Clase 22 Definición y Ejemplos de Homomorfismos PDF

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Capítulo 2 Homomorfismos de Módulos Clase 22: Definición y ejemplos de homomorfismos.

2.1.

Definición de homomorfismo

En esta clase iniciaremos el estudio de los homomorfismos de módulos. Veremos que dicha definición es muy parecida al concepto de transformación lineal en espacios vectoriales. Definición 2.1.1. Si R M y R N son dos R-módulos izquierdos, entonces una función f : M ! N es un homomorfismo de módulos si para todo x, y 2 M y para todo a 2 R se tiene: 1. f (x + y) = f (x) + f (y). 2. f (ax) = af (x). (Es decir, en caso de que f es R-lineal).

CAPÍTULO 2. HOMOMORFISMOS DE MÓDULOS Observación 2.1.2. El punto central de que f : M ! N sea un homomorfismo de módulos es que preserva la estructura de los R-módulos. En particular, si R M y R N son R-módulos izquierdos vía los homomorfismos de anillos λ : R ! EndI (M) y λ0 : R ! EndI (N ). Entonces, f : M ! N es un homomorfismo de módulos si, y sólo sí, para cada a 2 R, el diagrama: M

f

λ0 (a)

λ(a)

M

/N

f

/N

conmuta. Es decir, 8a 2 R y 8m 2 M, se tiene [f  λ(a)](m) = [λ0 (a)  f ](m). En los sucesivo me referiré a los homomorfismos de módulos simplemente como homomorfismos.

Ejemplo 2.1.3. Los siguientes son ejemplos de homomorfismos de módulos. 1. IM : MR ! MR , la función identidad es un homomorf ismo. 2. 0 :R M !R N , la función cero es un homomorf ismo. 3. Si R K R M se tiene que la proyección canónica π K :R M ! M/K dada por π K (m) = m + K es un homomorfismo. 4. Para R K R M la función inclusión canónica iK :R K !R M dada por iK (l) = l es un homomorfismo.

2.1. DEFINICIÓN DE HOMOMORFISMO Definición 2.1.4. Sean R M, R N módulos y f : M ! N un homomorfismo. Definimos: a) La imagen de f denotada Imf como el conjunto Imf = {f (x) : x 2 M} b) El núcleo o kernel de f denotado por Kerf como el conjunto Kerf = {x 2 M : f (x) = 0 N } El primer resultado que tenemos es el siguiente: Lema 2.1.5. Sean R M, R N módulos y f : M ! N un homomorfismo. Entonces: 1. Imf es un submódulo de N . 2. Kerf es un submódulo de M. Demostración. Ejercicio. Vean tarea 3. Una vez que hemos probado que tanto la Imf como el Kerf son submódulos de N y M respectivamente, podemos dar la siguiente definición. Definición 2.1.6. Sean R M, R N módulos y f : M ! N un homomorfismo. Definimos: 1. La coimagen de f denotada coimf = M/Kerf . 2. El conúcleo de f denotado por cokerf = N/Imf. Terminamos esta clase con la siguiente observación. Observación 2.1.7. Notemos que tanto la coimagen como el cokernel son módulos.

CAPÍTULO 2. HOMOMORFISMOS DE MÓDULOS Clase 23: Monomorfismos y epimorfismos Empezamos esta clase estableciendo el siguiente resultado. Proposición 2.1.8. Sean M, N módulos, X ✓ M un conjunto que genera a M y f : M ! N un homomorfismo. Entonces: 1. Imf está generada por f (X) = {f (x) 2 N : x 2 X}. 2. Si g : M ! N es otro homomorfismo entonces f = g , f (x) = g(x) 8x 2 X. Demostración. 1. Como X ✓ M genera a M tenemos que M = RX. De donde, si x 2 M entonces x = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn para x1 , x2 , . . . , xn 2 X. Usando que f es un homomorfismo, tenemos f (x) = a1 f (x1 ) + a2 f (x2 ) + . . . + an f (xn ). Lo cual prueba que Imf = Rf (X). Es decir, f (X) genera a Imf. 2. ()) Es claro. (() Sea m 2 M. Como X ✓ M genera a M, tenemos que m = a1 x1 +a2 x2 +. . .+an xn . Usando que f y g son homomorfismos tenemos f (m) = a1 f (x1 ) + ... + an f (xn ) = a1 g(x1 ) + ... + an g(xn ) = g(m). Lo cual prueba que f = g.

Observación 2.1.9. Notemos el caso particular en el que M es un módulo finitamente generado. En dicho caso, la proposición anterior nos facilita el cálculo de la imagen de cualquier homomorfismo f : M ! N. Tenemos las siguientes definiciones: Definición 2.1.10. Un homomorfismo f : M ! N se dice que es: a) Un epimorfismo, si f es suprayectiva. b) Un monomorfismo, si f es inyectiva.

2.1. DEFINICIÓN DE HOMOMORFISMO c) Un isomorfismo, si f es biyectiva. Además se dice que isomorfos y se denota por M ⇠ = N.

RM

y

RN

son

Ejemplo 2.1.11. 1. Sea R K R M. La proyección canónica π : M ! M/K; m 7! m + K es un epimorfismo y Kerπ = K. En particular se tiene que cada submódulo K de M es el kernel de un epimorfismo. 2. Sea R K R M. La inclusión canónica i : K ! M; k 7! k es un monomorfismo. En particular, cada submódulo K de R M es la imagen de un monomorfismo. La siguiente proposición nos da varias equivalencias del concepto de epimorfismo. Es decir, es una caracterización del concepto de epimorfismo. Proposición 2.1.12. Sean M y N R-módulos izquierdos y f : M ! N un homomorfismo. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: 1. f es un epimorf ismo. 2. Imf = N. 3. Para cada R K y cada R-homomorf ismos g, h : N ! K , gf=hf implica g=h. 4. Para cada R K y cada R-homomorf ismo g : N ! K , gf=0 implica g=0. Demostración. 1. ) 2. es por definición de epimorfismo. 2. ) 3. Sea n 2 N . Como f es suprayectiva existe m 2 M tal que f (m) = n. De donde si gf = hf entonces g(n) = g(f (m)) = h(f (m)) = h(n). Por tanto, h = g. 3. ) 4. Sea h : N ! K el homomorfismo cero, entonces hf = gf y por 3. tenemos que g = h = 0.

CAPÍTULO 2. HOMOMORFISMOS DE MÓDULOS 4. ) 1. Sea I = Imf . Consideremos la proyección canónica π I : N ! N/I. Tenemos que π I f : M ! N/I está dada por m 7! f (m)+Imf y por tanto π I f = 0. Usando 4. tenemos que π I = 0. Dado que π I es un epimorfismo y π I = 0 tenemos que ImπI = N/I y ImπI = {0N/I } de donde ImπI = N/I = {0N/I } . Por tanto, I = N . Observación 2.1.13. En matemáticas usamos a menudo el concepto de ’dualidad’. Con esto lo que queremos decir es que podemos traducir un concepto ó un teorema en otro. La ventaja de establecer estas dualidades es que, una vez que hemos probado una proposición, ya no tenemos que probar su proposición dual. Un muy buen ejemplo de ésto lo proporciona el siguiente resultado, el cual es la proposición dual de la proposición 2.1.12. Dado que el concepto dual de epimorfismo es monomorfismo, tenemos que la proposición 2.1.14 caracteriza el concepto de monomorfismo.

Proposición 2.1.14. Sean M y N R-módulos izquierdos y f : M ! N un R-homomorfismo. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: 1. f es monomorf ismo. 2. Kerf = {0M }. 3. Para cada R K y cada par g, h : K ! M de R-homomorfismos, fg=fh implica g=h. 4. Para cada g=0.

RK

y cada R-homomorf ismo g : K ! M , fg=0 implica

Finalizaremos la clase con el siguiente resultado. Recordemos que si f : M ! N es una función biyectiva entonces existe f 1 tal que f g = IN y g f = IM . Por ello, lo realmente nuevo en la siguiente proposición es que la función inversa de un isomorfismo también es un homomorfismo. De hecho es un isomorfismo. Ver ejercicio tarea 3.

2.1. DEFINICIÓN DE HOMOMORFISMO Proposición 2.1.15. Sean M y N R-módulos izquierdos y sea f : M ! N un homomorfismo. Entonces f es un isomorf ismo , Existe un homomorfismo g : N ! M tal que gf = IM y f g = IN .

Demostración. (() Dado que f : M ! N es homomorfismo solo tenemos que probar que f es biyectiva. Dado que existe g : N ! M tal que gf = IM y f g = IN , entonces f es invertible y su inversa f 1 = g. Como f invertible es equivalente a f biyectiva, tenemos que f es isomorfismo. ()) Como f es isomorfismo tenemos que f es biyectiva, luego f es invertible, esto es, existe f 1 : N ! M tal que f 1 f = IM y f f 1 = IN . Veamos que f 1 : N ! M es homomorfismo. Como f es homomorfismo tenemos

f (f 1 (ax+by)) = ax+by = a(f f 1 )(x)+b(f f 1 )(y) = f (af 1 (x)+bf 1 (y))

De donde por ser f inyectiva tenemos que f 1 (ax + by) = af 1 (x) + bf 1 (y). Lo cual prueba que f 1 = g es el homomorfismo buscado....