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Documento de la clase de estamateria, y de otras materias, sobre cibernetica...

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Tema

1

Sistemas Booleanos de control autom´atico 1.1.

Introducci´ on

El a´lgebra de Boole es una herramienta muy u ´ til para el dise˜ no de sistemas que presentan estados discretos que se pueden codificar mediante variables con dos posibles valores (uno y cero). En este cap´ıtulo se efect´ ua una revisi´ on del a´lgebra de Boole y su aplicaci´ on en sistemas de control. Primero se realizan dise˜ nos utilizando conjuntos Booleanos y luego para mejorar el desempe˜ no del sistema de control estos conjuntos se convierten en difusos.

1.2.

Caracter´ısticas del ´ algebra de Boole

En el a´lgebra de Boole las funciones son l´ ogicas binarias y las expresiones consisten de la reuni´ on de t´erminos de variables binarias que pueden tomar dos estados 1 o´ 0. Los operadores mediante los cuales se relacionan las variables son: Producto l´ ogico: (·) (o ausencia). Suma l´ ogica: (+). Negaci´ on o inversi´ on: (A).

1

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

1.2.1.

2

Propiedades

Debido a las caracter´ısticas de las variables binarias las propiedades del a´lgebra de Boole son: Regla de dualidad: Para cualquier funci´ on de Boole es valida la funci´ on que se obtiene al cambiar (·) por (+) tambi´en (+) por (·), 1 por 0 y 0 por 1. Propiedad Conmutativa: A · B = B · A dual A + B = B + A. Propiedad Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C dual A + (B + C) = (A + B) + C . Propiedad Distributiva: A·(B+C) = A·B+A·C dual A+B·C = (A+B)·(A+C). Postulados Para realizar operaciones algebraicas entre variables se tienen los siguientes postulados del a´lgebra de Boole: Postulado 1a) A = 1 si A 6= 0 2a) 0 · 0 = 0 3a) 1 · 1 = 1 4a) 1 · 0 = 0 5a) 0 = 1

DUAL 1b) A = 0 si A 6= 1 2b) 1 + 1 = 1 3b) 0 + 0 = 0 4b) 0 + 1 = 1 5b) 1 = 0

Teoremas Los anteriores postulados se pueden generalizar en teoremas de la siguiente forma:

1. 2. 3.

Teorema A+0= A A+1= 1 A+A= A

DUAL A·1= A A·0= 0 A·A= A

4. 5. 6. 7.

(A) = A A+A= 1 (A + B + C) = A · B · C A · (A + B) = A

(A) = A A·A= 0 (A · B · C) = A + B + C A + AB = A

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3

El teorema 6 se conoce como la Ley de DE MORGAN, y el teorema 7 se conoce como la Ley de absorci´ on. Con base en la regla de la dualidad, las propiedades y los postulados, se pueden demostrar los teoremas.

Demostraci´ on de teoremas La demostraci´ on de los teoremas se realiza utilizando los postulados de la siguiente forma: Teorema 1. Si A = 1, entonces 1 + 0 = 1 seg´ un postulado 4b. Si A = 0, entonces 0 + 0 = 0 seg´ un postulado 3b. Teorema 2. Si A = 0, entonces 0 + 1 = 1 seg´ un postulado 4b y propiedad conmutativa. Si A = 1, entonces 1 + 1 = 1 seg´ un postulado 2b. Teorema 3. Si A = 1, entonces 1 + 1 = 1 seg´ un postulado 2b. Si A = 0, entonces 0 + 0 = 0 seg´ un postulado 3b. Teorema 4. Si A = 1, entonces 1 = 0 = A seg´ un postulado 5b. Si A = 0, entonces 0 = 1 = A seg´ un postulado 5a. Teorema 5. Si A = 1, entonces 1 + 0 = 1 seg´ un postulado 4b. Si A = 0, entonces 0 + 1 = 1 seg´ un postulado 4b y propiedad conmutativa. Teorema 6. Considerando (A + B) = X y A B = X, Si (A + B) = A B se debe cumplir que:

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

4

(A + B)(A B) = 0 porque XX = 0 seg´ un el teorema 5 dual. (A + B)(A B) = (AA B + A BB) = 0B + A0 = 0 + 0 = 0 lo que demuestra el teorema. Teorema 7. A + AB = A(1 + B) = A 1 = A lo que demuestra el teorema. Los dem´ as teoremas se pueden demostrar por dualidad.

1.3.

Formas de representaci´ on

Los teoremas, postulados y propiedades as´ı como las expresiones del a´lgebra de Boole se pueden representar y demostrar de diferentes formas, como son, los diagramas de Venn, los diagramas de conmutadores o switches y las tablas de verdad [1].

1.4.

Funciones y compuertas l´ ogicas

La implementaci´ on de los circuitos digitales se hace fundamentalmente con compuertas l´ ogicas, que son circuitos basados en transistores trabajando en conmutaci´ on y que pueden realizar una serie de funciones como las planteadas en el a´lgebra de Boole, esto es, el producto l´ ogico, la suma l´ ogica, la inversi´ on y todas las dem´ as funciones que de all´ı se derivan [1]. La tabla 1.1 presenta las diferentes compuertas l´ ogicas. AB 00 01 10 11

OR 0 1 1 1

AND 0 0 0 1

NOR 1 0 0 0

NAND 1 1 1 0

XOR 0 1 1 0

XNOR 1 0 0 1

NOT A 1 1 0 0

Tabla 1.1: Tabla de verdad de las funciones l´ogicas

1.4.1.

Producto l´ ogico

Esta funci´ on es realizada por la compuerta AND (Y).

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A B

5

S = AB

Figura 1.1: Compuerta AND

1.4.2.

Suma l´ ogica

Esta funci´ on es realizada por la compuerta OR (O). A B

S=A+B

Figura 1.2: Compuerta OR.

1.4.3.

Inversi´ on

Esta funci´ on es realizada por el INVERSOR (NOT o NO). A

A

Figura 1.3: Inversor.

1.4.4.

NAND

Esta funci´ on es realizada por la compuerta NAND (NO AND, NO Y) que por ley de De Morgan es OR de entradas negadas. A B

S = AB

Figura 1.4: Compuerta NAND.

1.4.5.

NOR

Esta funci´ on es realizada por la compuerta NOR (NO OR, NO O) que por ley de De Morgan es AND de entradas negadas.

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A B

6

S = A+B

Figura 1.5: Compuerta NOR.

1.4.6.

OR exclusiva XOR

Esta funci´ on es realizada por la compuerta XOR que por a´lgebra de Boole y tabla de verdad es: XOR = A ⊕ B = AB + AB = (A + B)(A + B). A B

S=A⊕B

Figura 1.6: Compuerta XOR.

1.4.7.

XNOR

Esta funci´ on es realizada por la compuerta NO-XOR (XNOR) que por a´lgebra de Boole y tabla de verdad es: XOR = A ⊕ B = A ⊙ B = AB + AB = (A + B)(A + B). A B

S = A⊕B

Figura 1.7: Compuerta NO-XOR.

1.5.

Simplificaci´ on usando mapas de Karnaugh

La s´ıntesis de sistemas autom´ aticos busca obtener a partir de una expresi´ on Booleana una forma equivalente que contenga un n´ umero m´ınimo de t´erminos, y en la cual se tenga el m´ınimo n´ umero de literales presente. Para esto aplicando a´lgebra de Boole se puede establecer el caso donde se simplifica una variable de la forma: A+A= 1 Al multiplicarse por otra variable se tiene: B(A + A) = B

(1.1)

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BA + BA = B

7

(1.2)

De esta forma se puede apreciar el caso cuando se logra la simplificaci´ on de una variable. Para dos variables se tiene: C(B + B)(A + A) = C C(BA + BA + BA + B A) = C CBA + CBA + CBA + CB A = C Como es de apreciar para lograr la simplificaci´ on de dos variables se requiere el agrupamiento de 4 t´erminos. Para simplificar tres variables se tiene que: D(C + C)(B + B)(A + A) = D DCBA + DCBA + DCBA + DCB A DCBA + DCBA + DC BA + DC B A = D

(1.3)

De esta forma se puede apreciar que existe una relaci´ on entre n variables a simplificar y m t´erminos que se deben agrupar. La ecuaci´ on que relaciona estas variables es: m = 2n (1.4) Estas simplificaciones tambi´en se pueden representar de forma gr´afica utilizando para esto los mapas de Karnaugh lo cual permite identificar los t´erminos que se simplifican. El m´etodo consiste en dibujar el mapa a partir de la funci´ on Booleana, y luego leer desde el mapa agrupando convenientemente los t´ erminos presentes. Para esto se tienen las siguientes reglas: Deben agruparse tantos bloques como sea posible; ya que mientras mayor sea la agrupaci´on, menor ser´ a el n´ umero de literales. Debe formarse el menor n´ umero de agrupaciones de bloques; ya que a menor n´ umero de grupos, se tendr´ a menor n´ umero de t´erminos. Un bloque puede ser usado muchas veces, en distintas agrupaciones; pero a lo menos una vez. La t´ecnica consiste en formar primero los grupos con menor n´ umero de adyacencias. Por esta raz´ on, los primeros t´erminos que deben marcarse son aquellos que no tienen adyacencias.

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Ejemplo 1.1. Considerando la tabla de verdad 1.2, la respectiva ecuaci´ on para funci´ on Booleana f es: f = CBA + CBA + CBA + CBA C 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

A 0 1 0 1 0 1 0 1

f 0 0 0 1 0 1 1 1

Tabla 1.2: Tabla de verdad de tres variables. Aplicando directamente el a´lgebra de Boole se puede tener la siguiente simplificaci´ on: f = CBA + CBA + CB (A + A) f = CBA + CBA + CB Sin embargo utilizando el mapa de Karnaugh de la figura 1.8 se tiene que: f = BA + CA + CB

B f1 (C, B, A) : 0 C

✓✏

A

✎ ✓☞ ✏

0

1

0

0 ✍ 1 1 ✌1 ✒✑ ✑

Figura 1.8: Mapa de Karnaugh para f . Revisando detalladamente el mapa de Karnaugh se observa que para lograr la anterior simplificaci´ on se utiliza la propiedad: F =F +F

(1.5)

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

9

De esta forma la expresi´ on para f adicionando dos veces el t´ ermino CBA es: f = CBA + CBA + CBA + CBA + CBA + CBA f = (C + C)BA + (B + B)CA + (A + A)CB f = BA + CA + CB

1.6.

Condiciones superfluas

Algunas funciones Booleanas son especificadas para todas las combinaciones posibles de sus variables. Tambi´en es usual especificar que el valor de la funci´ on es 1 para ciertas combinaciones, 0 para otras y un valor cualquiera para el resto. Lo anterior da lugar a las funciones incompletamente especificadas. Los casos superfluos o casos no importa, se puede presentar cuando existe dependencia entre las variables; ´esta puede originar que nunca se produzcan ciertas combinaciones de valores de las variables de entrada [1]. Para las condiciones superfluas (no importa) pueden ser especificados con valor de 1 o´ 0 (valor cualquiera). Los casos no importa flexibiliza el dise˜ no de automatismos; ya que posibilita aumentar el tama˜ no de las agrupaciones, mediante la asignaci´ on de valor 1 a ciertas condiciones superfluas y 0 a otras, seg´ un convenga para aumentar los grupos. Es importante tener presente que no se deben formar agrupaciones que s´ olo contengan t´erminos superfluos [1]. En el mapa de Karnaugh estas condiciones superfluas suelen representarse con X que puede ser 1 o 0. Ejemplo 1.2. Considerando la tabla de verdad 1.3, el respectivo mapa de Karnaugh se presentan en la figura 1.9. C 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

A 0 1 0 1 0 1 0 1

f 0 0 1 1 0 0 X X

Tabla 1.3: Tabla de verdad de tres variables con casos X .

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

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B f1 (C, B, A) :

C

A

0

0

0

0

✬ ✩

1

1

✫ ✪

X

X

Figura 1.9: Mapa de Karnaugh para f con casos X . De esta forma, la respectiva ecuaci´ on para f es: f=B

1.7.

Dise˜ no de automatismos

Un sistema autom´ atico se puede implementar con sensores que presentan comportamiento de tipo Booleano (ON-OFF). Para esto se codifican los estados del sistema mediante variables de tipo Booleano y las acciones se establecen mediante las operaciones del ´algebra de Boole. Para la implementaci´ on de estos sistemas de control autom´ atico se emplean las siguientes operaciones matem´ aticas que implementan las funciones l´ ogicas: Suma l´ ogica (OR): A + B = m´ ax{A, B} Producto l´ ogico (AND): A · B = m´ın{A, B} Negaci´ on (NOT): A = 1 − A En la tabla 1.4 se puede apreciar la equivalencia de las funciones l´ ogicas y su forma de c´ alculo. AB 00 01 10 11

A+B 0 1 1 1

A·B 0 0 0 1

A 1 1 0 0

m´ ax{A, B} 0 1 1 1

m´ın{A, B} 0 0 0 1

1−A 1 1 0 0

Tabla 1.4: Equivalencia de las funciones l´ ogicas y su c´ a lculo en R.

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

11

Es importante tener presente que tanto el m´ aximo como el m´ınimo se pueden calcular mediante operadores algebraicos para x, y ∈ R como: m´ ax{x, y} = x + y − x · y

(1.6)

m´ın{x, y} = x · y

(1.7)

El dise˜ no de los sistemas de control se realiza codificando los posibles estados y acciones en tablas de verdad y luego mediante los mapas de Karnaugh se obtienen las ecuaciones simplificadas. Ejemplo 1.3. Se requiere dise˜ nar un sistema basado en automatismos que permita regular el llenado del tanque de la figura 1.10.

q i ( t) A h( t )

q o ( t) Figura 1.10: Sistema hidr´ a ulico. En t´erminos generales el modelo de este sistema corresponde a: CH

d∆P = qi − qo dt

Donde el flujo de salida es: ∆P RH Adiconalmente si se quiere expresar el modelo en t´ erminos de la altura h(t) se utiliza: qo =

∆P = ρ g h Donde ρ es la densidad y g la gravedad, tambi´en considerando que dada la disposici´ on de la llave que permite el flujo de entrada se considera que esta presenta un tiempo de retardo T0 , de esta forma el modelo corresponde a: CH ρ g

ρg dh h( t ) = qi (t − T0 ) − dt RH

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

12

Para obtener la funci´ on de transferencia del sistema se aplica transformada de Laplace teniendo:     ρg dh = L {q (t − T )} − L L CH ρ g h( t ) i 0 dt RH ρg H(s) CH ρ gH(s)s = Qi (s)e−T0 s − RH   ρg H(s) CH ρ gs + = Qi (s)e−T0 s RH e−T0 s H(s) = G(s) = Qi (s) CH ρ gs + Rρ Hg G(s) =

RH −T0 s e ρg

CH RH s + 1 La funci´ on de transferencia de forma general se puede representar como: G(s) =

Ke−T0 s τs + 1

(1.8)

Con el fin de implementar el sistema se toma K = 10, τ = 1 y T0 = 0,5 de tal forma que se tiene la siguiente funci´ on de transferencia: G(s) =

10e−0,5s s+1

Para este caso el funcionamiento del sensor (interruptor) A se puede representar mediante la funci´ on de la figura 1.11, de esta forma se tiene la tabla de verdad 1.5 asociada a la apertura y cierre de la v´ alvula Yi . A(h) 1.0 0.5 5

h

Figura 1.11: Conjunto Booleano asociado al comportamiento del sensor. A 0 1

Yi 1 0

Tabla 1.5: Forma de accionamiento de la v´ alvula Yi en funci´ on del sensor A.

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

13

De esta forma considerando la tabla 1.5 y aplicando ´algebra de Boole se tiene la ecuaci´ on para el accionamiento de la v´ alvula: Yi = A

(1.9)

Ejemplo 1.4. Para el dise˜ no del sistema de control de la figura 1.12, se debe considerar el flujo de entrada total como qi = Y1 q1 + Y2 q2 , donde (Y1 , Y2 ) son las respectivas funciones de activaci´ on. Para efectos pr´ acticos se toma como flujo m´ aximo (q1 = 2, q2 = 1).

q 2 ( t) q 1 ( t) A h( t )

M B q o ( t)

Figura 1.12: Sistema hidr´ a ulico con tres sensores. El sistema bajo consideraci´ on se puede presentar mediante la siguiente funci´ on de transferencia: 10e−0,5s G(s) = s+1 El sistema presenta tres sensores Booleanos los cuales se pueden describir mediante los conjuntos mostrados en la figura 1.13.

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

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B(h) 1.0 0 −1.0 0 1.0 −1.0 M(h) 1.0 0 −1.0 0 1.0 −1.0 A(h) 1.0 0 −1.0 0 −1.0

h[ m ] 2.0

3.0

4.0

5.0

2.0

3.0

4.0

5.0

2.0

3.0

4.0

5.0

h[ m ]

h[ m ] 1.0

Figura 1.13: Conjuntos booleanos en funci´ on de altura. Considerando los posibles casos para la acci´ on de la v´ alvulas se tiene la codificaci´ on mostrada en la tabla 1.6. A 0 0 0 1

M 0 0 1 1

B 0 1 1 1

Y1 1 0 1 0

Y2 1 1 0 0

Tabla 1.6: Codificaci´ on de estados y acciones. Considerando la tabla 1.6 se tiene el mapa de Karnaugh de la figura 1.14, obteniendo la ecuaci´ on: Y1 = B + AM

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

15

A Y1 (A, M, B) : ✓

1

B

✩ ✬

0

✏

X

X

X 1 0 X M ✒ ✪ ✑ ✫

Figura 1.14: Mapa de Karnaugh para Y1 . Por su parte para Y2 se tiene el mapa de Karnaugh de la figura 1.15. Teniendo la respectiva ecuaci´ on: Y2 = M A Y2 (A, M, B) :

M

B

✓

1

1

X

X

X

0

0

X

✒

✏

✑

Figura 1.15: Mapa de Karnaugh para Y2 .

1.8.

Sistemas de control basados en relaciones Booleanas

La principal desventaja que tienen el dise˜ no Booleano consisten en la transici´ on abrupta entre las diferentes acciones de control consideradas, por lo tanto, para lograr una transici´ on suave, los conjuntos Booleanos se suavizan volvi´endose difusos, adem´ as se utilizan los operadores sobre R que permiten realizar operaciones entre los conjuntos difusos [2]. Ejemplo 1.5. Para el sistema de llenado del tanque mostrado en la figura 1.12 se busca mejorar su desempe˜ no, por lo cual, se convierten los conjuntos Booleanos en difusos teniendo los resultados de la figura 1.16.

´ TEMA 1. SISTEMAS BOOLEANOS DE CONTROL AUTOM ATICO

1.0

16

B(h), µB (h)

0.5 h 1.0

M(h), µM (h)

0.5 h 1.0

A(h), µA (h)

0.5 h Figura 1.16: Conjuntos difusos asociados a los conjuntos Booleanos. Las ecuaciones obtenidas en el caso Booleano son: Y1 = B + AM Y2 = M Para realizar la implementaci´ on con conjuntos difusos se tiene: Y1 = m´ ax{(1 − µB ), m´ın{(1 − µA ), µM }} Y2 = 1 − µM...