Complemento Fundamentos de Probabilidad PDF

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estadistica y probabiulidad desccriptiva de todos los deerechos relacionados con el autor, todo esto es mio sin ningun pretexto todo esta pleneamento organizada...

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4

PROBABILIDAD I: IDEAS INTRODUCTORIAS

c a pít ulo

Objetivos • • •

Examinar el uso de la teoría de la probabilidad en la toma de decisiones Explicar las diferentes maneras en que surge la probabilidad Desarrollar reglas para el cálculo de diferentes tipos de probabilidades

•

Utilizar las probabilidades para tomar en cuenta nueva información: definición y uso del teorema de Bayes

Contenido del capítulo 4.1 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad 128 4.2 Terminología básica en probabilidad 129 4.3 Tres tipos de probabilidad 131 4.4 Reglas de probabilidad 137 4.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística 143 4.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística 151

4.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes 158 • Estadística en el trabajo 165 • Ejercicio de base de datos computacional 166 Términos introducidos en el • capítulo 4 168 • Ecuaciones introducidas en el capítulo 4 168 • Ejercicios de repaso 169

127

L

realizar apuestas parte deprobabilidades la Historia. Peropara no fue os jugadores han durante utilizadolaelmayor cálculo de las sino hasta el siglo XVII que el noble francés Antoine Gombauld (1607-1684) buscó la base matemática del éxito y el fracaso en las mesas de dados. Él le preguntó al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662): “¿Cuáles son las probabilidades de obtener dos seises al menos una vez en 24 tiradas de un par de dados?” Pascal le resolvió el problema y se interesó en el asunto de las probabilidades al igual que Gombauld. Compartieron sus ideas con el famoso matemático Pierre de Fermat (1601-1665), y las cartas que se escribieron entre sí estos tres personajes constituyen la primera revista académica sobre teoría de la probabilidad. No tenemos registro del grado de éxito obtenido por estos caballeros en las mesas de dados, pero sabemos que su curiosidad y sus investigaciones dieron origen a muchos de los conceptos que estudiaremos en este capítulo y el siguiente. ■

4.1 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad Primeros teóricos sobre probabilidad

Necesidad de la teoría de probabilidad

Ejemplos del uso de la teoría de probabilidad

128

Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (17021761) y Joseph Lagrange (1736-1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX , Pierre Simon, marqués de Laplace (1749-1827), unificó todas estas ideas y compiló la primera teoría general de probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante en nuestro estudio, a problemas sociales y económicos. La industria de seguros, que surgió en el siglo XIX , requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida, con el fin de calcular las primas. Medio siglo más tarde, muchos centros de aprendizaje estaban estudiando la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. En la actualidad, la teoría matemática de la probabilidad es la base para las aplicaciones estadísticas, tanto en investigaciones sociales como en la toma de decisiones. La probabilidad constituye parte importante de nuestra vida cotidiana. En la toma de decisiones personales y administrativas, nos enfrentamos a la incertidumbre y utilizamos la teoría de la probabilidad, admitamos o no el uso de algo tan complejo. Cuando escuchamos una predicción de 70% de posibilidades de lluvia, cambiamos nuestros planes de salir de día de campo y nos quedamos en casa divirtiéndonos con juegos de mesa. Cuando jugamos al bridge hacemos algunas estimaciones de probabilidad antes de intentar una jugada arriesgada. Los administradores que se encargan de inventarios de ropa de moda para mujer deben preguntarse sobre las posibilidades de que las ventas alcancen o excedan un cierto nivel. Antes de la tan publicitada pelea de Muhammed Alí contra Leon Spinks, se afirmaba que Alí había dicho: “Les apuesto a que todavía seré el más grande cuando termine la pelea.” Y cuando usted mismo empiece a estudiar para el examen del contenido de este libro, seguramente se preguntará: ¿cuál es la posibilidad de que el profesor nos pregunte algo sobre la historia de la teoría de la probabilidad? Vivimos en un mundo incapaz de predecir el futuro con certeza. Nuestra necesidad de encarar a la incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. En muchos casos, nosotros, como ciudadanos preocupados, tendremos algún conocimiento sobre los posibles resultados de una decisión. Al organizar esta información y considerarla de manera sistemática seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar una decisión más sólida de aquella que se tomaría si sólo diéramos palos de ciego.

Capítulo 4

Probabilidad I: ideas introductorias

Ejercicios 4.1 Aplicaciones ■

4-1

■

4-2

■

4-3

■

4-4

Las compañías aseguradoras usan la teoría de la probabilidad para calcular sus primas, pero las que manejan seguros de vida tienen la certeza de que cada asegurado va a morir. ¿Esto significa que la teoría de la probabilidad no se aplica a los seguros de vida? Explique su respuesta. “El uso de este producto puede ser peligroso para su salud. Este producto contiene sacarina, que ha demostrado producir cáncer en animales de laboratorio.” ¿De qué manera pudo haber desempeñado un papel la teoría de la probabilidad en la afirmación anterior?

¿Existe en realidad algo como “el riesgo no calculado”? Explique su respuesta. Una compañía embotelladora de refrescos muy conocida decide alterar la fórmula de su producto más antiguo y de mayor venta. ¿De qué manera la teoría de la probabilidad pudo estar implicada en la toma de tal decisión?

4.2 Terminología básica en probabilidad

Un evento

Un experimento

En general, la probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/ 6, 1/2, 8/ 9) o como decimales (0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre. En la teoría de la probabilidad, un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer algo. Al lanzar una moneda al aire, si cae cruz es un evento, y si cae cara es otro. De manera análoga, si sacamos una carta de un mazo de naipes, el tomar el as de espadas es un evento. Un ejemplo de evento que, quizá, esté más cercano a su quehacer diario es ser elegido de entre cien estudiantes para que responda a una pregunta. Cuando escuchamos las poco gratas predicciones del índice de mortalidad en accidentes de tránsito, esperamos no ser uno de tales eventos. En la teoría de probabilidad, la actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento. Utilizando un lenguaje formal, podríamos hacer la siguiente pregunta: en un experimento de lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad del evento cara? Y, desde luego, si la moneda no está cargada y tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de sus dos lados (sin posibilidades de que caiga parada), podríamos responder, “1/ 2” o “0.5”. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio muestral del experimento. El espacio muestral en el lanzamiento de una moneda es S ⫽ {cara, cruz}

Eventos mutuamente excluyentes

En el experimento de sacar una carta, el espacio muestral tiene 52 elementos: as de corazones, dos de corazones, etcétera. A la mayoría de las personas les emocionan menos el lanzamiento de monedas o elegir al azar las cartas que las preguntas como: ¿cuáles son las posibilidades de poder tomar ese avión a tiempo? o ¿cuáles son mis posibilidades de conseguir una segunda entrevista de trabajo? En resumen, estamos preocupados por la probabilidad de que ciertos eventos sucedan. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo. Considere de nuevo el ejemplo de la moneda. Tenemos dos resultados posibles: cara y cruz. En cualquier lanzamiento obtendremos una cara o una cruz, nunca ambas. En consecuencia, se dice que los eventos cara y cruz en un solo lanzamiento son mutuamente excluyentes. De manera parecida, usted puede pasar o reprobar una materia o, antes de que termine el curso, desertar y no obtener calificación. Solamente uno de esos tres resultados es posible, por tanto, se dice que son eventos mutuamente excluyentes. La pregunta fundamental que se debe formular al decidir si ciertos eventos son mutuamente excluyentes es: ¿pueden ocurrir dos o más de tales eventos al mismo tiempo? Si la respuesta es afirmativa, los eventos no son mutuamente excluyentes. 4.2

Terminología básica en probabilidad

129

Lista colectivamente exhaustiva

Cuando una lista incluye todos los eventos que pueden resultar de un experimento, se dice que la lista es colectivamente exhaustiva. En el ejemplo de la moneda, la lista —cara y cruz—, es colectivamente exhaustiva (a menos, por supuesto, que la moneda caiga parada cuando la lancemos). En una campaña presidencial, la lista de resultados “candidato demócrata y candidato republicano” no es una lista colectivamente exhaustiva, pues puede haber un candidato independiente o de algún otro partido que participe en las elecciones.

Ejercicios 4.2 Ejercicios de autoevaluación EA EA

4-1 4-2

Proporcione una lista colectivamente exhaustiva de los resultado posibles al lanzar dos dados. Dé la probabilidad de cada uno de los siguientes totales al lanzar dos dados: 1, 2, 5, 6, 7, 10 y 11.

Conceptos básicos ■

4-5

■

4-6

■

4-7

¿Cuáles de los siguientes son parejas de eventos mutuamente excluyentes al sacar una carta de un mazo de 52 barajas? a) Un corazón y una reina. b) Una espada y una carta roja. c) Un número par y una espada. d) Un as y un número impar. ¿Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes al lanzar dos dados? a) Un total de cinco puntos y un cinco en un dado. b) Un total de siete puntos y un número par de puntos en ambos dados. c) Un total de ocho puntos y un número impar de puntos en ambos dados. d) Un total de nueve puntos y un dos en uno de los dados. e) Un total de diez puntos y un cuatro en un dado. Un bateador deja pasar todos los lanzamientos de su turno en el juego. Proporcione el espacio muestral de resultados para los siguientes experimentos en términos de bolas y strikes: a) Dos lanzamientos. b) Tres lanzamientos.

Aplicaciones ■

4-8

■

4-9

■

4-10

■

4-11

Considere una pila de nueve cartas todas de espadas, numeradas del 2 al 10, y un dado. Proporcione una lista colectivamente exhaustiva de los resultados posibles al lanzar el dado y destapar una carta. ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral? Considere la pila de cartas y el dado del ejercicio 4-8. Proporcione la probabilidad de cada uno de los siguientes totales al sumar los valores del dado y de la carta: 2

130

3

8

9

12

14

16

En una reciente asamblea de los miembros de un sindicato que apoyan a Joe Royal como su presidente, el líder de los seguidores de Royal afirmó: “Tenemos buenas posibilidades de que Royal derrote al único oponente en la elección.” a) ¿Cuáles son los “eventos” que podrían resultar de la elección? b) ¿La lista que hizo es colectivamente exhaustiva? ¿Son los eventos de la lista mutuamente excluyentes? c) Sin tomar en consideración el comentario de sus seguidores y sin tener ninguna información adicional, ¿qué probabilidad asignaría usted a cada evento? La compañía telefónica Southern Bell está planeando la distribución de fondos para una campaña con el fin de aumentar las llamadas de larga distancia en Carolina del Norte. La siguiente tabla es una lista de los mercados que la compañía considera valiosos para enfocar su promoción:

Capítulo 4

Probabilidad I: ideas introductorias

Porción de mercado

Costo de la campaña especial dirigida a cada grupo

Minorías Empresarios Mujeres Profesionistas y trabajadores de oficina Obreros

$350,000 $550,000 $250,000 $200,000 $250,000

Hay una cantidad de hasta $800,000 disponible para estas campañas. a) ¿Las porciones de mercado que se enumeran en la tabla son colectivamente exhaustivas? ¿Son mutuamente excluyentes? b) Haga una lista colectivamente exhaustiva y mutuamente excluyente de los eventos posibles de la decisión sobre gastos. c) Suponga que la compañía ha decidido gastar los $800,000 en campañas especiales. ¿Esta circunstancia cambia la respuesta que dio en el inciso b)? Si la respuesta es afirmativa, ¿cuál es su nueva respuesta?

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA

EA

4-1

4-2

(Dado 1, dado 2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

P(1) ⫽ 0/36, P(2) ⫽ 1/36, P(5) ⫽ 4/36, P(6) ⫽ 5/36, P(7) ⫽ 6/36, P(10) ⫽ 3/36, P(11) ⫽ 2/36.

4.3 Tres tipos de probabilidad Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad; éstas representan planteamientos conceptuales bastante diferentes para el estudio de la teoría de probabilidad. De hecho, los expertos no se ponen de acuerdo sobre cuál planteamiento es el más apropiado. Empecemos definiendo 1. El planteamiento clásico. 2. El planteamiento de frecuencia relativa. 3. El planteamiento subjetivo.

Probabilidad clásica Definición de probabilidad clásica

El planteamiento clásico define la probabilidad de que un evento ocurra como: Probabilidad de un evento número de resultados en los que se presenta el evento Probabilidad de un evento ⫽ᎏ ᎏ número total de resultados posibles

[4-1]

Se debe resaltar el hecho de que, con el fin de que la ecuación 4-1 sea válida, cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posible. Ésta es una manera bastante complicada de definir algo que nos puede parecer intuitivamente obvio, pero podemos utilizar la definición para escribir los ejemplos del lanzamiento de la moneda y de los dados de una manera simbólica. Primero plantearemos la pregunta ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento? como P(cara) 4.3

Tres tipos de probabilidad

131

Luego, utilizando términos formales, obtenemos 1 P(cara) ⫽ ᎏ 1⫹1 1 ⫽ 0.5 o ᎏ 2

Número de resultados posibles en un lanzamiento en los que se presente el evento (en este caso, el número de resultados que producirán una cara)

Número total de resultado posibles en un lanzamiento (una cara y una cruz)

Y para el ejemplo del lanzamiento de dados: 1 P(5) ⫽ ᎏ 1⫹1⫹1⫹1⫹1⫹1 1 ⫽ᎏ 6 Probabilidad a priori

Limitaciones del planteamiento clásico

Número de resultados en un solo lanzamiento del dado que producirá un 5

Número total de resultados posibles al lanzar una sola vez el dado (se obtiene un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un 6)

A la probabilidad clásica, a menudo, se le conoce como probabilidad a priori, debido a que si empleamos ejemplos ordenados como monedas no alteradas, dados no cargados y mazos de barajas normales, entonces podemos establecer la respuesta de antemano (a priori) sin necesidad de lanzar una moneda, un dado o tomar una carta. No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones sobre las monedas, los dados no cargados y las barajas normales. En lugar de experimentos, podemos basar nuestras conclusiones en un razonamiento lógico antes de realizar el experimento. Este planteamiento de la probabilidad es útil cuando tratamos con juegos de cartas, de dados, lanzamientos de monedas y cosas parecidas, pero tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo a los problemas de toma de decisiones menos previsibles, como los que encontramos en la administración. El planteamiento clásico de probabilidad supone un mundo que no existe. Supone que no existen situaciones que son bastante improbables pero que podemos concebir como reales. Sucesos como que una moneda caiga parada, que el salón de clase se incendie mientras se analiza la probabilidad, y que se encuentre comiendo pizza mientras realiza un viaje al polo Norte son extremadamente improbables, pero no imposibles. Sin embargo, el planteamiento clásico supone que no existen. La probabilidad clásica supone también una especie de simetría en el mundo, y esta suposición también puede ocasionarnos problemas. Las situaciones de la vida real, desordenadas y poco probables como son a menudo, hacen que sea útil definir la probabilidad de otras formas.

Frecuencia relativa de presentación Suponga que empezamos por hacernos preguntas complejas como: ¿cuál es la probabilidad de que yo viva hasta los 85 años?, ¿cuáles son las posibilidades de que dañe las bocinas de mi aparato de música si subo el volumen del amplificador de 200 watts a todo lo que da? o ¿cuál es la probabilidad de que la instalación de una nueva planta de papel a las orillas del río cercano a nuestro pueblo ocasione una significativa desaparición de peces? Rápidamente nos damos cuenta de que no somos capaces de emitir una respuesta por adelantado, sin antes hacer algo de experimentación, sobre cuáles son esas probabilidades. Otros planteamientos pueden resultar de más utilidad. En el siglo XIX , los estadísticos británicos, interesados en la fundamentación teórica del cálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales, empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. En la actualidad, a este planteamiento se le llama frecuencia relativa de presentación de un evento y define la probabilidad como:

Redefinición de probabilidad

1. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos o; 2. la fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Uso del planteamiento de frecuencia relativa de presentación

132

Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como probabilidad. Determinamos qué tan frecuentemente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. Veamos un ejemplo: suponga que

Capítulo 4

Probabilidad I: ideas introductorias

FIGURA 4-1 Frecuencia relativa de presentación de caras en 300 lanzamientos de una moneda no alterada

Frecuencia relativa

1.0

0.5

0

50

100

150

200

250

300

Número de lanzamientos

una compañía de seguros sabe, por la información obtenida de los datos actuariales registrados, que de los hombres de 40 años de edad, 60 de cada 100,000 morirán en un periodo de un año. Utilizando este método, la compañía estima la probabilidad de muerte de ese grupo de edad en particular como: 60 ᎏ , o 0.0006 100,000 Más intentos, mayor precisión

Una limitación de la frecuencia relativa

Una segunda característica de las probabilidades establecidas por la frecuencia relativa de presentación de un evento puede ponerse en evidencia si lanzamos una de nuestras monedas no alteradas 300 veces. En la figura 4-1 se ilustra el resultado de esos 300 l...