PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD. PROBABILIDAD CONDICIONADA PDF

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Apuntes acerca de las propiedades de la probabilidad del tema 1 de Estadística II o estadística avanzada del doble grado en FICO+RRLL+RRHH. Profesor: Javier Gamero Rojas....

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PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD. PROBABILIDAD CONDICIONADA 1. Propiedades de la probabilidad A partir de los tres axiomas de la definición de probabilidad, se pueden demostrar varias propiedades de importancia básica para el uso de la misma. Propiedades 1) 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴), en donde 𝐴 es el complementario respecto a E 2) 𝑃(∅) = 0 3) 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) 4) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), ∀𝐴, 𝐵 sucesos Demostración: 1) 𝐴 complementario de 𝐴 ⇒ 𝐴 ⊔ 𝐴 = 𝐸 ⇒ 𝑃(𝐴 ⊔ 𝐴) = 𝑃(𝐸) ⇒ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴) = 1 ⇒ 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴) 2) El conjunto es el complementario del espacio total E, por tanto, aplicando la propiedad anterior se obtiene el resultado. 3) Cualquier conjunto B se puede descomponer en dos partes disjuntas: la parte común con otro conjunto A y la parte que no es común con A: 𝐵 = ( 𝐵 ∩ 𝐴) ⊔ ⏟ (𝐵 ∩ 𝐴) 𝐵−𝐴

Como A es un subconjunto de B la intersección entre ellos es A. Entonces: 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 − 𝐴) Como P(B-A) tiene que ser >= 0, P(B) tiene que ser mayor o igual que P(A). 4) La unión 𝐴 ∪ 𝐵 está compuesta por tres partes disjuntas: los elementos que sólo están en A, los que sólo están en B y los que están en ambos. Entonces: 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵) ⊔ (𝐴 − 𝐵) ⇒ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐵 − 𝐴)

𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴) ⊔ (𝐵 − 𝐴) ⇒ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) + 𝑃(𝐵 − 𝐴)

𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ⊔ (𝐵 − 𝐴) ⊔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴 − 𝐵) + 𝑃(𝐵 − 𝐴) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

 (Ver ejemplos de propiedades de la probabilidad en el documento de ejemplos.)

En estas propiedades están tratadas las principales operaciones entre conjuntos, excepto la intersección, que necesita un tratamiento más complicado. Para ello se necesitan los conceptos de probabilidad condicionada e independencia entre suceso. Ambos conceptos representan un segundo nivel de complejidad y son importantes en las aplicaciones del cálculo de probabilidades más allá de un nivel básico. 2. Variable condicionada, suceso condicionado, probabilidad condicionada Una variable aleatoria condicionada a un suceso consiste en la restricción de los posbles valores de la variable a que estén en ese suceso. Por ejemplo, “resultado de una tirada de un dado de 6 caras, sabiendo que el resultado es par” es el dado normal restringido o limitado sólo a los números pares 2, 4 y 6. En este caso el suceso condicionante es {2,4,6}, que pasa a ser el nuevo espacio total de la variable condicionada o restringida por ese suceso. Otro ejemplo podría ser “beneficio de una inversión, suponiendo que ha resultado positivo”. En este caso se considera la variable beneficio de esa inversión sólo en los casos en que sea positiva. El conjunto condicionante sería el formado por todos los valores positivos que puede tomar el beneficio. Definición de variable condicionada Sea X una v.a. y sea A un suceso suyo, la variable “X condicionada a A” anotada como X/A o X|A será la variable dada por las siguientes características: 1) El espacio total de la variable X|A será A. 2) La probabilidad de un suceso suyo 𝐶 será dada por: 𝑃(𝑋|𝐴 ∈ 𝐶) =

𝑃(𝑋 ∈ 𝐶) 𝑃(𝑋 ∈ 𝐴)

Dicho esto, es de interés considerar lo siguiente:  Cada suceso B de X corresponde con un suceso de X|A consistente en la parte de B que esté en el espacio total A, es decir, el suceso formado por los elementos de 𝐵 ∩ 𝐴. A dicho suceso de X|A se le anotar como B|A (“B condicionado a A”). Nótese que, como conjunto, 𝐵 ∩ 𝐴 está formado por los mismos elementos que B|A, pero en esta segunda forma, se interpreta como suceso de la variable condicionada X|A, mientras que en la primera se interpreta como suceso de X.  Del comentario anterior y de la característica 2 de la definición de variable condicionada se deduce lo siguiente: Sean A y B sucesos de X, entonces B|A es el suceso B condicionado a A y es un suceso de la variable condicionada X|A. Su probabilidad sería: 𝑃(𝑋|𝐴 ∈ 𝐵|𝐴) =

𝑃(𝑋 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝑋 ∈ 𝐴)

O simplemente 𝑃(𝐵|𝐴) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴)

Cuando un suceso aparece sin condicionar se sobreentiende que es un suceso de la variable no condicionada X. Definición A B|A se le llama suceso condicionado y a P(B|A) se le denomina probabilidad condicionada. (Ver ejemplos de probabilidad condicionada en el documento de ejemplos.) 3. Independencia de sucesos Definición Sean A y B dos sucesos de una variable X, se dice que A es independiente de B si 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵), es decir, el condicionamiento no afecta a la probabilidad de A. Dicho de otra forma, el saber que se da el suceso B, no altera la probabilidad de que ocurra A. La definición anterior se complementa con la siguiente propiedad, que hay que entender como tres definiciones equivalentes de independencia de sucesos. Propiedad de equivalencia de definiciones Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes entre sí. 1) A es independiente de B 2) B es independiente de 3) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵) Demostración: Veremos que (1) ⇔ (3) ⇔ (2). El símbolo ⇔ indica una implicación o deducción en ambos sentidos.

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ⇔ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵) ⇔ (3) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) (3) ⇔ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵) ⇔ 𝑃(𝐵) = ⇔ 𝐵 es independiente de 𝐴 ⇔ (2) 𝑃(𝐴)

(1) ⇔ 𝐴 independiente de 𝐵 ⇔ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵) =

En consecuencia, es lo mismo decir que A es independiente de B como que B es independiente de A como que A y B son independientes entre sí.

 La afirmación (3) da una forma muy importante para calcular la probabilidad de la intersección cuando los sucesos son independientes. Probabilidad de la intersección Combinando las definiciones de probabilidad condicionada y de independencia de sucesos tenemos todas las formas que hemos explicitado para clacular la probabilidad de una intersección: 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵|𝐴) 𝑃(𝐵) · 𝑃(𝐴|𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = { 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵), si A y B son independientes. Nótese que las dos primeras expresiones vienen de la definición de probabilidad condicionada. A pesar de que se pueden aplicar en todos los casos, la aparición de una probabilidad condicionada hace que su cálculo sea frecuentemente más complicado. Propiedad de independencia de complementarios .  , 𝐴 con B y 𝐴 con 𝐵 Si A y B son sucesos independientes, entonces también lo son A con 𝐵 Demostración: 𝐴, 𝐵 independientes ⇒ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵)  ) ⊔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ) + ⏟ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃(𝐴)(1 − 𝑃(𝐵)) = 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵 𝑃(𝐴)·𝑃(𝐵)

 ) ⇒ 𝐴, 𝐵 independientes = 𝑃(𝐴) · 𝑃 (𝐵

De la misma manera, intercambiando las letras A y B, demostraríamos que Ac y B son independientes. Sea C = Bc, entonces hemos demostrado que A y C son independientes. Por el razonamiento del párrafo anterior, Ac sería independiente de C, es decir, de Bc.  Esto significa que la independencia se transmite o “contagia” a los complementarios....