Teoria elementar dos conjuntos PDF

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Resumo explicativo com exemplos sobre a teoria elementar de conjuntos matemático ...

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Teoria elementar dos conjuntos Definição e propriedades dos conjuntos Para compreender a teoria elementar dos conjuntos é necessário iniciar com o conceito intuitivo, entendendo suas representações e compreendendo claramente a diferença entre as relações de pertinência e inserção, considerando a noção de subconjunto relativa. Dica: durante o estudo sobre a definição e as propriedades dos conjuntos, faça uma relação pertinente a geometria plana que se destaca os pontos e retas no plano cartesiano. Definição básica É chamado de conjunto um agrupamento básico de elementos, onde possui uma relação de pertinência entre os elementos e o conjunto. Representações de conjuntos Dentro desse conceito existem três maneiras de representar um conjunto com seus elementos. Listagem dos elementos a listagem linear dos elementos se caracteriza de forma relacionada aos elementos presente no conjunto por chaves e separados por ponto e vírgula. Exemplo: A={1;2;3;4;5;6;7} B={d;e;f;g) Lei de formação Os conjuntos são caracterizados mediante a uma propriedade de relação. Exemplo: A={1;2;3;4;5;6} Lei de formação: A={ x ∈ ℜ l 1 ≤ x ≤ 6 } Dica: Observe que a primeira identificação do conjunto está representada de maneira geral, logo a segundo representa a propriedade característica de x Diagrama de Venn-Euler É um diagrama que tem listado todos os elementos do conjunto Exemplo: A

B

Relação de Pertinência A relação de pertinência está relacionado aos elementos, a qual um item pode ser ou não elemento de um conjunto. Dentro desse contexto é utilizado o símbolo ∈ para elementos pertencentes ao conjunto e ∈ / para elementos não pertencentes. Exemplo: Dado o conjunto A={1;2;4;6;8}, podemos determinar que 1∈ A, mas 3 ∈ / ao conjunto A Dica: um conjunto pode ser elemento de outro conjunto, pense sobre essa relação de pertinência. Conjunto unitário É determinado conjunto unitário aquele que apenas um elemento satisfaz a propriedade característica Exemplo: B={x ∈ ℵ l 3 < x < 5} B={4} Observe que a partir da lei de formação do conjunto, determinou-se o elemento unitário do conjunto B. Conjunto vazio Esse conjunto se determina na insatisfação de qualquer elemento para a sua propriedade característica, ou seja, é um conjunto que não possui nenhum elemento Exemplo: B={x ∈ ℵ l 1 < x < 2} Observe que nenhum número se satisfaz a propriedade característica dos naturais dentro da lei de formação. Portanto, podemos representar o conjunto vazio, da seguinte forma: B= ⊘ ou B= { } Conjunto Universo Essa determinação se caracteriza em um conjunto que tem todos os elementos, portanto essa determinação é relevante para a solução do problema envolvendo um conjunto universo. Exemplo: Dentro do contexto de futebol brasileiro podemos determinar o conjunto que está representado todos os elementos U={ todos os times de futebol brasileiro}

Dica: vale salientar que a determinação do conjunto universo está relacionada ao contexto dos elementos pertencentes ao conjunto. Conjuntos iguais Os conjuntos denominados iguais são conjuntos que possuem os mesmos elementos independente da formação que são representados. Exemplo 1: A={a; b; c} B={ c; a; b} Exemplo 2: A={1; 2} B={1; 2; 2; 2; 2} Note que os elementos são os mesmos, porém estão em ordem distintas e no exemplo 2 aparecem repetidos, no entanto podemos determinar que A=B pela relação. Noção de subconjunto a determinação de subconjunto está relacionada a relação de um conjunto com o outro caracterizando como subconjunto se, e somente se todo o elemento de um conjunto for elemento de outro conjunto. Exemplo: A={1; 2} B={1; 2; 3} Quando o conjunto, no caso do exemplo, A é subconjunto de B, então podemos determinar matematicamente que A está contido em B (A ⊂ B ) ou B contém A ( B ⊃ A ).

Operações entre conjuntos União ( ⋃ ) Consideramos a união dos conjuntos, quando todos os elementos dos conjuntos formam um conjunto. Simbolicamente, podemos representar essa união como: AUB= {x l x ∈ A ou x ∈ B} vai uma figura Propriedades da união P.1) A ⋃ ∅ = A P.2) A ⋃ U = U P.3) A ⋃ A = A P.4) A ⋃ B = B ⋃ A

P.5) A ⋃ (B ⋃ C) = (A ⋃ B) ⋃ C

Interseção de conjuntos ( ⋂ ) A interseção de dois conjuntos é uma determinação que contém elementos que são iguais nos dois conjuntos. Podemos representar simbolicamente da seguinte maneira A ⋂ B = {x l x ∈ A e x ∈ B}. Vai uma figura aqui Propriedade da interseção P.1) A ⋂ ∅ = ∅ P.2) A ⋂ U = A P.3) A ⋂ A = A P.4) A ⋂ B = B ⋂ A P.5) A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C Dica: Vale salientar que os conjuntos que não possuem interseção, ou seja, não são determinados em elementos iguais nos conjuntos, são denominado conjuntos disjuntos. Diferença entre conjuntos A diferença entre conjuntos podem ser estabelecidas pelos elementos que pertencem a um conjunto, porém não estão expressos no conjunto analisado em questão. Podemos expressar simbolicamente essa operação da seguinte forma A - B = {x l x ∈ A e x ∈ / B} Vai uma figura aqui Dica: Não é necessário que B⊂ A, pois caso seja um conjunto disjunto a diferença de A - B resultará em A. Complementar Uma operação complementar em conjuntos resulta nos elementos que faltam em um conjunto para ser igual ao outro conjunto em questão. Exemplo: A = { 1; 3; 5; 9; 20} B = {1; 3; 5} C ab = {9; 20}...