03 - Leyes de Kirchhoff - Clase, materia y ejemplos PDF

Preview

Summary

Clase, materia y ejemplos ...

Description

Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Eléctrica

Leyes de Kirchhoff Profesor Álvaro Lorca IEE2123 – Circuitos Eléctricos Primer Semestre 2019

Introducción  En esta clase veremos nuestras primeras herramientas de “análisis” (en realidad de resolución) de circuitos: las Leyes de Kirchhoff.  Con el uso de estas leyes ya es posible determinar todas las ecuaciones necesarias de un circuito para luego despejar las variables desconocidas.  También estudiaremos el concepto de resistencia equivalente (conexión serie, paralelo y delta-estrella) y circuitos simples tales como el divisor de voltaje resistivo y el divisor de corriente resistivo.  Estos circuitos son particularmente útiles para el análisis inteligente y de baja entropía de circuitos. 2

Leyes de Kirchhoff  Las Leyes circuitales de Kirchhoff (1845) consisten en un par de leyes que establecen relaciones entre las diferencias de voltaje (ley de voltajes de Kirchhoff, o KVL) y entre las corrientes de ramas (ley de corrientes de Kirchhoff, o KCL) de un circuito.  Estas leyes pueden ser entendidas como corolarios de las Ecuaciones de Maxwell.  Sólo funcionan en circuitos de parámetros concentrados (como los que estudiamos en este curso!). Es decir, funcionan en circuitos donde las longitudes de onda de las señales son mucho mayores que el tamaño de los circuitos.  Sin embargo, estas herramientas incluso pueden ser utilizadas en 3 algunos circuitos que no son de parámetros concentrados.

Ley de corrientes de Kirchhoff (KCL)  KCL establece que la suma de las corrientes que entran a un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. n2

I3

I1

R3

Ib R1 R2

R4 n1

Va

R5

I4

3I1 I3I1

KCL 4

Ley de corrientes de Kirchhoff (KCL)  Conceptualmente la idea es simple, y es que todo lo que entra a un punto que no almacena ni guarda nada, claramente debe salir.

f1

Flujos de sangre

Órgano f2 f3

5

Ley de corrientes de Kirchhoff (KCL)  Ejemplo: Determinar Vx.

IR4

 KCL en el nodo y:

I1 R1

R4 IR 3 x

Vx R2

I2 y

IR2

R3 3IR4

 KCL en el nodo x:

Fin ej. 6

Ley de voltajes de Kirchhoff (KVL)  KVL es la ley dual de KCL, y establece que la suma de todos los voltajes correspondientes a cada uno de los elementos que forman un circuito o una parte de él es nula cuando se recorre un camino cerrado (malla). I1 +

m1

-

R1 R2 -

Va

+

Ib

m2

-

+ + R4 R5 m3 -

R3 + +

3I1

KVL 7

Ley de voltajes de Kirchhoff (KVL)  Conceptualmente la idea es que cada punto de un circuito tiene un voltaje único. Al hacer un camino por una malla partiendo por un punto y volviendo al mismo, el voltaje del punto debería mantenerse, es decir, la suma de todos los cambios de voltaje de la malla debería ser nula. -10 21 5 -18 31 15

-6

8 10

7

17

-10 -5

-15

-2

-2

-9

0

7 8

Ley de voltajes de Kirchhoff (KVL)  Una manera alternativa de plantear esta ley es la siguiente: en una malla circuital, la suma de los aumentos de potencial debe ser igual a la suma de las caídas de potencial.

I1 +

m1

-

R1 R2 -

Va

+

Ib

m2

-

+ + R4 R5 m3 -

R3 + +

3I1

9

Ley de voltajes de Kirchhoff (KVL)  Ejemplo: Calcular la caída de potencial en la fuente VI.

I

 Primero determinamos VR:

- VI +  KVL en la única malla del circuito (en sentido horario):

V

+ R VR -

Fin ej. 10

Resistencia equivalente  De acuerdo a las Leyes de Kirchhoff:  Resistores en serie: Req + Iin

Vin -

+ VR 1 + VR 2 -

R1 R2

La resistencia equivalente corresponde a la suma de las resistencias! (o equivalentemente, la conductancia equivalente corresponde al paralelo de las conductancias) 11

Resistencia equivalente  Resistores en paralelo: Req

I R2

Iin Vin

I R1

R1

R2

La resistencia equivalente corresponde al paralelo de las resistencias! (o equivalentemente, la conductancia equivalente corresponde a la suma de las conductancias)

12

Resistencia equivalente  Es muy útil tener en mente las propiedades de los operadores paralelo y serie, particularmente al diseñar circuitos:

 En general es conveniente dejar expresado el operador paralelo como tal en vez de desarrollarlo. De esta manera las expresiones obtenidas son más simples y entregan más información que una expresión expandida. 13

Resistencia equivalente  Ejemplo: Determinar Req. 3. Luego quedan R2, R3 y R1||R6 en serie, y éstas a su vez quedan en paralelo con R4

R eq

R1 R4 R5

R2 R1

R3 R6

2. Habiendo eliminado R5, es claro que R 1 y R6 están en paralelo

1. R5 está en paralelo con un cable! R5||0 = 0 14

Resistencia equivalente  Luego: R1

R2

R1

R2 R1

R4

R1

R3

R4

R1

R2

R3 R3

R4 R5

R6

R6

R1 R4

R 1||R 6

R1 R 2+R3+R 1||R6

R4||(R 2+R3+R1||R 6)

Fin ej. 15

Resistencia equivalente  Ejemplo: Determinar Req en el cubo de resistores. R

R eq

R R

R

R

R R

R R

R R

R

 En este caso no podemos aplicar directamente reducciones serie-paralelo! Tenemos que pensar! 16

Resistencia equivalente  Como todos los resistores son de igual resistencia, al llegar a un nodo la corriente ve exactamente lo mismo en todas las direcciones posibles. Por este motivo, en cada nodo la corriente se divide en partes iguales. R

R eq

R R

R

R

R R

R R

R R

R 17

Resistencia equivalente  Así: I/6 I

I

I/6 I/3

I/3

I/6

I/3

I/3

I/6

I

I/3

-

I/6 I

I/6

I/3

I/3 I

I/6

I/6

I/3

I/6

IR/3 +

I I/3

V

I/6 I/6

+ I/6

+IR/3 -

+ IR/6

Fin ej. 18

Resistencia equivalente  Ejemplo: Determinar Req. Req

+ Vx -

+

R1

I2 R2

kVx

V2 -

 Este ejercicio se ve raro, ya que nos piden calcular una resistencia equivalente en un circuito que tiene una fuente de corriente dependiente!  Podría ser una “trampa”, ya que sabemos que las fuentes dependientes sirven para modelar resistores, pero en ese caso el voltaje de control debería ser V2, no Vx. 19

Resistencia equivalente  Si inyectamos una corriente Iin a la entrada y luego medimos el voltaje Vin en los bornes de la fuente podremos calcular Vin/Iin, que corresponde justamente a Req. + Vx Iin

+ Vin -

+

R1

I2 R2

kVx

V2 -

20

Resistencia equivalente  Cabe preguntarse si siempre es posible calcular de forma explícita el cociente entre dos variables en un circuito. La respuesta es sí, en la medida que éste sea lineal y sólo se considere una excitación a la vez.  Considere por ejemplo un circuito lineal con excitaciones E1 y E2, en el cual nos interesa medir una respuesta R1. Como el circuito es lineal: aIx + R1 E1

Ix

E2

Constantes! 21

Resistencia equivalente  Claramente se cumplen las condiciones de linealidad: Aditividad Homogeneidad  Observación: La homogeneidad no se cumple necesariamente al considerar números complejos. Por ejemplo:

α = α* sólo si α es real. 22

Resistencia equivalente  Supongamos que queremos calcular R1/E1, es decir, cuánto afecta E1 a la respuesta R1.  Para esto sólo consideramos la excitación E1 y apagamos E2 (i.e. E2 = 0):

 Apagar una excitación implica:  Fuente de voltaje: reemplazar la fuente por un cortocircuito (V=0).  Fuente de corriente: reemplazar la fuente por un circuito abierto (I=0).

23

Resistencia equivalente  Luego, en un sistema lineal la respuesta corresponde a la superposición lineal de las contribuciones de cada una de las excitaciones del sistema:

aIx + R1 E1

Ix

E2

24

Resistencia equivalente  Como consecuencia: dado que un sistema lineal cumple con las condiciones de aditividad y homogeneidad, todas sus respuestas se pueden relacionar con las excitaciones a través de ecuaciones lineales de coeficientes constantes!

25

Divisores de voltaje y corriente  El divisor de voltaje y su dual, el divisor de corriente, son circuitos muy simples que vale la pena manejar al revés y al derecho a la hora de analizar circuitos, facilitando el análisis.

Iin Vin

+ VR1 -+

R1

VR2 -

R2

Divisor de voltaje

IR2

Iin

+I R Vin 1 -

R1

R2

Divisor de corriente

(En general no es necesario que vayan a tierra o que dividan en dos solamente) 26

Divisores de voltaje y corriente  Divisor de voltaje: Iin Vin

+ VR 1 -+

R1

VR 2 -

R2

 Mientras más grande sea R2 con respecto a R1 menor es la caída de potencial en R1 (VR1) con respecto a la caída de potencial en R2 (VR2), por lo tanto, VR2 se parece más a Vin  la expresión tiene sentido!  La diferencia de voltaje es “proporcional” a la resistencia.

27

Divisores de voltaje y corriente  Ejemplo: Calcular Vout en función de Vin (0...