Leyes DE Kirchhoff - Ejercicios PDF

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LEYES DE KIRCHHOFF EJERCICIOS DE ANÁLISIS NODAL: PROBLEMA 1:

RESOLUCIÓN:

Analizando la figura 4.38:

𝐯𝟐 = 𝐯 Aplicando LCK al nodo 𝑣1 : −10 +

𝑣1 𝑣1 − 𝑣2 + =0 20 40

2𝑣1 + 𝑣1 − 𝑣2 = 10 40 3𝑣1 − 𝑣2 = 400 … … … … (1)

Aplicando LCK al nodo 𝑣2 : 𝑣2 − 𝑣1 𝑣2 𝑣2 − 𝑣3 =0 + + 50 40 100 5(𝑣2 −𝑣1 ) + 2𝑣2 + 4(𝑣2 −𝑣3 ) =0 200 5𝑣2 − 5𝑣1 + 2𝑣2 + 4𝑣2 − 4𝑣3 = 0 −5𝑣1 + 11𝑣2 − 4𝑣3 = 0 … … … … (2)

Aplicando LCK al nodo 𝑣3 :

Aplicando LCK al nodo 𝑣4 :

𝑣3 − 𝑣4 𝑣3 − 𝑣2 + 2.5 + =0 50 10

𝑣4 𝑣4 − 𝑣3 + −5+2= 0 10 200

𝑣3 −𝑣2 + 2.5 ∗ 50 + 5(𝑣2 −𝑣4 ) =2 50

20(𝑣4 −𝑣3 ) + 𝑣4 =3 200

𝑣3 − 𝑣2 + 5𝑣3 − 5𝑣4 + 125 = 100

20𝑣4 − 20𝑣3 + 𝑣4 = 600

−𝑣2 + 6𝑣3 − 5𝑣4 = −25 … … … … (3)

−20𝑣3 + 21𝑣4 = 600 … … … … (4)

Resolviendo el sistema de ecuaciones: 3𝑣1 − 𝑣2 = 400 … … … … (1) −5𝑣1 + 11𝑣2 − 4𝑣3 = 0 … … … … (2) −𝑣2 + 6𝑣3 − 5𝑣4 = −25 … … … … (3) −𝑣2 + 6𝑣3 − 5𝑣4 = −25 … … … … (3) Por lo tanto:

𝑣2 = 𝑣𝑃 → 𝟏𝟕𝟏. 𝟔𝟒 𝑽

PROBLEMA 2:

RESOLUCIÓN:

Analizando la figura 4.40: 𝒊𝟓 =

𝒗𝟐 … … … … (𝜶) 𝟓

Aplicando LCK al nodo 𝑣1 :

Aplicando LCK al nodo 𝑣2 :

𝑣1 𝑣1 − 𝑣4 + +3=0 1 2

−3 +

𝑣1 + 2(𝑣1 − 𝑣4 ) + 6 =0 2

𝑣2 𝑣2 − 𝑣3 𝑣2 − 𝑣4 + + =0 3 5 7

−315 + 21𝑣2 + 15(𝑣2 −𝑣3 ) + 35(𝑣2 −𝑣4 ) =0 105

𝑣1 + 2𝑣1 − 2𝑣4 + 6 = 0 21𝑣2 + 15𝑣2 − 15𝑣3 + 35𝑣2 − 35𝑣4 = 315 3𝑣1 − 𝑣2 = 400 … … … … (1) 71𝑣2 − 15𝑣3 − 35𝑣4 = 315 … … … … (2)

licando LCK al nodo 𝑣3 :

Aplicando LCK al nodo 𝑣4 :

− 𝑣2 𝑣3 𝑣3 − 𝑣4 + + =0 4 7 6

−2 +

(𝑣3 −𝑣2 ) + 14𝑣3 + 21(𝑣3 − 𝑣4 ) =0 84

𝑣4 − 𝑣1 𝑣4− 𝑣2 𝑣4− 𝑣3 + + =0 4 1 3

12𝑣4 − 12𝑣1 + 4𝑣4 −4𝑣2 + 3𝑣4 − 3𝑣3 = 600 −12𝑣1 − 4𝑣2 − 3𝑣3 + 19𝑣4 = 24 … … … … (4)

𝑣3 − 12𝑣2 + 14𝑣3 + 21𝑣3 − 21𝑣4 = 0 2𝑣2 + 47𝑣3 − 21𝑣4 = 0 … … … … (3) Resolviendo el sistema de ecuaciones: 3𝑣1 − 𝑣2 = 400 … … … … (1) 71𝑣2 − 15𝑣3 − 35𝑣4 = 315 … … … … (2) −12𝑣2 + 47𝑣3 − 21𝑣4 = 0 … … … … (3) −12𝑣1 − 4𝑣2 − 3𝑣3 + 19𝑣4 = 24 … … … … (4) Por lo tanto: 𝑣2 = 6.7604 𝑉 Reemplazando en (𝛼):

𝑖5 =

6.7604 → 𝟏. 𝟑𝟓𝟐 𝑨 5

PROBLEMA 3:

RESOLUCIÓN:

Analizando la figura 4.42: los voltajes controlados 𝑣1 + 𝑣3 pueden expresarse en términos de voltajes de nodo de la siguiente manera:

𝒗𝟏 = 𝒗𝟔 − 𝒗𝟓 𝒗𝟑 = 𝒗𝟔 − 𝒗𝟒 Aplicando LCK al nodo 4: −0.02𝑣1 +

𝑣4 − 𝑣5 𝑣4 − 𝑣6 + =0 3 5

−0.02(𝑣6 − 𝑣5 ) +

𝑣4 − 𝑣5 𝑣4 − 𝑣6 + =0 3 5

𝑣4 − 𝑣5 𝑣4 − 𝑣6 −0.02𝑣6 + 0.02𝑣5 + + =0 5 3 −0.3𝑣6 + 0.3𝑣5 + 5𝑣4 − 5𝑣5 + 3𝑣4 − 3𝑣6 = 0 8𝑣4 − 4.7𝑣5 − 3.3𝑣6 = 0 … … … … (1)

Aplicando LCK al nodo 5: −10 +

𝑣5 − 𝑣4 𝑣5 − 𝑣6 + =0 3 2

−60 + 2𝑣5 − 2𝑣4 + 3𝑣5 − 3𝑣6 = 0 −2𝑣4 + 5𝑣5 − 3𝑣6 = 60 … … … … (2)

Aplicando LCK al nodo 6: −0.2𝑣3 +

𝑣6 − 𝑣4 𝑣6 − 𝑣5 =0 + 2 5

−0.2(𝑣6 − 𝑣4 ) +

𝑣6 − 𝑣4 𝑣6 − 𝑣5 + =0 2 5

−0.2𝑣6 + 0.2𝑣4 +

𝑣6 − 𝑣4 𝑣6 − 𝑣5 + =0 2 5

−2𝑣6 + 2𝑣4 + 2𝑣6 − 2𝑣4 + 5𝑣6 − 5𝑣5 = 0 5𝑣6 − 5𝑣5 = 0 𝑣6 = 𝑣5 … … … … (3) Ahora de las ecuaciones (1) y (3) se obtiene: 8𝑣4 − 4.7𝑣5 − 3.3𝑣5 = 0 8𝑣4 − 8𝑣5 = 0 𝑣4 = 𝑣5 … … … … (4) Y la corriente 𝑖2 está dada po 𝑖2 =

𝑣3 5

𝑖2 =

𝑣6 − 𝑣4 5

𝑖2 =

𝑣5 − 𝑣5 5

Entonces la corriente será:

𝒊𝟐 = 𝟎 𝑨

EJERCICIOS DE ANÁLISIS DE MALLA: PROBLEMA 1:

RESOLUCIÓN: Analizando la figura 4.57: Aplicando la Ley de Kirchhoff a la malla 1:

Aplicando la Ley de Kirchhoff a la malla 2:

−15 + 9𝑖1 + 1(𝑖1 − 𝑖2 ) − 11 = 0

11 + 1(𝑖2 − 𝑖1 ) + 9𝑖2 − 21 = 0

9𝑖1 + 𝑖1 − 𝑖2 − 26 = 0

𝑖2 − 𝑖1 + 9𝑖2 − 10 = 0

𝑖2 = 10𝑖1 − 26 … … … … (1)

−𝑖1 + 10𝑖2 = 10 … … … … (2)

2 5 3 60 (2) Ahora de las ecuaciones (1) y (2) se obtiene: −𝑖1 + 10(10𝑖1 − 23) = 10 −𝑖1 + 100𝑖1 − 260 = 10 99𝑖1 = 270 𝑖1 = 2.727 𝐴 Reemplazando 𝑖1 = 2.727 𝐴 : 𝑖2 = 10 ∗ (2.727) − 26

𝒊𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟕 𝑨

PROBLEMA 2:

RESOLUCIÓN:

Analizando la figura 4.61:

𝒊𝟒 = 𝟏𝟎𝑨 Aplicando la Ley de Kirchhoff a la malla 1:

Aplicando la Ley de Kirchhoff a la malla 2:

−3 + 8𝑖1 + 4(𝑖1 − 𝑖2 ) = 0

4(𝑖2 − 𝑖1 ) + 12𝑖2 + 8(𝑖2 − 𝑖3 ) = 0

−3 + 8𝑖1 + 4𝑖1 − 4𝑖2 = 0

4𝑖2 − 4𝑖1 + 12𝑖2 + 8𝑖2 − 8𝑖3 = 0

12𝑖1 − 4𝑖2 = 3 … … … … (1)

−4𝑖1 + 24𝑖2 − 8𝑖3 = 0 … … … … (2)

2 5 3 60 (2) Aplicando la Ley de Kirchhoff a la malla 3:

Sustituyendo 𝑖4 en la ecuación (3) :

8(𝑖3 − 𝑖2 ) + 20(𝑖3 − 𝑖4 ) + 5𝑖3 = 0

−8𝑖2 + 33𝑖3 − 20(10) = 0

8𝑖3 − 8𝑖2 + 20𝑖3 − 20𝑖4 + 5𝑖3 = 0

−8𝑖2 + 33𝑖3 = 200 … … … … (4)

−8𝑖2 + 33𝑖3 − 20𝑖4 = 0 … … … … (3) 2

5

3

60

(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Por lo tanto:

12𝑖1 − 4𝑖2 = 3 … … … … (1)

𝑖1 = 1.0458 𝐴

−4𝑖1 + 24𝑖2 − 8𝑖3 = 0 … … … … (2)

𝑖2 = 2.3874 𝐴

−8𝑖2 + 33𝑖3 = 200 … … … … (4)

𝑖1 = 6.6393 𝐴

Del circuito, la corriente que fluye por la resistencia de 20 Ω es: 𝑖x = 𝑖3 − 𝑖4 𝑖x = 6.6393 − 10 Por lo tanto:

𝒊𝐱 = −𝟑. 𝟑𝟔𝟎𝟔 𝑨 El signo negativo indica que la corriente fluye en sentido contrario al que se supuso.

PROBLEMA 3:

RESOLUCIÓN:

Analizando la figura 4.62: Aplicando la Ley de Kirchhoff a la malla 1:

Aplicando la Ley de Kirchhoff a la malla 2:

−2 + 3𝑖1 + 4(𝑖1 − 𝑖2 ) + 1(𝑖1 − 𝑖3 ) = 0

4(𝑖2 − 𝑖1 ) + 𝑖2 = 0

−2 + 3𝑖1 + 4𝑖1 − 4𝑖2 + 𝑖1 − 𝑖3 = 0

4𝑖2 − 4𝑖1 + 𝑖2 = 0

8𝑖1 − 4𝑖1 − 𝑖3 = 2 … … … … (1)

−4𝑖1 + 5𝑖2 = 0 … … … … (2)

2 5 3 60 (2) Aplicando la Ley de Kirchhoff a la malla 3: 1(𝑖3 − 𝑖1 ) + 4𝑖3 = 0 𝑖3 − 𝑖1 + 4𝑖3 = 0 −𝑖1 + 5𝑖3 = 0 … … … … (3)

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Por lo tanto:

8𝑖1 − 4𝑖1 − 𝑖3 = 2 … … … … (1)

𝑖1 = 0.4347 𝐴

−4𝑖1 + 5𝑖2 = 0 … … … … (2)

𝑖2 = 0.3478 𝐴

−𝑖1 + 5𝑖3 = 0 … … … … (3)

𝑖1 = 0.0869 𝐴

Del circuito, la corriente 𝑖x es: 𝑖x = 𝑖3 − 𝑖2 𝑖x = 0.0869 − 0.3478 Por lo tanto:

𝒊𝐱 = −𝟎. 𝟐𝟔𝟎𝟗 𝑨 El signo negativo indica que la corriente fluye en sentido contrario al que se supuso....