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I CIRCUITI MAGNETICI Domenico Patella

I circuiti magnetici

Universitas Mercatorum

Indice 1. RILUTTANZA ................................................................................ 3 2. RILUTTANZE IN SERIE.............................................................. 7 3. LEGGI DI KIRCHHOFF PER I CIRCUITI MAGNETICI ...... 9 BIBLIOGRAFIA ................................................................................. 15

Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L . 22.04.1941/n. 633)

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1. RILUTTANZA In generale, il problema della determinazione del campo magnetico, date le sorgenti e i materiali presenti, è di notevole complessità e richiede argomentazioni e tecniche di calcolo avanzate, che si basano sul seguente set di leggi e principi, che abbiamo già ampiamente trattato nelle lezioni precedenti. In sintesi, nel caso stazionario, le leggi sono ∮ 𝐻𝑠 𝑑𝑠 = 𝑖

(68.1)

∮ 𝐵𝑛 𝑑𝑆 = 0

(68.2)

𝐵 = 𝜇𝐻

(68.3)

alle quali vanno aggiunte le condizioni al contorno su ogni discontinuità, espresse dalle equazioni 𝐵𝑝𝑛 = 𝐵𝑞𝑛

(68.4)

𝐻𝑝𝑡 = 𝐻𝑞𝑡

(68.5)

dove gli indici p e q rappresentano due generici materiali diversi a contatto. C’è da dire che vi sono, però, alcuni problemi di notevole importanza pratica, riguardanti i cosiddetti circuiti magnetici, per i quali la soluzione, sia pure in forma approssimata, si presenta particolarmente semplice. La denominazione di circuito magnetico ha la sua origine in talune analogie che sussistono fra i problemi che stiamo trattando e quelli riguardanti i circuiti elettrici percorsi da correnti stazionarie. Alla base di questa analogia sta il fatto che la densità di corrente elettrica e l’induzione magnetica sono entrambe solenoidali e quindi i rispettivi tubi di flusso si richiudono su se stessi. Confrontando le equazioni Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L . 22.04.1941/n. 633)

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𝐽 = 𝜎𝐸 che rappresenta, come sappiamo, la legge di Ohm in forma locale, e 𝐵 = 𝜇𝐻 si può mettere in risalto l’analogia fra la permeabilità magnetica  e la conduttività . Infatti, riferendoci ad un circuito elettrico filiforme a sezione costante, possiamo scrivere per esso la legge di Ohm nella forma seguente 𝐸 = ∮ 𝐸𝑠 𝑑𝑠 = 𝑅𝑖 dove R indica la resistenza del circuito ed è espressa da R=l/  A, con I ed A che rappresentano rispettivamente la lunghezza e la sezione trasversale del conduttore che costituisce il circuito. Cosi come un circuito elettrico è costituito da un conduttore chiuso su se stesso nel cui interno hanno sede le linee di flusso del vettore densità di corrente, un circuito magnetico è costituito da un materiale ad alta permeabilità, sagomato in modo da costituire un percorso chiuso, come è indicato in fig.68.1.

Fig.68.1 – Circuito magnetico semplice Su tale circuito magnetico è avvolto un avvolgimento di N spire percorse da una corrente stazionaria i.

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Facciamo le seguenti ipotesi: 1) Le linee di flusso di B sono confinate all’interno del circuito magnetico e risultano parallele all’asse del circuito magnetico stesso Ciò risulta verificato con approssimazione tanto maggiore, quanto più grande risulta il rapporto /o e quanto più piccole sono le dimensioni trasversali rispetto alla lunghezza media del circuito. 2) La permeabilità  del materiale considerato si ritiene costante. La costanza di 

è in generale verificata con minore

approssimazione di quanto non accada per la costanza di  (a una data temperatura) nel caso dei conduttori elettrici. Indicheremo, pertanto, con il valor medio della permeabilità. 3) I valori di H e di B in una sezione trasversale generica del circuito magnetico saranno sostituiti dai valori medi che tali vettori hanno nella sezione stessa. Ciò comporta, in alcuni casi pratici, una scelta conveniente della lunghezza media l, almeno quando non risulti sufficientemente piccolo il rapporto fra le dimensioni trasversali e la lunghezza del circuito magnetico. Con queste ipotesi possiamo scrivere un complesso di equazioni perfettamente analoghe a quelle dei corrispondenti circuiti elettrici. La fmm agente lungo la linea I risulta, facendo uso del teorema della circuitazione, ∮ 𝐻𝑠 𝑑𝑠 = 𝐻𝑙 = 𝑁𝑖

(68.6)

dove H rappresenta il valor medio lungo il percorso. Si ha dunque per il flusso magnetico Φ = 𝐵𝐴 = 𝜇𝐻𝐴 =

𝑁𝑖𝜇𝐴

(68.7)

𝑙

ovvero Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L . 22.04.1941/n. 633)

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Φ=

𝑁𝑖

𝑙/𝜇𝐴

=

fmm ℛ

(68.8)

ove Ni rappresenta la fmm agente lungo il circuito magnetico e  prende il nome di riluttanza del circuito magnetico stesso. La 68.8 è nota come Legge di Hopkinson. Scrivendo la legge di Ohm per il corrispondente circuito elettrico, che abbiamo già considerato, nella forma 𝑖=

fem

(68.9)

𝑅

osserviamo che  corrisponde alla resistenza elettrica. L’unità di misura della riluttanza nel SI è l’henry-1 (H-1). Il reciproco della riluttanza è detto permeanza, la cui unità di misura nel SI è l’henry (H).

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2. RILUTTANZE IN SERIE Dall’analogia esistente fra le equazioni di un circuito elettrico e quelle di un circuito magnetico, risulta che le regole di composizione in serie e in parallelo valide per le resistenze possono senz‘altro estendersi anche alle riluttanze. In particolare, per meglio illustrare questo punto consideriamo il caso indicato in fig.68.2, ove è rappresentato un circuito magnetico con un traferro di spessore d.

Fig.68.2 – Circuito magnetico con traferro Indicando con H il valore del campo magnetico all’interno del ferro e con Ho il valore del campo magnetico nel traferro, possiamo scrivere il teorema della circuitazione per la linea chiusa di lunghezza (l + d) fmm = ∮ 𝐻𝑠 𝑑𝑠 = 𝐻𝑙 + 𝐻𝑜 𝑑 = 𝑁𝑖

(68.10)

Se facciamo l’ipotesi che la sezione del circuito magnetico sia la stessa A sia nel tratto in aria che nel tratto in ferro (ossia se trascuriamo gli effetti di sfrangiamento prodotti dal traferro sulle

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linee di flusso, ciò che si verifica con buona approssimazione soltanto se 𝑑 2 ≪ 𝐴, possiamo porre Φ = 𝐵𝐴

(68.11)

Dall’equazione 68.10 risulta, tenendo presente che B= H e che B si mantiene continuo nel passaggio dal ferro al traferro, 𝑙

𝐵 (𝜇 +

𝑑

𝜇𝑜

) = 𝑁𝑖

(68.12)

Si ha inoltre 𝑁𝑖

Φ = 𝐵𝐴 = (𝑙/𝜇𝐴)+(𝑑/𝜇

𝑜 𝐴)

=

fmm ℜ+ℜ𝑜

(68.13)

dove  e o rappresentano le riluttanze dei due tratti di circuito magnetico rispettivamente in ferro e in aria. Risulta, quindi, che le riluttanze in serie si sommano esattamente con la stessa regola delle resistenze in serie. La fmm corrispondente al tratto di circuito magnetico in aria vale dunque 𝑁𝑖 𝑜 /𝑑𝜇

ℜ𝑜 Φ = 1+𝑙𝜇

(68.14)

e se il rapporto l/d è ad esempio 100 e la permeabilità magnetica relativa del ferro 2.000, essa rappresenta i 20/21 della fmm totale agente sul circuito magnetico, ossia circa il 95% della fmm si ritrova come caduta sul traferro.

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3. LEGGI DI KIRCHHOFF PER I CIRCUITI MAGNETICI Onde continuare a mostrare le analogie che esistono tra i circuiti magnetici e quelli elettrici, diamo ora le leggi di Kirchhoff per i tubi di flusso magnetico. Con riferimento alla fig.68.1 o anche alla 68.2, nell’ipotesi che il flusso magnetico sia tutto contenuto all’interno del materiale ad elevata permeabilità, nel senso che non via sia, o sia comunque trascurabile, la dispersione di flusso attraverso le pareti laterali, si può ritenere l’intero circuito, qualunque sia la sua sagoma, come un tubo di flusso. Consideriamo ora, come nella fig.68.3, un nodo di convergenza di quattro rami di flusso.

Fig.68.3 – Nodo di convergenza di tubi di flusso

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In particolare, il flusso 3 è entrante, mentre i flussi 1, 2 e 4 sono uscenti. Legge di Kirchhoff per i flussi magnetici La prima legge di Kirchhoff dei circuiti magnetici asserisce che la somma algebrica dei flussi dei rami che attraversano una superficie chiusa è nulla. In particolare, in modo del tutto equivalente, si ha che la somma algebrica dei flussi dei rami afferenti ad un nodo è nulla. Per provare l’asserto, si prenda in considerazione una superficie chiusa S, ad esempio sferica come in fig.68.3, caratterizzata dal versore n della sua normale, che diventa n1, n2, n3 e n4 in corrispondenza delle porzioni di superficie S1, S2, S3 e S4, rispettivamente, di intersezione dei tubi di flusso con S. Si dimostra, quindi, che questa legge è diretta conseguenza del fatto che B è solenoidale. Infatti, ∮ 𝐁 ∙ 𝐧𝑑𝑆 = ∑𝑘 ± ∮𝑆 𝐁 ∙ 𝐧𝒌 𝑑𝑆 = ∑𝑘 ±Φ𝑘 = 0 𝑘

(68.15) che, per il caso particolare di fig.68.3, si esplicita come segue Φ1 + Φ2 − Φ3 + Φ4 = 0 (68.16) Consideriamo ora, come nella fig.68.4, una maglia formata da quattro rami di flusso, di lunghezza  e, attraversati, rispettivamente dai flussi magnetici 1, 2, 3 e 4.

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Fig.68.4 – Maglia di un circuito magnetico I rami 2, 3 e 4 sono caratterizzati dall’avere ciascuno un solenoide avvolto, costituito, rispettivamente, da N2, N3 e N4 spire attraversate dalle correnti i2, i3 e i4. Legge di Kirchhoff per le tensioni magnetiche La seconda legge di Kirchhoff dei circuiti magnetici asserisce che la somma algebrica delle tensioni magnetiche dei rami di una maglia è uguale alla forza magnetomotrice concatenata con la maglia stessa. Si dimostra che questa legge è diretta conseguenza della legge di Ampère. Infatti, ∮ 𝐇 ∙ 𝐭𝑑𝑙 = ∑𝑘 ∮ 𝐇 ∙ 𝐭𝒌 𝑑𝑙 = ∑ 𝑘 ±𝑘 = ∑𝑘 ± ℜ𝑘 Φ𝑘 = 𝑖𝑐 𝑘

(68.17)

dove ic è la corrente concatenata con la maglia. Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L . 22.04.1941/n. 633)

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Se la forza magnetomotrice è prodotta da un insieme di avvolgimenti concatenati con la maglia, come nel caso di fig.68.4, la 68.17 va modificata come segue ∑ 𝑘 ±𝑘 = ∑𝑘 ± ℜ𝑘 Φ𝑘 = ∑𝑘 ± 𝑁𝑘 i𝑘

(68.18)

che, per il caso particolare di fig.68.3, si esplicita come segue −Ψ1 + Ψ2 + Ψ3 − Ψ4 = −𝑁2 𝑖2 + 𝑁3 𝑖3 + 𝑁4 𝑖4

(68.19)

Per quanto riguarda i versi di riferimento delle fmm, la convenzione è la seguente. Alle fmm degli avvolgimenti si associano versi di riferimento orientati relativamente ai versi delle correnti secondo la regola del cavatappi (v. fig.68.5).

Fig.68.5

–

Determinazione

del

verso

delle

fmm

degli

avvolgimenti A secondo membro dell’equazione di una maglia, alla fmm di un avvolgimento si attribuisce segno  se il suo verso di riferimento è concorde con il verso della maglia, segno  se è discorde.

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Fig.68.6 – Esempio di applicazione delle leggi di Kirchhoff ai circuiti magnetici In fig.68.6 è riportato un esempio di applicazione delle leggi di Kirchhoff a un circuito magnetico a due maglie e due nodi, A e B, di cui uno ridondante. S rappresenta la sezione costante dei tubi di flusso del circuito. Tab.68.1 - Analogie tra circuiti elettrici e circuiti magnetici

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Di particolare interesse è la rappresentazione equivalente con la simbologia tipica dei circuiti elettrici, riportata in alto a destra in fig.68.6, onde metter ancor meglio in evidenza la forte analogia che esiste fra le due tipologie di circuito. Analogie, che, in termini simbolici, sono listate nella tabella 68.1.

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BIBLIOGRAFIA 

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Mastri,

F.,

2010:

Circuiti

magnetici,

http://www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/

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Griffiths, D.J., 1998: Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X

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Jackson, J.D., 1962: Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, Inc.

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Spaldin, N.A., 2010: Magnetic materials: fundamentals and applications, Cambridge, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88669-7

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