Cinemática - Elementos y fórmulas de fisica basica. PDF

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Elementos y fórmulas de fisica basica. ...

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Cinemática • • • • •

Introducción y objetivos. Variables cinemáticas: Posición, desplazamiento y distancia recorrida. Rapidez y velocidad y aceleración. Ecuaciones del movimiento. Movimiento circular. Caída libre. Movimiento en dos dimensiones. Tiro parabólico.

Introducción y Objetivos La cinemática y la dinámica forman parte de la mecánica, que es la rama de la física que analiza el movimiento de los cuerpos y su evolución temporal bajo la acción de las fuerzas. La cinemática estudia las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo originan y nos permite describir sus trayectorias. El objetivo principal de esta unidad es conocer las leyes del movimiento y poder representarlas matemáticamente. Los objetivos específicos de esta unidad son: • Conceptualizar el movimiento de un objeto (en 1, 2 y 3 dimensiones) a partir de los conceptos básicos de cinemática: Posición, trayectoria, desplazamiento, velocidad y aceleración. • Desarrollar del pensamiento crítico para analizar y evaluar modelos en cinemática para describir el movimiento (en 1, 2, 3 dimensiones) de un objeto en el mundo real.

Variables cinemáticas Posición, desplazamiento y distancia recorrida Para describir el movimiento es necesario definir el concepto de posición, para lo que necesitamos un sistema de referencia, o sea unos ejes coordenados en lo que se establece un origen a partir del cual se miden las posiciones. Para describir el movimiento en una dimensión será suficiente un solo eje, “x” en este caso. Si un objeto cambia su posición diremos que se ha desplazado. El desplazamiento Δ𝑥 se define como: Δ𝑥=

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑥⏞𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

⏞ − 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Por ejemplo, el desplazamiento del vehículo entre los instantes A y B medido desde el origen 𝑥 = 0 es: Δ𝑥= 50 𝑚 − 30 𝑚 = 20 𝑚 y el desplazamiento entre los instantes C y F es: 𝛥𝑥= −50 𝑚 − 40 𝑚 = −90 𝑚 Como podemos ver el desplazamiento puede ser negativo, esto se debe a que el desplazamiento es una cantidad vectorial, donde el sentido y la dirección de esta magnitud deben tenerse en cuenta. En el ejemplo que acabamos de ver, el desplazamiento es negativo (−90 m), pues el auto al moverse de C a F, lo hace en el sentido negativo del sistema de referencia escogido.

Podemos comprender mejor esta situación, si calculamos el supuesto desplazamiento del auto desde la posición E hasta la posición C ∆𝑥= 40 𝑚 − (−35) 𝑚 = 75 𝑚 Observe, que aunque se parte de una posición negativa, el desplazamiento es positivo, pues se realiza en el sentido positivo del sistema de referencia escogido. No se debe confundir el desplazamiento con la distancia recorrida. Por ejemplo, si el vehículo de la figura anterior viajara de D a C y posteriormente regresara a D su desplazamiento sería cero, en cambio la distancia recorrida sería de 80 m, que se calcula sumando los dos “tramos recorridos” de 40 m, uno de ida y otro de regreso. ¿Cuál es el desplazamiento entre E y F? En la Figura 1 podemos ver dos caminos diferentes para ir desde el INTEC hasta la estación Pedro Francisco Bonó. El desplazamiento es el mismo en las dos trayectorias, sin embargo la distancia recorrida es mayor en la trayectoria en color rojo que en la verde. También podemos ver como el desplazamiento, la línea azul, siempre es menor o igual que la distancia recorrida. La trayectoria en rojo tiene una longitud de 1,736 m y la verde de 1,107 m. El desplazamiento es de 933 m.

Fig. 1 Trayectoria y desplazamiento desde INTEC hasta la estación del Metro Pedro Bonó.

Rapidez y velocidad La rapidez se define como la distancia recorrida por un objeto dividida entre el tiempo que le tomó recorrerla. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 La unidad del sistema internacional para la rapidez es el metro por segundo (m/s). La rapidez no puede ser negativa, ya que la distancia recorrida siempre es positiva. Tanto la distancia recorrida como la rapidez son cantidades escalares, donde la dirección y el sentido no se tienen en cuenta. Podemos definir velocidad como el desplazamiento entre el tiempo: 𝑣=

𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙− 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Δ𝑥 = Δ𝑡 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙− 𝑡𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Como Δ𝑡 siempre es positivo, el signo de la velocidad dependerá del signo de Δ𝑥. Como estamos dividiendo un vector (Δ𝑥) entre un escalar (Δ𝑡), el resultado también será un vector (𝑣 ). Por lo que cuando estudiemos la velocidad de un determinado objeto, tenemos que tener en cuanta, además de su magnitud, su dirección y su sentido. Un desplazamiento negativo, conlleva a una velocidad negativa. ¿Cómo puede interpretarse físicamente que la velocidad de un objeto sea negativa? Al utilizar el desplazamiento entre dos instantes de tiempo en realidad estamos calculando la velocidad media. La velocidad media no considera los cambios instantáneos en la velocidad del objeto. Por ejemplo: Si recorriendo la trayectoria de color verde salimos de INTEC a las 10:00 am y llegamos a la estación Pedro Bonó a las 10:15 am ¿Cuál es la rapidez y velocidad media?

𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =

1,107 𝑚

𝑚 = 1.23 𝑚/𝑠 = 73.8 𝑚𝑖𝑛

15933 𝑚𝑖𝑛 𝑚 𝑚 = 1.04 𝑚/𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = = 62.2 𝑚𝑖𝑛 15 𝑚𝑖𝑛 Esto no significa que durante todo el trayecto la rapidez haya sido la misma, en algunos instantes puede haber sido menor y en otros mayor, de manera que la rapidez media es de 1.23 m/s. Si nos hubiera tomado los mismos 15 minutos llegar a la estación de metro por la trayectoria de color rojo la velocidad media sería la misma, ya que el desplazamiento es el mismo. En cambio, necesariamente habríamos ido más rápido, desarrollando una mayor rapidez, ya que la distancia recorrida es mayor.

Podemos representar los movimientos utilizando un gráfico posición-tiempo:

https://youtu.be/BQxRC3PZcO4

En el eje y graficamos la posición mientras que en el eje x graficamos el tiempo. En la figura el vehículo viaja desde el origen hasta el punto 3.5 m en 5 segundos. Por tanto su velocidad media será: 𝑣𝑚 =

Δ𝑥 3.5 = = 0.7 𝑚/𝑠 Δ𝑡 5

Notar que la velocidad media es en este caso la pendiente de la recta de la gráfica posición-tiempo: recordando que la pendiente de una recta se define como la variación en el eje vertical ∆𝒙 sobre la variación en el eje horizontal ∆𝒕. Esto lo discutiremos detalladamente más adelante. Para calcular la velocidad necesitamos calcular un desplazamiento en un intervalo de tiempo dado, como hemos visto en la definición de velocidad media, pero ¿cómo podemos calcular la velocidad en un instante determinado de tiempo, conocida como velocidad instantánea?

La velocidad instantánea podemos calcularla haciendo Δ𝑡 tan pequeño como queramos, pero sin llegar a ser cero, acercándonos al valor específico del tiempo en que queremos conocer la velocidad del objeto. Haciendo uso del cálculo diferencial podemos definir velocidad instantánea como: 𝑣= lim ∆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 Δ𝑡→0 ∆𝑡 La velocidad instantánea es por tanto el límite cuando ∆𝑡 tiende a cero de la velocidad media, es decir, la derivada de la posición respecto del tiempo. La derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva de la gráfica posición – tiempo. La diferencia entre la velocidad instantánea y la velocidad media se puede ver en la siguiente animación.

https://youtu.be/JbQ6IIPQPPc

Vemos como cuanto menor es ∆𝑡 más se parece la velocidad media a la velocidad instantánea.

La derivada representa el ritmo de cambio de una variable respecto a otra. La velocidad es el cambio de la posición respecto al tiempo.

Ejemplo: Para calcular la velocidad media en los diferentes intervalos de tiempo del movimiento de un objeto que se representa en la siguiente gráfica debemos usar la expresión: 𝑣=

• Entre 𝑡= 0 y 𝑡 = 2 𝑠: 𝑣=

• Entre 2s y 3s: 𝑣= • Entre 3s y 4s: 𝑣=

𝑥𝑓−𝑥𝑖

𝑡𝑓−𝑡𝑖 𝑥𝑓−𝑥𝑖 𝑡𝑓−𝑡𝑖

𝑥𝑓−𝑥𝑖

=

=

Δ𝑥

𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙− 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙− 𝑡𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Δ𝑡

𝑡𝑓−𝑡𝑖 4−4

3−2 2−4 4−3

=

4−0 = 2−0

2 𝑚 ⁄𝑠

= 0 𝑚 ⁄𝑠 , el móvil permanece en reposo.

= −2 𝑚 ⁄𝑠

• El desplazamiento total es de 2 m, por tanto su velocidad media de la trayectoria completa es 𝑣= 0.5 𝑚⁄𝑠

𝑥𝑓 −𝑥𝑖

𝑡𝑓−𝑡𝑖

=

2−0 = 4−0

Aceleración La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad respecto al tiempo. Igual que en el caso de la velocidad, podemos definir aceleración media y aceleración instantánea dependiendo del tamaño del ∆𝑡: 𝑎𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎=

∆𝑣 ∆𝑡

𝑑𝑣 ∆𝑣 = ∆𝑡 𝑑𝑡 Δ𝑡→0

𝑎𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎=lim

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, por tanto es la derivada segunda de la posición respecto al tiempo.

En el siguiente video podemos ver la relación entre las gráficas de la posición, velocidad y aceleración respecto al tiempo en un movimiento rectilíneo.

https://youtu.be/XCCGzV3n6aM

Ecuaciones del movimiento Cuando la velocidad es constante, la aceleración es igual a cero. A un movimiento en una dimensión con velocidad constante lo llamaremos movimiento rectilíneo uniforme o MRU. Si la velocidad cambia de manera uniforme, entonces aparece una aceleración que será constante, tendremos un movimiento rectilíneo uniformemente variado o MRUV. Movimiento rectilíneo uniforme: En un MRU la velocidad es constante, la posición en un instante t se puede calcular partiendo de la definición de 𝑥−𝑥 velocidad media: 𝑣= 𝑡−𝑡0 de donde podemos escribir: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣(𝑡 − 𝑡0 ) 0

donde 𝑥0 y 𝑡0 son la posición y el instante inicial respectivamente. Si consideramos a 𝑡0 = 0 y ordenamos la ecuación anterior: 𝑥= 𝑣𝑡 + 𝑥0 , vemos que coincide con la ecuación de una recta

Se puede ver que la velocidad es la pendiente de la posición respecto del tiempo, en el MRU al ser la velocidad constante la gráfica de la posición respecto del tiempo será una recta. Movimiento rectilíneo uniformemente variado: En un MRUV la velocidad cambia a un ritmo constante, es decir, la aceleración es constante y partiendo de la definición de aceleración media: 𝑎𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎=

∆𝑣

=

∆𝑡

𝑣𝑓−𝑣0

𝑡𝑓−𝑡0

, podemos ordenar la ecuación para obtener:

𝑣= 𝑣0 + 𝑎𝑡, que como se observa, también coincide con la ecuación de una recta de una función velocidad que depende del tiempo. De igual forma, constatamos de que la aceleración coincide con la pendiente de dicha recta.

Si trabajamos con un gráfico donde de represente la velocidad en función del tiempo, podemos obtener la relación entre el desplazamiento y el tiempo en un movimiento con velocidad variable y aceleración constante. 1 2 𝑥= 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 Utilice las dos últimas ecuaciones para deducir la relación entre la velocidad y la aceleración sin la dependencia del tiempo: 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑥 . Sugerencia, despeje el tiempo de la primera ecuación y sustitúyalo en la segunda.

Resumiendo, las ecuaciones fundamentales de la cinemática, considerando 𝑡0 = 0 , son: 𝑥= 𝑥0 + 𝑣𝑡

𝑣= 𝑣0 + 𝑎𝑡

𝑥= 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +

(MRU) (MRUV) 1

2

𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑥

𝑎𝑡 2

(MRUV) (MRUV)

Debemos poner atención al hecho de que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son vectores, por lo que no solo es importante su magnitud, sino que también su dirección y sentido nos proveen de información imprescindible para la descripción y estudio de los diferentes movimientos

Movimiento circular: Entendemos por movimiento circular aquel que describe una trayectoria circular, es decir, el radio es constante y el movimiento se caracteriza por la variación del ángulo en el tiempo. El ángulo se puede medir en grados o radianes. Un radián es el ángulo para el cual la longitud del arco es igual al radio. Podemos convertir grados en radianes o viceversa sabiendo que 360°= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 La relación entre las magnitudes lineales y angulares es el radio de giro r: 𝑠 =𝑟𝜃 donde s es la longitud del arco. Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo se obtiene: 𝑣 = 𝑟 𝑤, donde 𝑤=

𝑑𝜃

𝑑𝑡

se llama velocidad angular, pues mide el ritmo de

cambio del ángulo en el tiempo. Nótese que para una misma velocidad angular 𝑤, la velocidad lineal v será mayor cuanto mayor sea el radio de giro r. Derivando de nuevo con respecto al tiempo: 𝑎 = 𝑟 𝛼 donde 𝛼 =

𝑑𝑤 𝑑𝑡

se llama aceleración angular, pues mide el ritmo de

cambio de 𝑤 en el tiempo.

Las ecuaciones del movimiento son las mismas que en el caso del movimiento rectilíneo, sustituyendo las magnitudes lineales (posición, velocidad, aceleración) por las magnitudes angulares (ángulo, velocidad angular, aceleración angular) Magnitudes lineales posición x velocidad v aceleración a

Magnitudes angulares ángulo θ velocidad angular w aceleración angular α

El movimiento circular se puede clasificar como movimiento circular uniforme MCU o movimiento circular uniformemente variado MCUV. Por ejemplo, para el MCUV la ecuación 𝑥 =𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + podemos expresar el resto de las ecuaciones como:

1

2

𝑎𝑡 2 se transforma en 𝜃= 𝜃0 + 𝑤0 𝑡 +

1 𝛼𝑡 2, 2

y

• 𝑤= w0 + α𝑡 • 𝑤 2 = w0 2 + 2α∆θ Ejemplo: En un MCU de radio 2 m un móvil completa 2 revoluciones en un minuto. ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s y su velocidad lineal? Convirtiendo las revoluciones por minutos (rpm) a radianes por segundos (𝑟𝑎𝑑/𝑠), conociendo que una revolución corresponde a 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 y que 1 min tiene 60 s, podemos plantear: 2 𝑟𝑝𝑚

2𝜋 𝑟𝑎𝑑 1 𝑚𝑖𝑛 =0.21 𝑟𝑎𝑑/𝑠 1 𝑟𝑒𝑣 60 𝑠

𝑟𝑎𝑑 𝑣 = 𝑤 𝑟 = 0.21 𝑠 (2 𝑚) = 0.42 𝑚/𝑠

Caída libre:

La caída libre es un movimiento en el que la aceleración de caída de los objetos es la aceleración de la gravedad g. La aceleración de la gravedad (g) siempre apunta hacia el centro de la tierra. Si ignoramos la resistencia del aire y asumimos que g no varía cuando las distancias verticales son pequeñas podemos decir que la caída libre es un MRUV Todos los cuerpos caen con la misma aceleración independientemente de su masa: 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2 ≅ 10 𝑚/𝑠 2 Si en una caída libre tomamos el sentido positivo del eje y hacia arriba, entonces la aceleración de la gravedad siempre es negativa, las demás magnitudes serán positivas o negativas en dependencia del momento en que se encuentre el movimiento. Es de suma importancia que seamos muy cuidadosos con los signos en el momento de sustituir los valores numéricos Podemos escribir las ecuaciones cinemáticas para este movimiento específico, de la siguiente manera: • 𝑣= 𝑣0 + 𝑔𝑡

• 𝑦=𝑦0 + 𝑣0 𝑡 +

1

2

• 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑔∆𝑦

𝑔𝑡 2

Ejemplo: Si dejamos caer un anillo desde lo alto de la torre de Pisa, de 56 m de altura, ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad llegará? Tomar la aceleración de la gravedad como 10 m/s2

Para resolver el problema vamos a aplicar las ecuaciones del MRUV tomando como posición inicial (𝑦0 = 0), el punto más alto de la torre por lo que colocamos el sistema de referencia en ese punto, tal y como se muestra en la figura. Siendo consecuentes con este sistema, entonces la posición final debe ser 𝑦=−56𝑚. Para calcular el instante en el que llegara al suelo, utilizamos la ecuación del desplazamiento del MRUV y teniendo en cuenta que como se deja caer el anillo, 𝑣0 = 0 1

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 − 2 𝑔𝑡 2

−56= 0 + 0 − 𝑡 = 3.35 𝑠

1 (10)𝑡 2 2

Sustituyendo el valor de t en: 𝑣= 𝑣0 − 𝑔𝑡

𝑣= 0 − 10 𝑚/𝑠 2 (3.35 𝑠) = −33.5 𝑚/𝑠 ¿Cómo explica usted que la velocidad dio negativa?

Una persona situada en la parte superior de un edificio de 50 m como el de la figura lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. ¿Puede calcular

la altura máxima a la que llegará la pelota? ¿Con qué velocidad llegará la pelota al suelo? Compare los resultados que obtiene con los que se presentan en la figura.

SUGERENCIA: Escribir la ecuación del movimiento e ir evaluándola en las diferentes alturas que se presentan en la figura.

Movimiento en dos dimensiones. Tiro parabólico En el caso de un movimiento en dos dimensiones necesitaremos los ejes x y y para representar las trayectorias de los objetos, por lo que la posición de un objeto ahora será representada por el llamado vector de posición 𝑟(𝑥, 𝑦), que tiene coordenadas en ambos ejes. Como vemos en la figura, la posición del objeto tiene como coordenadas 𝑥=3, 𝑦=2, a diferencia del movimiento rectilíneo que hemos estudiado hasta ahora, que solo basta con una coordenada para describir la posición de un cuerpo. Debemos recordar que tanto el desplazamiento como la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales, y en dos dimensiones, el trabajo con vectores tiene peculiaridades que amerita repasar algunas operaciones.

En la figura podemos ver que los vectores 𝐴𝑥 y 𝐴𝑦 se pueden obtener de la proyección del vector 𝐴 en los ejes x y y respectivamente. 𝐴𝑥 y 𝐴𝑦 se llaman componentes del vector 𝐴 en los ejes x y y respectivamente. De igual manera, la suma de los vectores 𝐴𝑥 y 𝐴𝑦 da como resultado el vector 𝐴. Esta suma se debe hacer usando el teorema de Pitágoras, apoyándose en el triángulo rectángulo que se forma entre ellos, tal y como se observa en la figura. 𝐴=√𝐴𝑥 2 + 𝐴2𝑦

Podemos calcular las componentes de un vector utilizando las relaciones trigonométricas del triángulo rectángulo: 𝐴𝑥 → 𝐴𝑥 = 𝐴 cos 𝜃 𝐴 𝐴𝑦 sen 𝜃= → 𝐴𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴 cos 𝜃=

de estas dos expresiones podemos deducir que: 𝑡𝑎𝑛𝜃=

𝐴𝑦

𝐴𝑥

El tratamiento vectorial a las magnitudes que se involucran en el movimiento bidimensional, nos permite trabajar con un soporte matemático más sencillo.

Basándonos en el principio de independencia de los movimientos de Galileo, que plantea que el movimiento en dos dimensiones se puede estudiar como la suma de dos movimientos unidimensionales independientes, precisamente por la naturaleza vectorial del desplazamiento, la velocidad y la aceleración, que se pueden descomponer en los ejes x y y, podemos estudiar el movimiento curvilíneo de un proyectil como la superposición o suma de dos movimientos rectilíneos. Si ignoramos la fricción con el aire y la rotación de la tierra la trayectoria que describe un proyectil es una parábola. El tiro parabólico es la composición de dos movimientos: un MRU en el eje x y un MRUV en el eje y:

Se puede ver como la componente horizontal de la velocidad se conserva durante toda la trayectoria, pero no así la componente vertical, que va disminuyendo debido a la gravedad. En el punto más alto de la trayectoria la componente vertical de la velocidad es igual a cero y al descender vuelve a crecer a un ritmo constante: 9.8 𝒎⁄ 𝟐 𝒔

Aquí es muy importante que identifiquemos las componentes de la velocidad en cada eje, pues debemos conocer las magnitudes que intervienen en el movimiento de cada eje por separado, para simplificar el análisis. Haciendo uso del algebra vectorial elemental, que abordamos en páginas anteriores y apoyándonos en la figura, encontramos que: 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

𝑣0𝑦 𝑣𝑜

, por lo tanto,

𝒗𝟎𝒚= 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜽 También tenemos que cos 𝜃= 𝒗𝟎𝒙= 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝑣0𝑥 , 𝑣0

por lo que,

Tal y como comentamos anteriormente, la componente horizontal de la velocidad no cambia en todo el movimiento ya que la aceleración que actúa en todo el trayecto, es la aceleración de la gravedad (𝑔) y lo hace en la dirección vertical. Entonces las ecuaciones que nos ayudan a describir el movimiento de un proyectil se pueden resumir de la siguiente manera: Para el eje x, Para el eje y,

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 cos 𝜃 𝑡

𝑣= 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑔𝑡

1

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑡 + 2 𝑔𝑡 2

𝑣 2 = (𝑣0 𝑠𝑒𝑛 ...