Cifras Significativas-Redondeo-Propagacion Errores-2015 PDF

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U 1: Mediciones y Errores Cifras Significativas (CS) Cuando se miden ciertas cantidades, los valores medidos se conocen sólo dentro de los límites de la incertidumbre experimental. El valor de esta incertidumbre depende de varios factores, como la calidad del aparato, la habilidad del experimentador y el número de mediciones realizadas. El número de cifras significativas en una medición sirve para expresar algo acerca de la incertidumbre. Como ejemplo de CS, suponga que se le pide medir el área de un disco compacto usando una regla como instrumento de medición. Suponga que la apreciación de la regla ±0,1 cm. Debido a la incertidumbre de ±0,1 cm, si el radio mide 6.0 cm, sólo es posible afirmar que su radio se encuentra en algún lugar entre 5,9 y 6,1 cm. En este caso, el valor medido de 6,0 cm tiene dos CS y se informa como (6,0 ± 0,1) cm. Ahora encuentre el área del disco usando la ecuación para el área de un círculo. Si afirma que el área es A = π·r2 = π·(6,0 cm)2 = 113 cm2 , la respuesta sería injustificable porque contiene tres CS, que es mayor que el número de CS en el radio.

Regla de la multiplicación o división Una buena regla empírica para la determinación del número de CS que se pueden informar en una multiplicación o división es la siguiente: Cuando se multiplican muchas cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final es el mismo que el número de cifras significativas en la cantidad que tiene el número más pequeño de cifras significativas. La misma regla aplica para la división. Al aplicar esta regla al área del disco compacto se ve que la respuesta para el área sólo tiene dos CS, porque el radio observado sólo tiene dos CS. En consecuencia, todo lo que es posible informar es que el área es de 1,1 x 102 cm2.

Los ceros pueden o no ser CS Los ceros que se usan para la posición del punto decimal en números como 0,03 y 0,0075 no son significativos. Debido a eso, existen una y dos CS, respectivamente, en estos dos valores. Sin embargo, cuando los ceros vienen después de otros dígitos, existe la posibilidad de malas interpretaciones. Por ejemplo, suponga que la masa de un objeto está dada como 1500 g. Este valor es ambiguo porque no se sabe si los últimos dos ceros se usan para ubicar el punto decimal o si representan CS en la medición. Para eliminar dicha ambigüedad, es común usar notación científica para indicar el número de CS. En este caso, la masa se expresaría como 1,5 x 10 3 g si hubiese dos CS en el valor observado, 1,50 x 10 3 g si hubiese tres CS y 1,500 x 10 3 g si hubiese cuatro. La misma regla se sostiene para números menores que 1, de modo que 2,3 x 10 -4 tiene dos CS (y por lo tanto se podría escribir 0,00023) y 2,30 x 10-4 tiene tres CS (también se escribe 0,000230).

Regla de la suma o resta Para la suma y resta debe considerar el número de lugares decimales cuando determine la cantidad de CS que ha de informar: Cuando los números se sumen o resten, el número de lugares decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término en la suma. 16/03/16

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La regla anterior puede dar lugar a resultados que tengan una cantidad de CS distinta a la cantidad de CS de los términos que intervienen en la suma o resta. Por ejemplo: 123 Cantidad de CS:

3 CS 1,0001

Cantidad de CS:

Cantidad de CS:

+

=

0,0003

-

0,998

=

3 CS

6,66 3 CS

1,0004 5 CS

=

3 CS +

128 3 CS

1 CS

4 CS 6,66

5,35 3 CS

5 CS 1,002

Cantidad de CS:

+

0,004 1 CS

=

13,32 4 CS

Criterios de Redondeo Volviendo al ejemplo del área de un disco compacto cuyo radio medido es de (6,0 ± 0,1) cm, haciendo A = π·r2 = π·(6,0 cm)2, la calculadora dará un resultado de 113,097335529. Sin embargo sabemos que este resultado tiene solamente 2 CS por la aplicación de la regla de la multiplicación o división para CS. Entonces se conservarán 2 CS y se eliminará el resto. Los siguientes criterios de redondeo se aplican cuando se eliminan cifras en el resultado de una operación. Definiciones: •

Último Dígito Retenido (UDR): el último dígito a retener, contando de izquierda a derecha.

•

Último Dígito Eliminado (UDE): el último dígito a eliminar, contando de derecha a izquierda.

Ejemplo: considerando el número 9,87654321 y suponiendo que deben conservarse solamente tres (3) CS, el 7 es el UDR y el 6 es el UDE. Dependiendo del valor que tenga el UDE, el UDR será redondeado siguiendo los criterios que se muestran a continuación. Criterios de Redondeo: 1. Si UDE el UDR queda como está. 2. Si UDE⩾5 => al UDR se le suma uno (1).

Ejemplos Redondear los siguientes números, conservando solamente tres (3) CS. •

Criterio 1: 12,34 => 12,3.

•

Criterio 2: 12,36 => 12,4.

Error absoluto y relativo. Error absoluto El error absoluto de una cantidad medida es un número que tiene la misma unidad que la 16/03/16

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cantidad medida y depende de la medición. Puede ser igual a la apreciación del instrumento utilizado o a la desviación estándar σ . Por ejemplo, supongamos que se han medido las cantidades A y B: A ±Δ A = (100 ±1 ) m y B±Δ B= (10±1 ) m El error absoluto de A es Δ A=1 m y el de B es Δ B=1 m . El error absoluto de una cantidad siempre se expresa con una sola CS.

Error relativo El error relativo de una cantidad es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida. Error relativo de A =

ΔA . A

El error relativo es un número adimensional y puede ser expresado en forma porcentual: Error relativo de A %=

ΔA · 100 % . A

El error relativo da una idea de la precisión de la cantidad medida. Por ejemplo: porcentual son:

A±Δ A= (100 ±1 ) m y B±Δ B=( 10±1 ) m , sus errores relativos en forma 1 ΔA · 100 %= ·100 %=1 % A 100 10 ΔB ·100 %= · 100 %=10 % B 100

Se observa que si bien ambas cantidades tienen el mismo error absoluto, el error relativo de A es menor que el de B. Esto significa que la cantidad A fue medida con mayor precisión que la cantidad B.

Propagación de errores. Regla para la suma y resta Si la cantidad A se obtiene mediante la suma (o resta) de las cantidades B y C , cada una de las cuales tiene su propio error absoluto Δ B y Δ C respectivamente, el error absoluto de A será igual a la suma de los errores absolutos de B y C : Δ A= ( Δ B+Δ C ) [unidad] La forma correcta de escribir la cantidad A será:

A= ( ( B+C ) ± ( Δ B+Δ C ) ) [unidad] A= ( ( B−C )±( Δ B+Δ C ) ) [unidad] Por ejemplo: B=( 100 ±1 ) m y C=( 10±1 ) m Si A=B+C= ( (100 + 10 )±( 1+1 ) ) m , A= (110± 2 )m . 16/03/16

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Si A = B −C= ( ( 100−10 )± ( 1+1) ) m , A= ( 90±2 ) m .

Regla para la multiplicación y división Si la cantidad A se obtiene mediante la multiplicación (o división) de las cantidades B y C , cada una de las cuales tiene su propio error absoluto, Δ B y Δ C respectivamente, el error relativo de A será igual a la suma de los errores relativos de B y C: Δ A ΔB ΔC + = B A C También se puede expresar en forma de error relativo porcentual:

(

)

ΔA Δ B ΔC · 100 %= + · 100 % A B C Luego, tanto para la multiplicación como para la división, el error absoluto de A es: Δ A=

( ΔBB + ΔCC ) · A

La forma correcta de escribir la cantidad A será:

( ( (( ) (

) ) [unidad] Δ B ΔC B [unidad] + ± C C )) B

A= ( B·C )±

A=

Δ B ΔC + C B

Por ejemplo y teniendo en cuenta las reglas de CS y redondeo: B=( 32,6 ±0,1 ) m y C=( 12,4 ±0,1 ) m A=B·C =404 m

2

( ΔBB + ΔCC ) · A=4 m

Δ A=

A= ( 404 ±4 ) m

2

2

Referencias: •

Serway & Jewett, Física para Ciencias e Ingeniería, 7ma Edición, Volumen 1, Cengage Learning / Thomson International.

•

Alonso y Finn, Física, Fondo Educativo Sudamericano.

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