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A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver1-2005

Università degli Studi di Cassino

Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in evoluzione dinamica

Antonio Maffucci

ver.1 – settembre 2005

2

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver1-2005

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver1-2005

1. Circuiti dinamici del primo ordine. ES. 1.2 Nel seguente circuito all'istante t = 0 si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione sul condensatore per ogni istante.

ES. 1.1 Considerato il seguente circuito, che fino all’istante t = 0 lavora in regime stazionario, calcolare la corrente nell'induttore per ogni istante.

R1

e(t )

R2

⎧10 V e( t ) = ⎨ ⎩− 10 V

L

R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω

+

R1

i L (t )

R

t0

E1

+

A +

t=0

v(t )

C

E1 = 8 V, E2 = 2 V R = 10 kΩ, C = 2 mF

L = 2 mH

Ra 1 = 0.2 A t < 0 . Ra + R1 R2 Per t > 0 , applicando le leggi di Kirchhoff si ha: di R1 i x + R1 i y = e, R1 i y = R2 iL + L L , i x = i y + i L , dt da cui, sostituendo in modo da lasciare come unica incognita la corrente Li (t ): i L (t ) = e (t )

di L 1 e + i = dt τ L 2L

dove τ ≡

Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto. Per tale ragione si ha: v(t ) = E2 = 2 V . Per t > 0 , applicando la LKT all'unica maglia e la caratteristica del condensatore si ottiene facilmente l'eq. differenziale di primo ordine nell'incognita v(t ) Ri + v = E1,

i=C

v(0 − ) = v(0 + ) è

pari

a

da cui

v( t) = 8 − 6 e

dove iLP (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Essendo tale regime stazionario, utilizzando quanto ottenuto per t < 0 è facile ottenere i LP ( t) = −0.2 A

−0.05 t

t

⇒

2= K + 8

⇒

K = − 6,

t >0.

R1 e (t )

+

R2

La costante K si ottiene imponendo la continuità della variabile di stato iL (t )

0.2 = K − 0.2

τ = RC .

ES. 1.3 Dato il seguente circuito, valutare la tensione v (t ) per t > 0 .

3

⇒

dove

Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo la continuità della variabile di stato v(t )

− ⋅ iL ( t) = Ke 12.5 10 t + i LP ( t) ,

3

dv v E1 + = τ dt τ

dove vP (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Poiché per t → ∞ si tende ad un regime stazionario, il condensatore si comporta come un circuito aperto ai capi del quale ci sarà vP (t ) = E1 = 8 V .

di L i L I cc + = . τ dt τ La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata λ = − 1 / τ = −12.5 ⋅10 3 s −1 , quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

⇒

v( t) = Ke− 0.05t + vP (t ) ,

R L , Req = R2 + 1 . Req 2

e quindi ricavare l’equazione differenziale nell’incognita Li (t )

i L (0 − ) = iL (0 + )

dv , dt

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a λ = − 1 / τ = − 0.05 s − 1, quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

Alternativamente si può dapprima valutare l’equivalente di Norton ai capi dell’induttore: e( t ) R , Req = R2 + 1 e I cc ( t ) = R1 + 2R2 2

iL ( t ) = −0.2 + 0.4 e−12.5⋅10

E2

−

Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito. Per tale ragione, posto Ra = R1 //R2 si ha:

da cui:

+

C

+ v −

e( t) = 50 V

t> 0 v( t = 0) = 10 V , C = 1 mF R1 = 20 Ω, R2 = 24 Ω.

⇒ K = 0.4, Risultato: v (t ) = 27.3 − 17.3e −91 .7t V .

t > 0.

3

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A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver1-2005

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ES. 1.5 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , istante in cui si apre l'interruttore A. Calcolare la corrente nell’induttore in ogni istante e tracciarne l’andamento qualitativo.

ES. 1.4 Il seguente circuito è a riposo fino a t = 0 , istante in cui si chiude l'interruttore A. Calcolare: a) la costante di tempo τ del circuito; b) la tensione ai capi del condensatore per t > 0 (tracciarne anche il grafico). t=0

R1

A e(t)

+

e (t ) = 10 cos(ωt )

R2

+ v (t )

C

E

R1

+

R2

ω = 100rad / s R3

−

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R3

iL

R1 = 20 Ω , R2 = 5 Ω R 3 = 10 Ω, C = 1 mF

E = 220V , L = 0.1 H , R1 = 1 kΩ , R2 = R3 = 500 Ω.

L

t =0

Risultato: i L(t ) = 88mA per t < 0; i L (t ) = 147 − 59e − 15000t mA per t > 0.

a) Per calcolare la costante di tempo basta valutare la resistenza dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore: 35 Req = (R1 // R3 ) + R2 = τ = Req C = 11.7 ms Ω ⇒ 3 b) Per t < 0 il circuito è a riposo, quindi vc (0 − ) = v c (0 + ) = 0. Per t > 0 , ricavando la tensione a vuoto dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore si ha:

e(t )R3 . R1 + R 3 Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito ottenuto sostituendo ai capi di C il generatore equivalente di Thévenin si ricava l’equazione differenziale nell’incognita v c :

ES. 1.6 Nel seguente circuito è assegnata la corrente nell’induttore all’istante t = 0 . Ricavare la tensione sull’induttore per t > 0 .

E

E = 220 V per t > 0, i L(0) = 0.4 A,

iL

R1 +

L

R2

vL

L = 0.1 H , R1 = 1 k Ω, R 2 = 200 Ω

V0( t) =

dv c v c V 0 + = . τ τ dt La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a λ = − 1 / τ = − 85.5 s − 1, quindi la soluzione generale si esprime nella forma: v c (t ) = A exp(−85.5 t) + v cp ( t) ,

Valutando l’equivalente di Norton ai capi dell’induttore: RR Req = 1 2 = 166 .67 Ω , ICC R1 + R2 E = 0.22 A , I cc = R1 si ricavare facilmente l’equazione differenziale nell’incognita iL (t )

dove vcp (t ) è la soluzione di regime sinusoidale, valutabile attraverso il metodo fasoriale. Posto:

di L iL I cc + = , dove τ dt τ

j Z& 2 = R2 − = 5 − 10 j , Z&3 = R3 = 10, ωC & : e applicando ripetutamente la regola del partitore di tensione si ha, posto Z& x = Z& 2 // Z 3 2.5 Z& x V2 Z& c − j 0.86 [V] 2 . 17 V V2 = E e ⇒ c = = 2 Z& x + Z&1 R2 + Z& c E =10,

Z&1 = R1 = 20,

+

vc (0 ) = 0 = A + 2.17 cos(−0.86) ⇒

⋅ i L(t ) = Ke −1.67 10

1

Quindi in definitiva si ottiene la tensione vc (t ) = − 1.41exp(−85.5t ) + 2.17 cos(100t −0.86) V il cui andamento è tracciato nella figura a lato.

L = 0.60 ms Req

3

t

+ i LP ( t ) ,

iLP (t ) = I CC = 0.22 A La costante K si ottiene imponendo la condizione iniziale:

0 -0.5

iL (0 + ) = 0.4

-1 -1.5

da cui i L (t ) = 0.18e

-2 -2.5 0

vL

dove i LP (t ) rappresenta il termine di regime stazionario:

0.5

A = -1 .41

L

− La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è λ = − 1 /τ = − 1.67 ⋅ 10 3 s 1, quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

1.5

da cui: vcp (t) = 2.17 cos(100t − 0 .86) V Dalla condizione iniziale si ha:

τ=

iL

R eq

0.05

0.1

0.15

[s]

−1.67⋅10 3t

⇒

0.4 = K − 0.22

⇒

K = 0.18 ,

+ 0.22 A per t > 0.

0.2

5

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A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

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v(0 + ) = R2 i L (0 + ) = R2 i L (0 − ) = v(0 − ) = 0

ES. 1.7 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , istante in cui si chiude l'interruttore A. Calcolare la tensione sul condensatore in ogni istante e tracciarne l’andamento.

da cui

+

R3

−

)

R 1 = R 3 = 1k Ω, R 2 = 500 Ω.

v (T + ) = R 2i L (T + ) = R2 iL (T − ) = v(T − ) 480(1-e−1) = He −1

ES. 1.8 La seguente rete dinamica è a riposo per t < 0 . a) Tracciare l’andamento della tensione ai capi di R 2 per t > 0 . b) Calcolare l’energia dissipata da R 2 nell’intervallo 0 < t < 5 ms .

j (t )

R1

R2

v(t ) -

0

T

t

K = −480 ,

⇒

250

⇒

200

H = 825

150

da cui v(t ) = 825e −1000t V , per t > T . L’andamento della soluzione è tracciato nel grafico a lato.

100 50 0

J

⇒

300

j (t )

+

0 = K + 480

0 T l'equazione differenziale sarà

t=0

+

R1

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0

1

2

3

Per calcolare l’energia dissipata da R2 nell’intervallo [0, t fin ] con t fin = 5 ms , basta integrare la potenza istantanea assorbita:

J = 40 A, T = 1 ms R1 = 30 Ω, R2 = 20 Ω L = 50 mH

4

[ms]

5

T 2 T fin fin v 2 (t ) v (t ) v 2 (t ) 480 2 (1 − e − 1000t ) 2 8252 e −2000t dt = ∫ dt + ∫ dt = ∫ dt + ∫ dt R2 20 20 T 0 T R2 0 R2 W R 2 (0,t fin ) = 25 .48 J t

t

t fin

W R 2 (0,t fin ) = ∫ 0

Per t < 0 il circuito è a riposo, quindi i L (t ) = 0 . Per 0 < t < T , applicando le leggi di Kirchhoff e scrivendo le caratteristiche dei bipoli si ha: di L v j = i1 + i L , iL = + v, , R2 dt da cui si ricava l’equazione differenziale nell’incognita v(t ) R 1i1 = L

R1 R2 dv R1 + R2 j , + v= dt L L

la cui omogenea associata fornisce un’equazione caratteristica avente radice pari a λ = −( R1 + R2 ) / L = −1000 s − 1 . Pertanto si ha:

ES. 1.9 La seguente rete rappresenta un semplice circuito di carica e scarica di un condensatore. La carica avviene tra l'istante t = 0 e l'istante t = T , intervallo in cui l'interruttore A resta chiuso. Per t > T , invece, il condensatore C viene collegato al resto della rete attraverso la chiusura dell'interruttore B. Supponendo la rete a riposo per t < 0 , valutare: a) la tensione sul condensatore v(t ) per 0 < t < T ; b) l'energia massima W max erogabile da C per t > T ;

dove vP (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Per t → ∞ si tende ad un regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito: v P (t ) = J

R1

A

v( t) = Ke−1000 t + vP ( t ) ,

t = 0, T e(t ) +

v (t ) −

R 1R 2 = 480 V. R1 + R2

e (t ) = 100sin (20t ) V R1 = 10 Ω

B

+

A

t=T

C

chiuso

R2

0

Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale (si osservi che la tensione v, pur non essendo una variabile di stato, è continua in quanto proporzionale ad una

Risultato:

C = 10 mF T=2 s

aperto

aperto

T

t

a) v(t ) = 40e −10 t + 44.7 sin(20 t −1.11) V per 0 < t < T ; b) Wmax = 8.64 J ;

variabile di stato): 7

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A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ES. 2.2 Con riferimento al seguente circuito, in regime stazionario per t < 0 , calcolare la tensione vC (t ) e la potenza p C (t ) assorbita dal condensatore in ogni istante

2. Circuiti dinamici del secondo ordine. Es. 2.1 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , quando il generatore si spegne. Calcolare: a) il valore delle grandezze di stato all'istante t = 0 + b) la corrente i L (t ) per t > 0 R j( t )

R

i L (t )

C L

⎧20 A j( t) = ⎨ ⎩0 A R= 2 Ω L = 10 μH

R

vC (t )

t 0

C L

-

⎧20 V e( t) = ⎨ ⎩ − 20 V

t 0

R =1 Ω L = 5 μH C = 5 μF

a) Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione: i L (t ) = e (t ) / 2R = 10 A , vC (t ) = e (t ) / 2 = 10 V

i L ( t) = j( t) / 2 =10 A , vC ( t) = j( t) R / 2 = 20 V

t < 0.

t < 0.

Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 − ) = v c (0 + ) = 10 V e i L (0 − ) = iL (0 + ) = 10 A . Osserviamo che, essendo ic (t ) = 0 , si ha banalmente p c (t ) = vc (t )ic (t ) = 0 . b) Per t > 0 il circuito è forzato dal generatore e(t), a partire dalle condizioni iniziali individuate al punto a). Risolvendo il circuito resistivo associato mostrato in figura:

Per la continuità delle variabili di stato si ha: v c (0 − ) = vc (0 + ) = 20 V e iL (0 − ) = iL (0 + ) = 10 A . b) Per t > 0 il circuito è in evoluzione libera. Applicando le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche dei bipoli si ricavano le equazioni di stato del sistema: di dv v iL + C c + c = 0 , vC − RiL − L L = 0 . dt R dt Alle stesse equazioni si perviene risolvendo il circuito resistivo associato: R j( t )

+

e (t )

a) Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:

+ _

R

+

C = 5 μF

vC

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iC =

e − vC −iL , R

v L = v C − Ri L

R

+

si ottengono le equazioni di stato: e (t )

dvC e v i = − C − L, dt RC RC C

+

di L v C Ri L = − . dt L L

vC + -

iC R + vL iL

-

Ricavando i L dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale: R

d 2vc

iL

dt 2

2 1 de R ⎞ dv e ⎛ 1 . vc = +⎜ + ⎟ c+ + RC dt LC ⎝ RC L ⎠ dt LC

L'equazione caratteristica dell'omogenea associata fornisce: λ 1, 2 = α ± jβ = 2⋅ 10 5 (− 1± j ), Ricavando v C dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:

quindi la soluzione si può esprimere nella forma: v C( t) = e αt[ k1 cos( βt) + k 2 sin( βt)] +v CP ( t) ,

2

d i L ⎛ 1 R ⎞ di L 2 + +⎜ + ⎟ iL = 0 , dt 2 ⎝ RC L ⎠ dt LC

dove vCP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui il circuito tende per t → ∞ (regime stazionario):

la cui equazione caratteristica ammette le radici λ 1,2 = α ± jβ = 10 5 (− 1.5 ± 1.3 j ). La soluzione

v CP (t ) = e(t ) / 2 = −10 V .

si può esprimere, quindi, nella forma: iL ( t )= exp(α t)[ k1 cos(β t) + k2 sin(β t)], dove le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su iL e su diL / dt : iL (0+ ) = 10 = k1

di L dt

0+

=

[

]

1 v (0+ ) − Ri L (0+ ) = 0 = α k 1+ βk 2 L C

⇒ k 2= −

Le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su v C e su dvC / dt : vC (0 + ) = 10 = k 1 −10

α k1 = 11.5 β

La soluzione è, quindi: iL (t ) = exp(−1.5 ⋅10 5 t)[10 cos(1.3 ⋅10 5 t) +11.5 sin(1.3 ⋅10 5 t)]

dvc dt

t >0 .

0

+

⇒

k 1 = 20;

v (0 + ) − e (0+ )⎤ 1⎡ 6 = − ⎢i L (0 + ) + C ⎥ = −8 ⋅10 = αk 1 + βk 2 ⇒ k 2 = 20. C ⎣⎢ R ⎦⎥

La tensione sul condensatore per t > 0 è, quindi: 9

10

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v C

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A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ES. 2.5 Il seguente circuito è in regime sinusoidale fino t = 0 , istante in cui il generatore si spegne. Calcolare la corrente iL (t ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.

5

( t) = 20 e −2⋅10 t[cos(2 ⋅10 5 t) −sin(2 ⋅10 5 t)] −10 =28.3 e −2 ⋅10 t[cos(2 10 ⋅ 5 t +0.79)] −10 V .

La potenza assorbita per t > 0 si può valutare in due modi: possiamo calcolare preliminarmente la corrente che circola nel condensatore: 5 dv (t ) = −40e − 2⋅10 t sin(2 ⋅10 5 t +1.57) A , da cui: i C (t ) = C C dt 5

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R

5

⎧10 cos(100 t) A j( t) = ⎨ ⎩0 A

R

R = 0.5 Ω L = 10 mH

iL (t )

j( t )

pC ( t) = vC ( t) iC ( t) = −565 e −4⋅10 t[sin( 4 ⋅10 5 t + 2.36) +0.71] +400 e−2 ⋅10 t sin(2 10 ⋅ 5 t +1.57) W

L

C

C = 50 mF

Allo stesso risultato si perviene ricordando l’espressione dell’energia di un condensatore: p C (t ) =

5 d C dv C2 ( t) = 2.5 ⋅10 − 6 [28.3 e − 2⋅10 t cos(2 ⋅10 5 t +0.79) −10] 2 . 2 dt dt

Per t < 0 il circuito è in regime sinusoidale, quindi si può ricorrere al metodo fasoriale, ponendo: J = 10, Z& 1 = Z& C + Z& R = 0.5 − 0.2 j, Z& 2 = Z& L + Z& R = 0.5 + j.

ES. 2.3 Nella seguente rete sono assegnati i valori delle grandezze di stato all’istante t = 0 . Calcolare la tensione sul condensatore per t > 0 .

e (t )

+

C

v( t) −

Per il partitore di corrente, nell'induttore si ha: IL = J

Z&1 = 2.07 − 3.66 j = 4.21exp(−1.06 j ) Z& 1 + Z& 2

⇒

i L (t ) = 4.21cos(100t −1.06) A.

Applicando la LKC si ricava: I C = J − I L = 7.93 + 3.66 j , da cui la tensione:

v( 0) = 1 V, i(0) = 0 A E =1 V per t > 0

+

L

R

t 0

VC = Z& C I C = 1.74 exp(−1.14 j)

R = 1Ω , L = 1μ H, C = 1μF

⇒

vC (t ) = 1.74 cos(100 t − 1.14) V.

Per la continuità delle variabili di stato: vc (0 − ) = v c (0 + ) = 0.73 V , i L (0 − ) = iL (0 + ) = 2.07 A . Per t > 0 il circuito è in evoluzione libera. Applicando la LKT all'unica maglia si ottiene:

Risultato:

vC + 2 RiL + L

5

vC ( t) = e −5⋅10 t[cos(8.7 ⋅10 5 t) + 0.57 sin(8.7 ⋅10 5 t)] V per t >0.

diL =0. dt

Derivando tale equazione e sostituendovi la caratteristica di C si ottiene l'equazione differenziale d 2i L dt 2

ES. 2.4 Il seguente circuito rappresenta un semplice sistema trasmettitore-canale-ricevitore. Calcolare la tensione sul ricevitore ( R U ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.

+

RS

L

RU C

e S (t )

v( t)

E = 6 V , T = 1 ns R S = RU = 50 ...