1 và αn = 2n với α = 2 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên phương trình (4) có nghiệm riêng có dạng:

y *n 

yn*1 = [a(n + 1) + b].2n + 1 = (2an + 2a +2b)2n;

y *n 2 Thay yn*2 ,

= (an + b)2n

= [a(n +2) + b].2n + 2 = (4an + 8a + 4b)2n .

y n*1, y *n vào phương trình (4) ta được :

( 4an + 8a + 4b + 16an + 16a + 16b – 9an – 9b )2n = (11n + 35)2n  11an + 24a +11b =11n + 35 10

Tóm tắt TUDTKT (Kỳ I.21-22)

GV. ĐẶNG NGỌC DỤC

nhất hai vế của phương trình này theo n, ta được : * 11a  11 a 1    yn = ( n + 1)2n.  a 24 11b  35 b  1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (4) đã cho: * yn = y n + yn = C1(– 9)n + C2 + ( n + 1)2n

với n  N và C1, C2 là các hằng số thực tùy ý. Ví dụ 5: Giải phương trình sai phân: yn+2  9yn+1 + 14yn = (4n + 5)3n, n  N (5) Giải Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng của (5) là: yn+2  9yn+1 + 14yn = 0 Phương trình này có phương trình đặc trưng là x2  9x + 14 = 0  x1  2, x2  7  Phương trình thuần nhất tương ứng của (5) có nghiệm tổng quát là

yn

= C12n + C27n với n  N và C1, C2 là các hằng số thực tùy ý.

Ta có VP(5) = (4n + 5)3n có dạng r(n) = Pk (n).αn với Pk(n) = 4n + 5 là đa thức bậc k = 1 và αn = 3n với α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên phương trình (5) có nghiệm riêng có dạng:

y *n = (an + b)3n

 yn* 1 = [a(n + 1) + b].3n + 1= (3an + 3a +3b)3n; n+2

yn*2 = [a(n +2) + b].3 Thay

= (9an + 18a + 9b)3n .

yn* 2 , y n*1, y *n vào phương trình (5) ta được :

( 9an + 18a + 9b – 27an – 27a – 27b +14an + 14b) 3n = (4n + 5)3n  – 4an –9a – 4b = 4n + 5. Đồng nhất hai vế của phương trình...