Clase 1 Conduccion de calor en estado estacionario PDF

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proceso de transferencia de calor de un cuerpo a otro ...

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CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO Introducción (Fuente: Libro, Cengel) En la transferencia de calor con frecuencia se tiene interés en la razón de esa transferencia a través de un medio, en condiciones y temperaturas superficiales estacionarias. Ese tipo de problemas se pueden resolver con facilidad sin la intervención de ecuaciones diferenciales, mediante la introducción de los conceptos de resistencia térmica, de manera análoga a los problemas sobre circuitos eléctricos. La resistencia térmica corresponde a la resistencia eléctrica, la diferencia de temperatura a la tensión y la rapidez de la transferencia de calor a la corriente eléctrica.

Fecha: 13/01/2016 CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTABLE EN PAREDES PLANAS La transferencia de calor es la única interacción de energía que interviene, por eso no se tiene generación de calor; por lo tanto, el balance de calor para la pared se puede expresar como: 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ] ] + 𝐺󰇗 = [ [ 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒] − [ 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑛𝑡 − 𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 + 𝑔 𝑑𝑣𝑔𝑒𝑛 = 𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑛𝑡 = 𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Ǭ𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = −𝑘 𝐴

𝑑𝐸𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑,𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡

(flujo constante)

𝑑𝑇 𝑑𝑥

[=] 𝑊

Donde la distribución de temperatura en la pared, en condiciones estacionarias, es una línea recta y al integrar la ecuación se obtiene: 𝐿

∫

𝑥=0

𝑇2

𝑄󰇗 𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑘 𝐴 𝑑𝑇 𝑇1

Al realizar las integraciones y reacomodar da 𝐿

𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 ∫

𝑥=0

𝑑𝑥 = −𝑘 𝐴 ∫

𝑇2

𝑇1

𝑑𝑇

𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 ∗ 𝐿 = −𝑘 𝐴 (𝑇2 − 𝑇1 ) 𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 ∗ 𝐿 = 𝑘 𝐴 (𝑇1 − 𝑇2 )

𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = 𝑘 𝐴 -

𝑇1 − 𝑇2 𝐿

[=] 𝑊

Operación estacionaria La temperatura en la pared, en condiciones estables es una línea recta. La ley de Fourier donde la razón de la conducción de calor a través de una pared plana es proporcional a la conductividad térmica promedio, al área de la pared y a la diferencia de temperatura, pero es inversamente proporcional al espesor de la pared.

CONCEPTO DE RESISTENCIA TÉRMICA R es la resistencia térmica de la pared en contra de la conducción de calor o simplemente la resistencia a la conducción de la pared. Esta resistencia depende de la configuración geométrica y de las propiedades térmicas del medio y también se puede expresar como R pared = ∆T/Q cond, pared, que es análoga al flujo de corriente eléctrica. 1) Primero la ecuación para la conducción de calor a través de una pared plana se puede reacomodar para tener: 𝑇1 − 𝑇2 [=] 𝑊 𝐿 𝑇1 − 𝑇2 𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = 𝐿 𝑘𝐴

𝑄󰇗𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = 𝑘 𝐴

donde

𝐿

°𝐶 [=] 𝑊 2) Ahora, considere la transferencia 𝑘𝐴 de calor por convección de una superficie sólida, la razón de transferencia de calor por convección, Q conv=hAs (Ts -T∞), se puede expresar: 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 =

𝑄󰇗 𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞)

𝑇𝑠 − 𝑇∞ 1 ℎ𝐴𝑠 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑄󰇗 𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣

𝑄󰇗 𝑐𝑜𝑛𝑣 =

donde 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 =

1 ℎ𝐴𝑠

[=]

[=] 𝑊

°𝐶 𝑊

Donde Rconv es la resistencia térmica de la superficie contra la convección de calor o, simplemente, la resistencia a la convección de la superficie. -

Si h  ∞ [1/∞=0; ebullición - evaporación - intercambiadores de calor] la resistencia a la convección se hace cero y Ts ≈ T∞, es decir que la superficie no ofrece resistencia a la convección. Si h = constante la ecuación anterior para la resistencia a la convección es válida para superficies de cualquier forma (cualquier configuración geométrica).

3) Si hay efectos de radiación que pueden ser significativos, la razón de la transferencia de calor por radiación entre una superficie de emisividad Ԑ y área As, que está a la temperatura Ts, y las superficies circundantes a alguna temperatura promedio T alred se puede expresar como:

Donde la Rrad resistencia térmica de una superficie contra la radiación, o, simplemente, la resistencia a la radiación de la superficie es:

Y donde hrad es el coeficiente de transferencia de calor por radiación.

Importante: hrad depende con intensidad de la temperatura, pero el hconv no depende de ella. PROBLEMAS CONCEPTUALES 1) ¿Por qué las resistencias a la convección y a radiación en una superficie están en paralelo en lugar de en serie? Porque la convección y radiación ocurren de manera simultánea en una superficie expuesta al aire circundante que comprende convección y radiación, entonces las resistencias a la convección y a la radiación son paralelas entre sí.

2) Considere una superficie de área A en la cual los coeficientes de transferencia de calor por convección y por radiación son hconv y hrad, respectivamente. Explique cómo determinaría: a) El coeficiente único equivalente de transferencia de calor. Respuesta: Si hay convección y radiación en la superficie, la suma de sus coeficientes de transferencias de calor va a dar el coeficiente de transferencia de calor combinado que también resulta ser el coeficiente de transferencia de calor equivalente. hequivalente = hconv + hrad

[=]

𝑊 𝑚2 °𝐶

b) La resistencia térmica equivalente. Suponga que el medio y las superficies circundantes están a la misma temperatura. Respuesta: La suma de resistencia de radiación y convección va a dar la resistencia térmica total equivalente. Esto se simplifica si se tiene en cuenta que si utilizas el h equivalente solo aplicas las formula: R equivalente = R conv + R rad

R equivalente =

1

hequivalente ∗ 𝐴

[=]

°𝐶 𝑊

RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO. -

-

Resistencia en Serie

Resistencia en Paralelo

R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = R1 + R 2 + R3 + R4

1

R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1

R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= =

R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

-

1 1 + R1 R 2

R 2 + R1 R1 R 2 R1 R 2 R 2 + R1

Ejemplo de resistencia en serie y paralelo

R2 3 =

R2R3 R3 + R2

R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = R1 𝑐 + R2 3

R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = R1 +

R2R3 R3 + R2

RED DE RESISTENCIAS TÉRMICAS La temperatura varía en forma lineal en la pared y tiende a T∞1 y T∞2 en los fluidos, a medida que se aleja de la pared.

En condiciones estacionarias se tiene:

Que se puede reacomodar así:

Al sumar los numeradores y los denominadores:

Donde la resistencia total se calcula:

Atención: las resistencias térmicas están en serie y la resistencia térmica equivalente se determina simplemente al sumar cada una de las resistencias, precisamente como en las resistencias eléctricas conectadas en serie.

EJERCICIO Se tiene los siguientes gráficos, obtener la fórmula de las resistencias totales.

R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = R1 + R 2 + R3 + R4

R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = R1 + R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

L3 L2 ∗ L1 𝑘2 𝐴2 𝑘3 𝐴3 = + L3 L2 𝑘1 𝐴1 𝑘3 𝐴3 + 𝑘2 𝐴2 Ǭ=

Ǭ=

R2R3 R3 + R2

𝑇2 − 𝑇1 R 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑇2 − 𝑇1 L3 L2 ∗ 𝑘3 𝐴3 L1 𝑘2 𝐴2 L2 𝑘1 𝐴1 + L3 𝑘3 𝐴3 + 𝑘2 𝐴2

EJERCICIOS EN CLASE 3-17 Considere una pared de ladrillos de 3 m de alto, 6 m de ancho y 0.25 m de espesor cuya conductividad térmica es k =0.8 W/m · °C. En cierto día, se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior de la pared y resultan ser de 14°C y 5°C, respectivamente. Determine la razón de la pérdida de calor a través de la pared en ese día. Datos L= 0.25 m Área= 3*6= 18m2 k =0.8 W/m °C

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 =

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 =

Otra forma de resolver:

0.8

𝐿

𝑘𝐴 0.25𝑚 W

°𝐶 = 0.01736 𝑊

m°C ∗ 18m 𝑇1 − 𝑇2 𝑄 = 𝑅𝑐𝑜𝑛 (14 − 5)°𝐶 𝑄 = = 518.4 𝑊 °𝐶 0.01736 𝑊 Ǭ= 𝑘𝐴

Ǭ = (0.8

°𝐶 [=] 𝑊 2

∆𝑇 ∆𝑥

(14 − 5)°𝐶 W = 518.4 𝑊 °C) (18m2 ) ∗ 0.25𝑚 m

3-20 Considere una ventana de hoja doble de 1.5 m de alto y 2.4 m de ancho que consta de dos capas de vidrio (k =0.78 W/m °C) de 3 mm de espesor separadas por un espacio de aire estancado (k =0.026 W/m°C) de 12 mm de ancho. Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de esta ventana de hoja doble y la temperatura de su superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 21°C en tanto que la temperatura del exterior es de –5°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior de la ventana como h1=10 W/m2 °C y h2=25 W/m2°C y descarte cualquier transferencia de calor por radiación. Respuestas: 154 W, 16.7°C -

Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de esta ventana de hoja doble:

𝑅1 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣, 1

𝑅2 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 𝑅3 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑎𝑖𝑟𝑒

𝑅4 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 𝑅5 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣, 2

Ǭ=

𝑻∞𝟏 − 𝑻∞𝟐 𝑹𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

Donde R2=R4

𝐑 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝐑 𝟏 + 𝟐𝐑 𝟐 + 𝐑 𝟑 + 𝐑 𝟓 1

1



𝑹𝟏 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣, 1 =



𝑹𝟐 = 𝑹𝟒 = 2𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 = 2 ∗

ℎ1𝐴𝑠

=

10

𝑊

= 0.027778

∗3.6 𝑚2 𝑚2 °𝐶

°𝐶

𝐿

=2∗ 𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜∗𝐴𝑠

2 (1.06837𝐸 − 3 ) = 2.06837𝐸 − 3 𝑊 

𝑹𝟑 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑎𝑖𝑟𝑒 =



𝑹𝟓 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣, 2 =

𝐿

𝑘𝑎𝑖𝑟𝑒∗𝐴𝑠 1

ℎ2𝐴𝑠

=

=

𝑊

-

𝑊

12𝑒−3𝑚 𝑊

0,026 2 ∗ 3.6 𝑚2 𝑚 °𝐶

1

25 2 ∗3.6 𝑚2 𝑚 °𝐶

𝐑 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 0.1684

Ǭ=

°𝐶

(𝟐𝟏 + 𝟓)°𝑪 = 𝟏𝟓𝟒 𝑾 °𝐂 𝟎. 𝟏𝟔𝟖𝟒 𝑾

3𝐸−3𝑚 𝑊

0.78 2 ∗ 3.6 𝑚2 𝑚 °𝐶

= 0.1282

= 0.011111

°C 𝑊

°𝐶 𝑊

°𝐶

𝑊

°𝐶

𝑊

/𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝟏

Para determina la temperatura en de su superficie interior: 𝑸󰇗 =

𝟐𝟏°𝑪 − 𝑻𝟐 𝑹𝟏

T2 = 21°C − (Ǭ ∗ R1)

T2 = 21°C − (154 W ∗ 0.1684

𝐓𝟐 = 𝟐𝟏°𝐂 − 𝟒. 𝟐𝟕𝟕𝟕𝟖°𝐂 = 𝟏𝟔. 𝟕𝟐 °𝐂

°C ) 𝑊

/𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚𝟐

=...