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UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMÁTICAS

Laboratorio de Óptica “Coeficientes

de Fresnel”

Autor:

Gerardo Rodríguez Rodríguez

Fecha de realización: 15 de Junio del 2016 Fecha de entrega: 16 de Junio del 2016

RESUMEN Los coeficientes de Fresnel son parámetros que permiten medir la relación entre los campos eléctricos transmitido y reflejado cuando una onda experimenta un cambio en las propiedades del medio por el que se propaga. Cuando una onda electromagnética incide en la interfaz, o superficie de separación entre dos medios con distintos índices de refracción , una parte se transmitirá y otra se reflejará en el mismo. En está practica realizamos un arreglo experimental con un cristal con nombre SF15, para el cual calculamos su índice de refracción obteniendo experimentalmente el ángulo de Brewster, medimos la intensidad de la luz trasmitida y reflejada para cada una de las componentes de polarización para cuando n1n2 con las cuales generaremos las gráficas de las curvas de reflectancia y trasmitancia para cada una de los estados de polarización. Comprobamos los resultados obtenidos experimentalmente con los ya expresados en la teoría obteniendo similitudes en ellos, las pequeñas variaciones son debido a los errores experimentales que podemos presentar por pequeña variaciones en los instrumentos de medición.

INTRODUCCION Las ecuaciones de Fresnel, también conocidas como coeficientes de Fresnel, son un conjunto de relaciones matemáticas que relacionan las amplitudes de las ondas reflejadas y refractadas (o transmitidas) en función de la amplitud de la onda incidente. Como sabemos de la teoría, la ley de Snell nos da información sobre el ángulo al que la luz se refleja; pero no nos dice nada de cuanta intensidad de luz se refleja o cuanta se trasmite, de ahí la utilidad de los coeficientes de Fresnel. TEORIA Cuando una onda electromagnética que se desplaza por un medio caracterizado por un índice de refracción n1, incide sobre la interfaz con otro medio que posee un índice de refracción n2, una parte de la onda se refleja y otra porción se transmite al otro medio. Las fórmulas de Fresnel dan una descripción completa y detallada del comportamiento de la onda, tanto en la onda que se refleja como en la onda que se transmite al segundo medio. La dirección de propagación de una onda electromagnética es siempre perpendicular a sus vectores eléctricos y magnéticos, por lo que uno de estos vectores debe estar en el plano de incidencia. Por convicción utilizaremos la letra “s” para la polarización perpendicular, es decir para la polarización que apunta hacia fuera del plano de incidencia y la letra “p” para la polarización paralela, es decir para la polarización que continua paralela al plano de incidencia, como se muestran en la figura 1.

Figura 1.- Muestra el plano que tiene contenidos a los vectores de propagación de los rayos trasmitidos y reflejados.

Podemos calcular la refracción de la luz de la onda reflejada y trasmitida por la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción. Comenzaremos por considerar las condiciones de la interface para el campo eléctrico y magnético de las ondas i, r, t, primero para el caso “s” figura 2.

Figura 2.- Muestra el caso considerado para la luz con polarización perpendicular “s” al plano de incidencia.

Tenemos que el campo E en el plano de la interface es continuo y se encuentran en la dirección z, entonces es de la forma:

Ei ( x , z , t ) + Er ( x , z ,t )=E t (x , z , t)

(1),

Por otro lado el campo B en el plano de la interface también es continuo y se encuentra en el plano xy, tenemos que:

−B i( x , z , t ) cos θ i+Br ( x , z , t ) cos θ r=−Bt (x , z ,t )cos θ t

(2),

Las ecuaciones 1 y dos las podemos escribir como:

Tomando en cuenta que

B=

E c

y

Eoi + E0 r = E0 t

(3),

−B oi cos θ i+ B 0 r cos θr =−B 0 t cos θt

(4),

θi=θ r podemos reescribir la ecuación (4) como:

E 0 r−E 0 i c Sustituyendo

c=

c0 n

en la ecuación 5 tenemos:

cos θi=

−E 0 t cos θ t c

(5),

θi=−¿ nt E0 t cos θ t ni (E0 r − E0 i)cos ¿ Sustituyendo el valor de

(6),

E0 t de la ecuación 3 en la ecuación 6 tenemos: θi=−¿ nt (E 0 r +E0 i )cos θ t ni (E 0 r−E 0i )cos ¿

(8),

Reordenando los términos de la ecuación 8 tenemos:

E0 r [ ni cos θi +n t cos θt]=E0 i [ ni cos θi− nt cos θt ] Despejando

E0 r y

(9),

E0 i obtenemos el coeficiente de reflexión: r ⊥=

E0 r [ ni cos θi− nt cos θt ] = E 0 i [ ni cos θi +n t cos θt ]

(10),

Y de forma análoga podemos obtenemos el coeficiente de trasmisión que es:

t⊥=

2 [ ni cos θi ] E0 t = E 0 i [n i cos θ i+ nt cos θt ]

(11),

Las ecuaciones 10 y 11 son los coeficientes de Fresnel para la luz polarizada perpendicularmente “s”. De manera muy similar obtenemos los coeficientes de Fresnel para una luz polarizada paralela al plano de incidencia, entonces ahora el campo B es perpendicular al plano de incidencia y el campo E es paralelo, por lo que tenemos

B 0 i−B0 r= B0 t E0 i cos θi + E0 r cos θ r=E 0 t cos θt De manera similar a la anterior sustituimos los valores y despejamos la reflexión:

r ∥=

(12), (13),

E0 i y E0 r obteniendo los coeficientes de para

E0 r [ ni cos θt −n t cos θi ] = E0 i [ n i cos θ t +nt cos θi]

(14),

Y de manera análoga podemos obtener el coeficiente de trasmisión que es:

t ∥=

2 [ni cos θi ] E0t = E0 i [ ni cos θt + nt cos θi]

(15),

A partir de la ley de Snell podemos obtener las formas trigonométricas de los coeficientes de Fresnel, recordando la ley de Snell:

ni sin θi=nt sin θ t , Lo que implica que:

sin θi n t , sinθ t = ni Entonces la ecuación 10 podemos escribirla como:

r ⊥=

E0 r = E0i

[ [

cos θ i− cos θ i+

] ]

nt cos θt ni

nt ni

cos θ t

Que a la vez nos queda como:

r ⊥=

E0 r = E0i

[ [

cos θ i− cos θ i+

] ]

sin θi cos θt sin θ t

sin θ i cos θ t sin θt

La cual podemos escribir como:

r ⊥=

[ cos θi sin θt −sin θi cos θt ] [ cos θi sin θt +sin θ i cos θ t]

Por lo tanto tenemos:

r ⊥=

−[ cos(θi−θt ) ]

[ cos (θi +θt )]

(16),

de manera muy similar podemos expresar trigonométricamente todos los coeficientes de reflexión y trasmisión paralelos y perpendiculares:

r ∥=

[ tan (θi−θ t ) ] [ tan (θi +θt )]

θ i+θ t (¿) sen ¿ ¿ ¿ [2 sen θ t cos θi ] t⊥= ¿

(17),

(18),

θi + θt θi−θ t (¿) (¿)cos ¿ sen ¿ ¿ 2 sen θt cos θi ] [ t∥= ¿

(19),

ÁNGULO DE BREWSTER Supongamos que luz natural incide sobre una superficie transparente (por ejemplo de vidrio), bajo un determinado ángulo de incidencia i, se produce una reflexión de la luz, siendo el ángulo reflejado igual al incidente, y una refracción con un ángulo que designamos con θr. El haz reflejado presenta unas características diferentes que el refractado. Pero ambos están parcialmente polarizados, pero en el haz reflejado predomina la componente del vector E que está en una dirección paralela a la superficie de reflexión Ep (figura 3) y además existe un determinado ángulo de incidencia, llamado ángulo de Brewster, para el cual el haz reflejado está totalmente polarizado en la dirección paralela a la superficie, esto es, solamente existe la componente de E p del campo eléctrico, el vector E se puede descomponer en dos componentes perpendiculares entre sí, una que es perpendicular al plano de incidencia E p y otra contenida en ese plano E n. La luz incidente es luz no polarizada, mientras que la reflejada está polarizada linealmente en dirección paralela a la superficie de reflexión, en cambio la refractada se encuentra parcialmente polarizada, conservando las dos componentes del campo eléctrico. El ángulo θB para el que se produce una luz reflejada totalmente polarizada linealmente, se denomina ángulo de Brewster y entonces el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares.

Figura 3.Formalismo para el ángulo de Brewster.

Como el coeficiente

r ∥=

r ∥ pasa forzosamente por el valor cero lo que obliga al resultado trigonométrico

[ tan (θi−θ t ) ] =0 ⇒tan (θi−θ t )=∞ [ tan (θi +θt )]

Por lo tanto:

θi + θt =90 ° ⇒θt =90 °−θ i

Usando la ley de Snell obtenemos

ni sin θi=nt sin (90 °−θ i) 90 ° sin 90 °cos θi−sin θi cos ¿ ¿ θi =nt ¿ ni sin ¿ ∴n i sin θi =nt cos θi ⇒tan θi=

nt ni

Este ángulo de incidencia es llamado ángulo de polarización o ángulo de Brewster θB

nt ni tan ¿

θB =¿

(20),

En esta práctica calcularemos los coeficientes de Fresnel de un cristal, haciendo incidir una haz de luz sobre el mediremos la intensidad de luz que se trasmite y la que se refracta para elaborar sus gráficas, calcularemos el ángulo de Brewster experimentalmente para nuestro cristal y con la ayuda del ángulo critico calcularemos el índice de refracción del material con el cual está hecho nuestro cristal. METODO EXPERIMENTAL Realizamos un arreglo experimental como el que se muestra en la figura 4. El cual está conformado por un láser, un polarizador, una montura giratoria y un cristal semicircular SF-15, Para obtener las polarizaciones p y s, sabemos que el láser tiene una polarización lineal horizontal entonces colocamos el láser en una posición a 45° respecto de la horizontal y después colocaremos un polarizador con su eje de trasmisión horizontal para que deje pasar la componente paralela al plano de incidencia, luego lo colocaremos con su eje vertical para que deje pasar la componente perpendicular al plano de incidencia, así es como logramos obtener las polarizaciones p y s de nuestro láser.

Figura 4.- Arreglo experimental para el cálculo de los coeficientes de Fresnel.

Ya que encontramos las polarizaciones p y s de nuestro láser, colocaremos nuestro cristal en la base giratoria, lo giraremos lentamente, con un polarizador analizaremos la luz trasmitida para encontrar el ángulo de Brewster, después de esto le haremos incidir las dos polarizaciones p y s, mediremos la intensidad de luz trasmitida y reflejada, para realizar las

gráficas de los coeficientes de Fresnel, primero incidiremos de un medio n 1n2, esta configuración también nos ayudara para encontrar el ángulo critico de nuestro material para calcular su índice de refracción. RESUTLADOS Para el cálculo del ángulo de Brewster obtuvimos un ángulo de 32°±.5 calcularemos el índice de refracción de nuestro material usando:

nt ni tan ¿

θB =¿

Donde ni es nuestro coeficiente a encontrar, despejando tenemos

ni =

nt tan θ B

Sustituyendo los valores

ni =

1 =1.602 tan 32 °

En la teoría el ángulo de Brewster es 30.45° y el coeficiente de refracción es de 1.704. Para el cálculo del coeficiente de refracción con el ángulo crítico obtuvimos un ángulo de 36°±.5°, calcularemos el índice con la fórmula:

θi=sin

−1

nt ni

Sustituyendo los valores.

ni =

1 =1.703 sin 36 °

El ángulo critico reportado en la teoría para nuestro material es de 35.8° y el coeficiente de refracción es de 1.704, nuestros resultados se a cercaron a los reportados en la teoría. Las tablas y las gráficas que se muestran a continuación, son los parámetros obtenidos por la medición de la intensidad de la luz para las polarizaciones p y s. Tablas y gráficas para n1n2

angulo Ir It

0.4

error ±.5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Ir (volts)

0.3

0.2

0.1

0.0

0

30

60

angulo

Ir It volts volts error ±E-5 error ±E-5 0.2649 0.3545 0.2669 0.3545 0.2684 0.3525 0.271 0.3495 0.275 0.3456 0.278 0.3386 0.285 0.305 0.315 0 0.3385 0 0.34 0 0.34 0 0.345 0 0.348 0 0.349 0

Tabla y gráficas para la polarización perpendicular al plano de incidencia.

error ±.5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Ir It volts volts error ±E-5 error ±E-5 0.255 0.36405 0.272 0.3655 0.26965 0.36516 0.26454 0.36554 0.26669 0.36517 0.24521 0.36281 0.26474 0.35196 0.35673 0 0.35963 0 0.36012 0 0.36064 0 0.36365 0 0.36616 0 0.36641 0

Ir It

0.4

0.3

Ir (volts)

angulo

0.2

0.1

0.0

0

Tabla y gráficas para la polarización paralela al plano de incidencia

CONCLUCIONES

30

60

angulo

Los coeficientes de Fresnel nos ayudan a reforzar el conocimiento de cómo pasa la luz un medio transparente con un índice de refracción, esto junto con la ley de Snell no enseñan a entender un poco el comportamiento de la luz en los materiales. Los resultados obtenidos se asemejan mucho a los encontrados en la teoría, aunque tengo un poco de confusión en las gráficas, pero se asemejan mucho a las encontradas en la teoría, con la práctica logramos encontrar el índice de refracción de nuestro cristal aún me falta mejorar mucho en el cálculo de errores de los aparatos de medición. BIBLIOGRAFIA 1. Óptica, Eugene Hetc 4ta Ed. 2. Notas del curso de óptica, Dr. Mauricio Ortiz. 3. Manual De Laboratorio de Óptica, Dra. Maricarmen Peña Gomar....