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Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área Educación Programa: Educación L.L.L. e Ingles Unidad Curricular: Matemática Lapso Académico 2021

Unidad I

Lógica Lógica es una ciencia formal que estudia la estructura o formas del pensamiento humano (como proposiciones, conceptos y razonamientos) para establecer leyes y principios válidos para obtener criterios de verdad. Como adjetivo, 'lógico' o 'lógica' significa que algo sigue las reglas de la lógica y de la razón. La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.

CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida. Las oraciones lógicas son aquellas sobre las cuales se puede decir si son verdaderas o falsas. Este tipo de enunciados son los que se utilizan para expresar y transmitir conocimientos.

Prof. JOHN JAIMES

Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área Educación Programa: Educación L.L.L. e Ingles Unidad Curricular: Matemática Lapso Académico 2021 La lógica formal hace referencia sobre a la lógica que estudia la estructura del pensamiento, sin interés en la veracidad de los contenidos. Tenemos variedad de ejemplos por mencionar algunos: El gato es negro, el de mi vecina es blanco, por lo tanto, los gatos son blancos y negros. La lógica proposicional o lógica de orden cero es la rama de la lógica matemática que estudia proposiciones, afirmaciones u oraciones, los métodos de vincularlas mediante conectores lógicos y las relaciones y propiedades que se derivan de esos procedimientos. Es una herramienta útil para razonar, pero no puede resolver problemas que requieren analizar la estructura interna de las proposiciones o de las relaciones entre ellas. Este tipo de lógica considera las proposiciones como elementos atómicos y no tiene cuantificadores o variables de entidad. En esta unidad, estudiaremos sus componentes, las formas en las que se combinan y diferentes métodos para realizar demostraciones básicas. En particular nos enfocaremos en un tipo específico de lógica proposicional donde los valores de verdad de las expresiones se pueden determinar exclusivamente a partir de los valores de verdad de sus componentes y donde cada proposición puede tener únicamente dos valores posibles: verdadero o falso, pero no otros valores y solamente uno de ellos (las proposiciones no pueden ser falsas y verdaderas al mismo tiempo). Para comunicarnos, ya sea de forma escrita o verbal, usamos enunciados. Los enunciados son las unidades mínimas del lenguaje que pueden transmitir un mensaje y pueden ser aseverativos, imperativos, interrogativos o exclamativos. Los enunciados imperativos transmiten una orden, los interrogativos solicitan información, los exclamativos expresan emociones y los aseverativos que transmiten información que se puede evaluar como falsa o verdadera. Los siguientes son ejemplos de los diferentes tipos de enunciados:

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Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área Educación Programa: Educación L.L.L. e Ingles Unidad Curricular: Matemática Lapso Académico 2021 Tipos oraciones

Características

Ejemplo

Enunciativas O Declarativas

Transmiten una información. Pueden ser afirmativas o negativas

Ha llegado (afirmativa) No ha llegado aún (negativa)

Interrogativas

Plantean una pregunta de forma directa o indirecta

¿Estás sola? (directa) No sé si estás sola (indirecta)

Exclamativas

Expresamos con ellas emociones, sentimiento, como sorpresa, alegría, euforia...

¡He aprobado!

Exhortativas

Expresan un ruego, un consejo... o una orden.

Ven inmediatamente.

Desiderativas

Con ellas formulamos un deseo. El verbo suele estar en subjuntivo.

¡Ojalá tengas suerte!

Dubitativas

Expresan duda, incertidumbre.

Quizás el año que viene nos mudemos de casa

En la lógica proposicional nos interesan los enunciados Declarativos y se les llama proposiciones. La lógica se interesa por este tipo de enunciados porque se les puede asignar un valor de verdad, ya sea falso (la información es incorrecta) o verdadero (la información es correcta). En esta unidad nos interesan únicamente las expresiones declarativas o proposiciones que cumplen con estas características: •

Solo pueden tener uno de los siguientes valores de verdad: o

Verdadero: Usualmente representado con la letra

o

Falso: Usualmente representado con la letra

. .

•

No pueden ser falsas y verdaderas al mismo tiempo.

•

Su valor de verdad de pende únicamente de las proposiciones mismas y no de factores externos.

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Los siguientes son algunos ejemplos de proposiciones con sus correspondientes valores de verdad:

Proposición

Valor de verdad

El año empieza con el mes de enero.

Cuando está soleado se siente calor.

En invierno no es agradable sentir el frío.

1+1=2

Marte está lleno de marcianitos.

5 * 9 = 59

Las primeras cuatro proposiciones son verdaderas y se dice que su valor es V, mientras que las últimas dos son falsas y su valor es F. Dentro de las proposiciones verdaderas, la última (1+1=2) no representa ninguna palabra o frase, sin embargo, es una expresión matemática verdadera. Y lo mismo pasa con la proposición (5*9=59), cuyo valor lógico es falso. No es necesario que una

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Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área Educación Programa: Educación L.L.L. e Ingles Unidad Curricular: Matemática Lapso Académico 2021 proposición sea una expresión verbal, simplemente necesitamos poder determinar el valor de verdadero o falso.

Concepto formal de Proposiciones Una proposición es una oración declarativa de la cual se dispone de un criterio que nos permite asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez. Ejemplos: a) El hierro es un metal. b) La nieve es blanca. c) 4 + 8 = 12. d) Alejandro Magno nació en Cuba. e) Las hojas de los árboles son de cristal. f) 3/7 < 2. g) Hacer con bueno tan. h) x − √ 5 = pero triángulo como. i) La tierra es plana. j) −17 + 38 = 21. k) x > y − 9 l) El Táchira será campeón en la presente temporada de Futbol. m) Hola ¿como estas? n) Lava el coche por favor. Los a), b), c), d), e) f), i), j), k) y l) ejemplos son proposiciones, pues para cada una de ellas se dispone de un criterio (químico, óptico, aritmético, histórico, botánico) que nos permite afirmar que las tres primeras son verdaderas y que Prof. JOHN JAIMES

Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área Educación Programa: Educación L.L.L. e Ingles Unidad Curricular: Matemática Lapso Académico 2021 las tres siguientes son falsas. En cambio, los ejemplo g), h), m) y n) no son proposiciones, ya que no existe ningún tipo criterio que nos permita dilucidar sobre la veracidad o falsedad de su contenido.

Clasificación de las proposiciones Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado. Ejemplos: a) El diamante es un mineral. b) El Danubio es un río de Austria. Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de una, dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos. Ejemplos: a) El diamante es un mineral y el Danubio es un río de Austria. Representación Como la lógica proposicional no se ocupa de las relaciones entre las proposiciones ni de características que estas puedan tener además de su valor de verdad, podemos representarlas utilizando letras sencillas. Por ejemplo, podemos usar la letra p para representar alguna de las siguientes afirmaciones dependiendo del trabajo que estamos realizando: •

Mi perro es negro.

•

La tierra es una esfera.

Sin embargo, en un momento dado p solo puede representar una de las proposiciones. Si necesitamos representarlas ambas en el mismo trabajo

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Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área Educación Programa: Educación L.L.L. e Ingles Unidad Curricular: Matemática Lapso Académico 2021 debemos usar letras adicionales como q, r o t y si se nos acaban las letras podemos usar subíndices:

p Mi perro es negro. q La tierra es una esfera. Usar letras mayúsculas del alfabeto latino es simplemente una convención y no hay nada que nos impida utilizar otro tipo de elementos para representar las proposiciones y de hecho otros textos o cursos sobre lógica proposicional usan otras convenciones. Por ejemplo, podríamos usar letras minúsculas, pequeñas figuras geométricas, los símbolos de las cartas (♠, ♣, ♥ y ♦) o letras del alfabeto cirílico (Ж, Й, Б, etc.) Otra convención útil que adoptaremos es usar letras minúsculas del alfabeto griego para representar proposiciones genéricas. Una letra mayúscula como p representa una proposición específica como «existe vida en otros planetas» aunque su valor de verdad puede ser desconocido para nosotros. Por su parte, una letra minúscula griega como β o como Ω representan una proposición (o una combinación válida de proposiciones) genérica y se usan comúnmente para describir el lenguaje y métodos de la lógica proposicional. Proposiciones compuestas Las proposiciones individuales se llaman proposiciones atómicas ya que no es posible descomponerlas en elementos más sencillos. Sin embargo, si es posible combinarlas para crear estructuras más complejas. Por ejemplo, podemos afirmar cosas como: «mi carro es rojo» y «el elefante es grande» y combinar ambas proposiciones de diversas maneras: •

Mi carro es rojo y el elefante es grande.

•

Mi carro es rojo o el elefante es grande.

•

Si el elefante es grande entonces mi carro es rojo.

•

No es cierto que mi carro es rojo o que el elefante es grande.

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Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área Educación Programa: Educación L.L.L. e Ingles Unidad Curricular: Matemática Lapso Académico 2021 Si le asignamos la letra p a la afirmación «mi carro es rojo» y la letra q a la afirmación «el elefante es grande», los ejemplos anteriores se representarían así: •

p y q.

•

p o q.

•

Si p entonces q.

•

No es cierto que p o que q

Las palabras que aparecen entre las letras representando las proposiciones se llaman conectivos lógicos y tienen significados precisos que conoceremos en las próximas clases. Los conectivos son las que permiten que combinemos las proposiciones y que descubramos información nueva a partir de la existente mediante procesos de razonamiento estructurado. Resumen •

Las proposiciones son enunciados Declarativos que transmiten información.

•

Las proposiciones pueden ser Atómicas o Moleculares

•

Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, pero no pueden tener ambos valores al mismo tiempo.

•

Las proposiciones no pueden tener ningún valor de verdad que no sea verdadero (V) o falso (F).

•

Las proposiciones se representan con letras individuales minúsculas ya que solo su valor de verdad es de interés en este contexto.

•

Los conectivos lógicos nos permiten combinar proposiciones atómicas para obtener proposiciones moleculares

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