Appunti - Lezione 13 Esercizi circuiti con generatori sinusoidali - Elettrotecnica - a.a.2017/2018 PDF

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CAP 13...

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Lezione 13 – Esercizi: circuiti dinamici con generatori sinusoidali

Lezione n.13

Esercizi: circuiti dinamici con generatori sinusoidali

1.

2.

Esercizi con circuiti del I ordine in transitorio con generatori sinusoidali 1.1 Circuiti RC 1.1.1 RC serie con generatore di tensione 1.1.2 RC parallelo con generatore di corrente 1.2 Circuiti RL 1.2.1 RL parallelo con generatore di corrente 1.2.2 RL serie con generatore di corrente 1.2.3 RL con due resistenze Esercizi con circuiti del II ordine in transitorio con generatori sinusoidali 2.1 Circuiti RLC con una resistenza e un generatore 2.1.1 RLC serie con generatore di tensione 2.1.2 RLC parallelo con generatore di corrente 2.2 Circuito RLC con tre resistenze e due generatori 2.3 Circuito RCC con due resistenze e un generatore 2.4 Circuito RLL con due resistenze e un generatore

Tag: circuito RC serie e parallelo, circuito RL serie e parallelo, circuito RLC serie e parallelo, soluzione particolare sinusoidale, regime sinusoidale, transitorio, circuiti con interruttori, costante di tempo, frequenze naturali, grafico della soluzione di un circuito, variabili di stato

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Lezione 13 – Esercizi: circuiti dinamici con generatori sinusoidali

1. Esercizi con circuiti del I ordine in transitorio con generatori sinusoidali Cominciamo con i circuiti del I ordine. Utilizzando generatori di tipo sinusoidale avremo a che fare con il calcolo di soluzioni utilizzando il metodo dei fasori. 1.1 Circuiti RC 1.1.1 RC serie con generatore di tensione Consideriamo il circuito RC serie di Fig.1. I dati sono: t0=0, v C(0)=0, R= 10 Ω, C=10 4 F, e (t ) = EM sen( t + E )u(t) Volt con E M = 2V ,  = 100 rad/sec e  E = . 2 Questo esercizio è identico a quello della Lezione n. 11 tranne che nel tipo di forzamento pertanto utilizzeremo la soluzione (2) trovata in quell’occasione e determineremo ora la soluzione particolare adeguata ad un forzamento sinusoidale.

i( t) R C

e(t)

v C(t)

Fig. 1 – Circuito RC serie. Nella Lezione n. 11 abbiamo trovato la soluzione: vC (t ) = ke

−1000t

+ v C p (t )

t>0.

(1)

Per calcolare la soluzione dobbiamo calcolare la soluzione particolarev Cp(t). Essendo il generatore sinusoidale la soluzione particolare vCp( t) risulterà una funzione sinusoidale che possiamo calcolare direttamente dal circuito utilizzando il metodo dei fasori. Trasformiamo il problema nel dominio dei fasori:

e( t ) = EM sen( t +  E )  ˆE = EM e jα E .

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(2)

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Sappiamo che  E =

 e quindi: 2

Eˆ = jE M = 2 j .

Ora dobbiamo trovare la tensione ai capi del condensatore tenendo conto che al posto j . Dalla II legge di Kirchhoff e del condensatore ci sia la sua impedenza − C utilizzando l’impedenza equivalente della serie RC, oppure utilizzando direttamente il partitore di tensione si ha: − j     E ˆ ˆ Cp = Eˆ − R ˆI = Eˆ − R   = C Eˆ = − j Eˆ . V RC − j R + − j  R+ − j   C  C 

(3)

Se poniamo i valori R = 10Ω ,  = 100 rad/sec, C=10-4 F ed E M = 2V otteniamo

 VCp =

− j (0.1 + j) 2(0.1 + j) 2 (0 1. + j) ≅ 0 19 . + 1.98 j = 2j = (0.1− j )(0.1+ j ) 0.01 + 1 1.01

(4)

 Ora calcoliamo modulo e fase del fasore VCp . Modulo: (0.19)2 + (1.98)2 ≅ 1.98 Fase: arctg

1 .98 = 1. 47rad 0 .19

Quindi possiamo antitrasformare il fasore ottenendo la soluzione di regime cercata vCp ( t) = 1.98 sen(100 t + 1.47)

(5)

La soluzione sarà dunque:

vC ( t) = k e

−1000t

+ 1.98 sen(100t + 1.47) .

(6)

Calcoliamo la costante k imponendo le condizioni iniziali Corso di Elettrotecnica – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2012/103

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vC ( 0) = 0 = k + 1. 98 sen(1.47 )  k = −1. 96

Pertanto la soluzione del nostro problema, che abbiamo rappresentato in Fig. 2, sarà:

vC (t ) = ( −1.96e −1000t + 1.98sen (100t + 1.47))u (t ).

(7)

Fig. 2 – Soluzione (7).

1.1.2 RC parallelo con generatore di corrente Consideriamo il circuito RC parallelo di Fig.3. I dati sono: 0t=0, vC(0)=0, R= 10 Ω,  C=10 -4 F, j (t ) = J M sen( t +  J )u(t) A con J M = 5 2A ,  = 220 rad/sec e  J = . 4 I

i C(t)

vC (t)

j(t) R

C

II

Fig. 3 – Circuito RC parallelo. Corso di Elettrotecnica – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2012/103

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La soluzione del problema è la (10) della Lezione n.11, riscriviamola: v C (t ) = ke −1000t + v C p (t )

t>0.

(8)

Per calcolare la soluzione particolare dobbiamo lavorare nel dominio dei fasori. Trasformiamo il problema nel dominio dei fasori: j( t) = J M sen ( t +  J )  ˆJ = J M e j α . J

Sappiamo che  J =

(9)

 e quindi: 4

ˆJ =  1 + j 1 J M = 5(1 + j ) . 2  2 Facciamo un partitore di corrente tra il condensatore e il resistore: ˆI Cp =

10(10 + j 45,45) R ˆJ = 5(1 + j ) ≅ (− 0,81 + j1,28 ) R − j C (10 − j 45,45 )(10 + j 45,45 )

(10)

Per calcolare la tensione sul condensatore basta moltiplicare la corrente (10) per l’impedenza del condensatore:  1 ˆ VCp = I Cp = − j 45,45(− 0,81 + j1,28) ≅ 58,176 + j 36,81 = 68,84e j 0,56 j C

(11)

Quindi possiamo antitrasformare il fasore ottenendo la soluzione di regime cercata vCp ( t) = 68,84 sen( 220 t + 0,56)

(12)

Calcoliamo la costante k imponendo le condizioni iniziali vC (0) = 0 = k + 68,84 sen(0, 56)  k = −36,57

Pertanto la soluzione del nostro problema, che abbiamo rappresentato in Fig. 4, sarà:

vC ( t) = ( −36,57 e −1000t + 68,84 sen( 220t + 0,56))u( t).

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(13)

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Fig. 4 – Soluzione (13) per range: 0,01sec e 0,1sec.

1.2 Circuiti RL 1.2.1 RL parallelo con generatore di corrente Consideriamo il circuito RL parallelo di Fig. 5. I dati sono: 0t=0, iL (0)=3A, R= 10 Ω,  L=10-3 H, j (t ) = J M sen (t +  J ) u(t) A con J M = 2A ,  = 100 rad/sec e  J = . 3

R

L

iL (t)

j(t)

viL(t)

Fig. 5 – Circuito RL parallelo.

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La soluzione del problema è data dalla (16) della Lezione n. 11, che riscriviamo: iL (t ) = ke−10000 t + i L p (t )

t>0. (14) Per calcolare la soluzione particolare dobbiamo lavorare nel dominio dei fasori. Trasformiamo il problema nel dominio dei fasori: j( t) = J M sen( t +  J )  ˆJ = J M e j α .

(15)

J

Sappiamo che  J =

 e quindi: 3

ˆJ = J Me jα = 2 1 1 + j 3 = 1 + j 3 . 2 J

(

) (

)

Facciamo un partitore di corrente tra l’induttore e il resistore: ˆI Lp =

10(10 − j 0,1) R ˆJ = 1 + j 3 ≅ 1,017 + j1,72 ≅ 1,998e j1, 037 (16) R + jL (10 + j 0,1)(10 − j 0,1)

(

)

Quindi possiamo antitrasformare il fasore ottenendo la soluzione di regime cercata

iLp (t ) = 1,998sen (100t + 1,037)

(17)

Calcoliamo la costante k imponendo le condizioni iniziali iL (0) =3 = k +1,998 sen(1,037 )  k ≅ −1,72

Pertanto la soluzione del nostro problema, che abbiamo rappresentato in Fig. 6, sarà:

iL ( t) = ( −1,72 e− 1000 t + 1,998 sen(100 t + 1, 037))u ( t).

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(18)

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Fig. 6 – Soluzione (18) per range: 0.05sec e 5 sec.

1.2.2 RL serie con generatore di tensione Consideriamo il circuito RL serie di Fig. 2(b) della Lezione n.5. I dati sono:t0 =0, iL(0)=0, R= 10 Ω, L =10-3 H e al posto della e( t)= 100 u(t ) Volt della Lezione n.11,  abbiamo e (t ) = E M sen (t +  E ) u(t ) Volt con E M = 2V ,  = 100 rad/sec e  E = . 2 Calcolare la soluzione in questo caso. 1.2.3 RL con due resistenze Risolviamo ora il circuito di Fig. 8 che abbiamo studiato nella Lezione n. 11 con generatori costanti. In quell’occasione abbiamo affrontato tre possibili esercitazioni; in questo caso facciamo riferimento al solo esercizio (b) della Lezione n.11. Calcolare la corrente nell’induttore per -< t 0:

iL ( t) = ( −0,861e −300t + 6,324sen(100t + 0,725))u (t ).

(19)

La condizione iniziale della funzione (19) è la (29) della Lezione n.11: i3 ( t) =

R1 10 j (t ) = 10 = 3, 3 A per tt0. Il generatore lo supponiamo sinusoidale per t>t0 , cioè e( t ) = E 0 per t> t0. I dati del problema sono: t0 =0, R =10 Ω, C =15µF, L=10 mH,  e (t ) = E M sen (t +  E )u(t) con E M = 2V ,  = 100 rad/sec e  E = ; le condizioni 2 iniziali v4(0 )=3 Volt, i3(0 )=3 A. La soluzione sarà, dalla (43) e (48) della Lezione n.11 : v4 (t ) = e

− 500t

(k

1

cos 2533 t + k 2 sin 2533t ) + v4 p ( t) .

v2 (t)

t>0

v3(t) i 3(t)

i 2(t) II i1(t)

i4(t) R

e(t)

III

L

v1(t)

v 4(t)

C

IV

Fig. 10 – Circuito RLC serie. Risolvere l’esercizio. 2.1.2 RLC parallelo con generatore di corrente In Fig. 11 abbiamo rappresentato un circuito RLC parallelo. Vogliamo calcolarei3 (t) per t >t0. I dati del problema sono: t0 =10-3sec, R=10 Ω, C =15µF, L=10 mH,  j (t ) = J M sen (t +  J )u(t) J M = 10A ,  = 100 rad/sec e  J = ; le condizioni iniziali 2 v4(t0 )=3 Volt, i3(t0 )=3 A..

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I i2(t)

i 1 (t)

i 4(t)

v 4(t)

v 3(t)

v2(t)

v1(t)

j (t )

i 3(t)

II

Fig. 11 – Circuito RLC parallelo.

Dalla (55) e dalla (60) della Lezione n.11, avendo posto t0=0.001 sec, si ha: −

i3 (t ) = k1 e 1225

1

(t − 0, 001 )

+ k2 e −5442 (t −0, 001) + i p3 (t ) .

(21)

Risolvere l’esercizio.

2.2 RLC con tre resistenze e due generatori di corrente Consideriamo il circuito di Fig. 12. Il circuito è lo stesso di Fig. 16 della Lezione n.11. Vogliamo calcolare v5(t) per -∞ < t < ∞. v 3(t) i 3(t)

I

j2 (t)

v4(t) i4 (t)

II

i2(t) R2 j1(t)

v2(t)

R1

III i5 (t)

L

i6 t)

C v 6(t)

v5(t) R3

IV

Fig. 12 – Circuito del II ordine con 3 resistenze.

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I dati del problema sono: j1(t)= -10u(-t ), j 2 (t ) = J Msen(t +  J ) u( t) J M = 2A ,  = 100 rad/sec e  J = 0 , R1=1Ω, R2=2Ω, R3 =3Ω, C =10µF, L=1mH. Abbiamo già calcolato nella Lezione n.11 ((65) e (66)) le variabili di stato per t0.

(24)

Risolvere l’esercizio.

2.3 Circuito RCC con due resistenze e un generatore Risolviamo il circuito RCC di Fig. 13.

v2 I

i2

vC2 iC 2 III

II

i1 R1 e (t)

v1

i5

i C1

C2

v5

vC1

C1

R2 IV

Fig. 13 – Circuito del II ordine con due capacità. Corso di Elettrotecnica – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2012/103

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I dati del problema sono:

e(t)=-10u(-t)+ E M sen(t +  E ) u(t) con

E M = 2V ,  = 100 rad/sec e  E =

 , 2

R1=10Ω, R2 =20Ω, C1=10µF, C2=20µF. Risolvere l’esercizio. L’esercizio è stato svolto in classe e si trova negli esercizi online.

2.4 Circuito RLL con due resistenze e un generatore Lavoriamo, ora, sul circuito RLL di Fig. 14. I dati del problema sono:

e(t)=-10u(-t)+ EM sen(t +  E ) u(t) E M = 3V ,  = 100 rad/sec e  E = 0 , R1=10Ω, R2=20Ω, L1=10mHenry, L2=20mHenry. L’esercizio è stato risolto in classe e si può trovare svolto online. La soluzione l’abbiamo rappresentato in Fig. 15.

v3 i3 R2 v2 i2

I

i1 e (t)

v L1

R1

iL1 III

II

iL2

L1

v1

v L2

L2

IV

Fig. 14 – Circuito del II ordine con due induttanze.

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Fig. 15 – Grafico della soluzione del circuito di Fig. 14 per range: 0,1 sec, 1sec, 2sec e 5sec.

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