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Fundamentos de Matemática - 2020BCapítulo 2: Introducción a la Teoría de ConjuntosPreparado por:la Cátedra de Fundamentos de Matemática - EPNCapítulo 1ConjuntosResultados de aprendizajeConocimientos: Enunciar las definiciones de las relaciones igualdad y subconjunto. Explicar la diferencia entre las...

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Fundamentos de Matemática - 2020B Capítulo 2: Introducción a la Teoría de Conjuntos Preparado por: la Cátedra de Fundamentos de Matemática - EPN

Índice general 1

Conjuntos 1.1 Conceptos primitivos de la teoría de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . 1.2

1.1.1 Lenguaje y sintaxis . . . . . . . . Axiomas para los conceptos primitivos 1.2.1 Conjuntos y clases propias . . . 1.2.2 Relaciones igual y subclase . . .

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Axioma de construcción de clases Operaciones entre clases . . . . . . Axioma de la unión . . . . . . . . . Diagramas de Venn . . . . . . . . .

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. 17 . 25 . 33 . 34

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1.3.4 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Partes de un conjunto . . . . . . . . . . . Los términos “extensión” y “comprensión” . . . Los conjuntos sobreviven la paradoja de Russell

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. 46 . 50 . 51 . 54

1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.3

1.4 1.5 1.6 1.7

3 3

Conjuntos . . . . . . . . . 1.3.1 Conjunto unitario . 1.3.2 Par desordenado . 1.3.3 Par ordenado . . .

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4 9 9 10

39 39 41 44

Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.7.1 Repaso Método de demostración Reducción al absurdo . . . . 65

1

Capítulo 1

Conjuntos Resultados de aprendizaje Conocimientos: 1. Enunciar las definiciones de las relaciones igualdad y subconjunto. 2. Explicar la diferencia entre las relaciones pertenece y subconjunto. 3. Enunciar el procedimiento para construir conjuntos. 4. Enunciar las definiciones y propiedades de las operaciones entre conjuntos. 5. Enunciar las definiciones y propiedades de conjunto ordenado, par desordenado, par ordenado y producto cartesiano. 6. Explicar la diferencia entre par desordenado y par ordenado.

Destrezas: 1. Aplicar las definiciones de igualdad y subconjunto. 2. Aplicar el procedimiento para la construcción de conjuntos. 3. Justificar los argumentos en una demostración de propiedades de las operaciones entre conjuntos.

1.1

Conceptos primitivos de la teoría de Conjuntos

En este capítulo, vamos a emprender el estudio de la Teoría de Conjuntos sobre la base de la Lógica de proposiciones a la que añadiremos cuantificadores, los utilizaremos informalmente. Esto nos permitirá abordar cuanto antes el concepto de conjunto y sus propiedades fundamentales para estudiar los números reales y las funciones. Por otra parte, que la Teoría de Conjuntos se construya sobre la base de la Lógica de proposiciones quiere decir que los conceptos, axiomas y demás de esta son también conceptos, axiomas y demás de aquella. 3

La Teoría de conjuntos tiene dos conceptos primitivos: clase y relación pertenencia. Antes de enunciar los axiomas que los definirán implícitamente, presentaremos el lenguaje de esta teoría y su sintaxis correspondiente.

1.1.1

Lenguaje y sintaxis

El lenguaje de la Teoría de Conjuntos consiste de: 1. Letras mayúsculas del alfabeto español: A, B, C, . . . , X, Y, Z. para representar clases. Diremos, por ejemplo, “la clase X ”, “la clase B”, etcétera. 2. El signo

∈ representará el concepto primitivo relación pertenencia. La sintaxis para este signo es la siguiente: A ∈ B. Es decir, se escribe entre dos clases únicamente y se lee: “la clase A pertenece a la clase B”. A menudo se omitirán la palabra “clase” y se dirá simplemente: “A pertenece a B”. 3. Las proposiciones de la Teoría de Conjuntos se definen recursivamente así: i. A ∈ B es una proposición de la Teoría de Conjuntos. ii. Si A y B representan proposiciones de la Teoría de conjuntos,

¬A ,

A ∧ B,

A ∨ B,

A ⇒B

y

A ⇔ B,

también representan proposiciones de esta teoría. iii. Una proposición de la Teoría de Conjuntos se obtiene únicamente por la aplicación de las dos reglas anteriores. La negación de A ∈ B,

¬(A ∈ B), será representada por A 6∈ B y se dirá “A no pertenece a B” EPN - Noviembre - 2020

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en lugar de “la negación de A pertenece a B”. Por ejemplo, dado que X ∈ Y y Y ∈ Z son proposiciones, también lo son X ∈ Y ∧ Y ∈ Z,

X 6∈ Y ⇒ Y ∈ Z,

Y ∈ Z ∨ X 6∈ Y.

Como se indicó al inicio de esta sección, no incluiremos formalmente los cuantificadores universal y existencial. En su lugar, utilizaremos las siguientes expresiones: para todas las clases X, para toda clase X, para cualquier clase X, existe una clase X, para alguna clase X. Principalmente, utilizaremos estas expresiones de las siguientes formas: C 1 : Se deduce (se tiene) la proposición A para toda clase X . C 2 : Para toda clase X, se deduce (se tiene) la proposición A . C 3 : Existe una clase X tal que se deduce (se tiene) la proposición A . C 4 : Se deduce (se tiene) la proposición A para alguna clase X . Los enunciados C 1 y C 2 significan lo mismo; igualmente, los enunciados C 3 y C 4 . Por último, las negaciones de estos enunciados1 se rigen por las siguientes reglas: 1. Negación universal : la negación de para toda clase X, se tiene A es existe una clase X tal que se tiene ¬A , lo que también se expresará así: existe una clase X tal que no se tiene A . 2. Negación existencial : la negación de existe una clase X tal que se tiene A es para toda clase X, se tiene ¬A , que se expresará también así: 1 Notemos que estos enunciados pertenecen al español, lenguaje mediante el cual estamos describiendo la Teoría de Conjuntos (que tiene, como hemos visto, su propio lenguaje) y podemos hablar de sus “negaciones” o sus “contrarios”.

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para toda clase X, no se tiene A . 3. En lugar de hablar de la negación de estas dos expresiones, se dirá también “lo contrario de . . . ”. 4. El uso de la puntuación (la coma) es importante. Obsérvense los cuatro enunciados C. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos: Negaciones universal y existencial

1. La negación de para toda clase X, se tiene que X∈A es existe una clase X tal que se tiene X 6∈ A. 2. La negación de para toda clase Y, se deduce que Y 6∈ B es para alguna clase Y, se tiene que

¬(Y 6∈ B). Pero, dado que

¬(Y 6∈ B) ≡ Y ∈ B, la negación del primer enunciado es para alguna clase Y, se tiene que Y ∈ B, porque si se deduce ¬(Y 6∈ B), también se deduce Y ∈ B, pues ambas proposiciones son equivalentes lógicamente. 3. La negación de

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existe una clase Z tal que se tiene que A∈Z es para toda clase Z, se tiene que A 6∈ Z. En el Español, este enunciado también puede decirse de la siguiente manera: para ninguna clase Z, se tiene que A ∈ Z. Usaremos ambas maneras de expresar la negación del primer enunciado. 4. La negación de para toda clase X, se deduce que X∈A⇒X∈B es existe una clase X tal que se tiene

¬(X ∈ A ⇒ X ∈ B). Pero, dado que

¬(X ∈ A ⇒ X ∈ B) ≡ X ∈ A ∧ X 6∈ B, la negación es existe una clase X tal que se tiene X ∈ A ∧ X 6∈ B. 5. La negación de para alguna clase Z, se tiene que Z ∈ A∧Z ∈ B es para toda clase Z, se tiene que

¬(Z ∈ A ∧ Z ∈ B).

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Ahora bien, como tenemos que

¬(Z ∈ A ∧ Z ∈ B) ≡ Z 6∈ A ∨ Z 6∈ B y también que Z 6∈ A ∨ Z 6∈ B ≡ Z ∈ A ⇒ Z 6∈ B, por la propiedad transitiva de la equivalencia lógica, concluimos que

¬(Z ∈ A ∧ Z ∈ B) ≡ Z ∈ A ⇒ Z 6∈ B. Luego, la negación de para alguna clase Z, se tiene que Z ∈ A∧Z ∈ B es para toda clase Z, se tiene que Z ∈ A ⇒ Z 6∈ B. 6. Con un razonamiento similar al ejemplo anterior, tenemos que la negación de existe una clase X tal que se tiene A ∧ B es para toda clase X, se tiene que A ⇒ ¬B . 7. Y también se tiene que la negación de para toda clase X, se tiene que A ⇒ B es existe una clase X tal que se tiene A ∧ ¬B . 8. La negación de existe una clase X tal que se tiene que para toda clase Y, se deduce Y ∈ X es para toda clase X, se tiene la negación de para toda clase Y, se deduce Y ∈ X. Por tanto, la negación de existe una clase X tal que se tiene que para toda clase Y, se deduce Y ∈ X es para toda clase X, se tiene que existe una clase Y tal que se deduce Y 6∈ X.

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Se suele “aligerar de palabras” los dos enunciados anteriores al omitir los términos “se tiene” o “se deduce”. Así, la mayoría de las veces nos expresaremos de la siguiente manera (no se escribirán las palabras tachadas con línea roja): la negación de existe una clase X tal que se tiene que para toda clase Y, se deduce Y ∈ X es para toda clase X, se tiene que existe una clase Y tal que se deduce Y 6∈ X. 9. La negación de para toda clase X, existe una clase Y tal que X 6∈ Y es existe una clase X tal que para toda clase Y, X ∈ Y (obsérvese que hemos utilizado la Doble negación). 10. Es común y frecuente sustituir el enunciado para toda clase X, A ⇒ B , por el siguiente: para toda clase X, si A , entonces (se tiene) B . Luego, la negación de este último es existe una clase X tal que A y ¬B . 11. También es común y frecuente utilizar, en lugar de existe una clase X tal que A ∧ B , el enunciado existe una clase X tal que A y B . Por tanto, la negación de este último es para toda clase X, si A , entonces ¬B .

Ya estamos listos para abordar el estudio del concepto conjunto.

1.2

Axiomas para los conceptos primitivos

1.2.1

Conjuntos y clases propias

¿Por qué uno de los conceptos primitivos de esta teoría es clase y no conjunto? ¿Cuál es la relación entre este concepto y el de conjunto? Estas son algunas de las preguntas que nos hacemos cuando abordamos por primera vez el estudio de la Teoría de Conjuntos.

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Contestemos estas preguntas brevemente aquí. Luego de presentar el axioma de construcción de clases, volveremos a ellas. La respuesta a la primera es: distinguir entre clase y conjunto nos permite evitar la presencia de una contradicción en la teoría. La segunda pregunta se contesta así: todo conjunto es una clase; sin embargo, hay clases que no son conjuntos. Empecemos el estudio de la Teoría de Conjuntos con la definición de conjunto2 . D EFINICIÓN 1.1 (Conjunto, clase propia) Una clase A es un conjunto si existe otra clase B tal que A ∈ B. Es decir, un conjunto es toda clase que pertenezca a otra clase. Una clase A es propia si no es un conjunto. En otras palabras, una clase propia es aquella que no pertenece a ninguna clase. Tendremos que esperar un poco para presentar un ejemplo de una clase propia. Por otra parte, la mayoría de las clases presentes en las teorías matemáticas relevantes son conjuntos. Por ello no se habla de clases sino únicamente de conjuntos. Haremos lo mismo en este curso: luego de presentar los principales axiomas de esta teoría, trabajaremos exclusivamente con conjuntos. Variables de conjunto. Utilizaremos letras minúsculas del alfabeto Español a, b, c, . . . , x, y, z para representar exclusivamente clases que son conjuntos. Así, la proposición A∈x no solamente expresa que la clase A pertenece a la clase x, sino que la clase x es un conjunto. En cambio, la clase A puede ser o no un conjunto. A continuación, presentemos los conceptos fundamentales de las clases y los conjuntos.

1.2.2

Relaciones igual y subclase

D EFINICIÓN 1.2 (Igualdad entre clases) Dadas las clases A y B, diremos que la clase A es igual a la clase B si se tiene que x∈A⇔x∈B para todo conjunto x. Representaremos esta relación entre las clases A y B por A = B. Dicho de otro modo, el signo A = B representará el enunciado 2 El

concepto conjunto es un concepto definido.

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para todo conjunto x, se tiene que x ∈ A ⇔ x ∈ B. En sentido estricto, A = B no representa una proposición, pues al no formalizar el cuantificador “para todo conjunto x”, el enunciado anterior no es una proposición de la Teoría de Conjuntos. No obstante, vamos a incorporar A = B como una proposición, ya que dado que el cuantificador en la definición de igualdad entre clases sí se puede formalizar y que, una vez que se hiciera, el enunciado que define la igualdad entre clases sería una proposición de la Teoría de Conjuntos. Utilizaremos el signo A 6= B, que será leído “A no es igual a B”, para representar la negación de A = B:

¬(A = B). Debido a la equivalencia lógica x ∈ A ⇔ x ∈ B ≡ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A), A = B significa que todo conjunto que pertenece a A, pertenece a B y todo conjunto que pertenece a B, pertenece a A. A continuación vamos a deducir tres teoremas sobre la igualdad de clases. El primero: dada una clase A, la proposición x∈A⇔x∈A es verdadera para todo conjunto x (es una tautología). Luego, por la definición de igualdad de clases, deducimos que A = A. Es decir, Toda clase A es igual a sí misma. El segundo teorema: dadas las clases A y B tales que A = B, por la definición de igualdad de clases, tenemos que x∈A⇔x∈B para todo conjunto x. Luego, gracias a la equivalencia lógica Conmutativa de la doble EPN - Noviembre - 2020

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implicación: x ∈ A ⇔ x ∈ B ≡ x ∈ B ⇔ x ∈ A, también se tiene que x∈B⇔x∈A para todo conjunto x, de donde concluimos que B=A por la definición de igualdad de clases. En resumen, Si A = B, entonces B = A. Por último, el tercer teorema: dadas las clases A, B y C tales que A = B y B = C, por la definición de igualdad de clases, tenemos que las proposiciones x∈A⇔x∈B

y

x∈B⇔x∈C

(1.1)

son verdaderas para todo conjunto x. Por tanto, también lo es x ∈ A ⇔ x ∈ C,

(1.2)

para todo conjunto x, gracias a la tautología ((x ∈ A ⇔ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇔ x ∈ C)) ⇒ (x ∈ A ⇔ x ∈ C), aplicada a (1.1). Así, por la definición de igualdad de clases, deducimos que A = C. En conclusión, Si A = B y B = C, entonces A = C. A continuación, presentemos estos tres teoremas bajo la etiqueta general de Teorema seguido del número 1 y asignando un nombre a cada uno: T EOREMA 1.1 (Igualdad). Dadas las clases A, B y C, se tiene que: 1. Reflexiva de la igualdad de clases: A = A. 2. Simétrica de la igualdad de clases: Si A = B, entonces B = A. 3. Transitiva de la igualdad de clases: Si A = B y B = C, entonces A = C. Por la simetría de la igualdad de clases, si A = B diremos, indistintamente, que A es igual a B, B es igual a A, A y B son iguales.

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Si A = B y z ∈ A, entonces podemos asegurar que z ∈ B. En efecto, dado que: x∈A⇔x∈B

(1.3)

es verdadera para todo conjunto x. En particular, como z es un conjunto, esta proposición también es verdadera para z: z ∈ A ⇔ z ∈ B.

(1.4)

Luego, como z ∈ A es verdadera, de (1.3) y el axioma de la doble implicación, z ∈ B también es verdadera. Con un razonamiento similar, podemos asegurar que si A = B y z ∈ B, entonces z ∈ A. Expresemos como teoremas estos dos resultados que expresan de otra manera la definición de la igualdad de clases. T EOREMA 1.2 (Igualdad de clases). De A = B y z ∈ A, se tiene que z ∈ B. Y, de A = B y z ∈ B, se tiene z ∈ A. En otras palabras, las proposiciones (A = B ∧ z ∈ A) ⇒ z ∈ B

y

(A = B ∧ z ∈ B) ⇒ z ∈ A

son verdaderas. A continuación vamos a enunciar el primer axioma de la Teoría de Conjuntos. Para ello, introduzcamos la siguiente notación: el signo A (X) indicará que, en la proposición representada por A , aparece al menos una vez la clase X (esta clase también podría ser un conjunto y, en ese caso, podemos utilizar una letra minúscula). Por ejemplo, si A representa X ∈ A ⇒ X ∈ B, podemos escribir A (X). También podríamos escribir A (A)

o A (B).

Si B representa z = A ∨ z = B,

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podemos escribir B(z). A XIOMA 1.1 (Sustitución) Si A representa una proposición, entonces se tiene que X = Y ⇒ (A (X) ⇔ A (Y)), donde A (Y) se obtiene a partir de A (X) al sustituir algunas (no necesariamente todas) de las apariciones de X en A por Y. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos: Axioma de sustitución 1. Si X = Y, por el axioma de sustitución, tenemos que X ∈ A ⇔ Y ∈ A. En efecto, si A (X) representa X ∈ A, de X = Y y el axioma de sustitución, deducimos que A (X) ⇔ A (Y ), donde A (Y) se obtiene de X ∈ A al sustituir X por Y; es decir, A (Y) representa Y ∈ A. Por tanto, X ∈ A ⇔ Y ∈ A. 2. Si A = B y x 6∈ A, por el axioma de sustitución, tenemos que x 6∈ B. En efecto, en el axioma de sustitución, basta utilizar A (A) para representar x 6∈ A y A (B) para representar x 6∈ B, para deducir de A = B, la proposición x 6∈ A ⇔ x 6∈ B, de donde, como x 6∈ A, por el axioma de la doble implicación. 3. Si a = B y x ∈ B, entonces por el axioma de sustitución, tenemos que x ∈ a . En efecto, este axioma también se aplica a conjuntos porque todo conjunto es una clase. En este caso, se ha aplicado el axioma de sustitución a las proposiciones x ∈ a y x ∈ B. Así, de a = B, tenemos que x∈a⇔x∈B que, junto con x ∈ B, nos permite concluir que x ∈ a .

D EFINICIÓN 1.3 (Subclase, subclase estricta) Dadas las clases A y B, diremos que A es subclase de B si se tiene que x∈A⇒x∈B EPN - Noviembre - 2020

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para todo conjunto x. Representaremos esta relación entre las clases A y B por A ⊆ B. Si A ⊆ B y A 6= B, diremos que A es subclase estricta de B, lo que representaremos mediante el signo A ( B. En otras palabras, el signo A ⊆ B representa el enunciado para todo conjunto x, se tiene que x ∈ A ⇒ x ∈ B. A ⊆ B significa que todo conjunto que pertenece a A, pertenece a B. Por las mismas consideraciones realizadas para tomar A = B como una proposición, tomamos A ⊆ B y A ( B como proposiciones de la Teoría de Conjuntos. Deduzcamos otro teorema sobre la relación entre igualdad y subclase. De la equivalencia lógica x ∈ A ⇔ x ∈ B ≡ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A), podemos concluir que si A = B, entonces para todo conjunto x, se deduce que x ∈ A ⇔ x ∈ B, de donde, por la equivalenci...