Teoria dos Conjuntos PDF

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Resumo sobre a Teoria dos Conjuntos (definição, representação dos conjuntos, subconjuntos, união, intersecção e diferença)...

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TEORIA DOS CONJUNTOS

1 – INTRODUÇÃO Entendemos a ideia de conjuntos como qualquer coleção ou grupo de objetos ou símbolos (os quais chamamos de elementos). Usamos a pertinência para indicar que um elemento x faz parte do conjunto A: 𝐱 ∈𝐀

𝐱 ∉𝐀

• O símbolo ∈ indica que x pertence a A (lê-se: x pertence a A) • O símbolo ∉ indica que x NÃO pertence a A (lêse: x não pertence a A)

2 – REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS •

1° representação: A = {1, 2, 3};

•

2° representação: A = {x ∈ N / x < 3} ;

•

3° representação (Diagrama de Venn):

A

1 2 3

3 – CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO Conjunto unitário é aquele que possui apenas um elemento (A = {a}). Conjunto vazio é aquele conjunto que não possui nenhum elemento (A =  ou A = { }). 4 – SUBCONJUNTO Dado o conjunto A e B, dizemos que B subconjunto A se, e somente se, todo elemento de B for elemento de A. Representamos dessa maneira:

𝐁 ⊂𝐀

• O símbolo ⊂ indica que B está contido em B (lêse: B está contido em A)

• O símbolo ⊄ indica que B NÃO está contido em B (lê-se: B não está contido em A)

𝐁 ⊄𝐀

Propriedades dos subconjuntos: •

 ⊂ A;

•

A ⊂ A;

•

Se A ⊂ B e B ⊂ C. então A ⊂ C;

•

Se A ⊂ B e B ⊂ A. então A = B.

5 – UNIÃO OU REUNIÃO Chama-se união (ou reunião) de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos A e B. Notação: 𝐀 ∪ 𝐁 = {𝐱 / 𝐱 ∈ 𝐀 𝐨𝐮 𝐱 ∈ 𝐁}

Exemplo: A = {a, b, c, d} ∪ B = {c, d, e}

A

a

c

B e

b

d

A ∪ B = {a, b, c, d, e}

Propriedades da união (ou reunião): •

A ∪ B = B ∪ A;

•

B ⊂ A → A ∪ B = A;

•

A ∪ ∅ = A.

6 – INTERSECÇÃO Chama-se intersecção de A com B ao conjunto dos elementos comuns a A e B. Representação: 𝐀 ∩ 𝐁 = {𝐱 / 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐱 ∈ 𝐁}

Exemplo: A = {a, c, d, e} ∩ B = {b, h, e} A

B

a c

b e h

d

A ∩ B = {e}

Propriedades da intersecção: •

A ∩ B = B ∩ A;

•

A ∩ ∅ = ∅.

7 – DIFERENÇA Chama-se diferença entre A e B, nessa ordem, ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B. Notação: 𝐀 − 𝐁 = {𝐱 / 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐱 ∉ 𝐁}

Propriedades da diferença: • • •

A − ∅ = A; ∅ − A = ∅; CAB = A − B....