Continuidad- A. M. I PDF

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Toda la teoría sobre continuidad, discontinuidad, clasificación, teorema de bolzano, teorema de los valores intermedios, teorema de weierestrass con ejercicios. ...

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

FUNCIONES CONTINUAS CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Continuidad de una función en un punto Si se considera una ley física de la forma , que relaciona los valores de una variable independiente V (volumen de un gas) con una variable dependiente P (presión). Al emplear la ley para medir un valor V0, se sabe que el cálculo no es exacto, ya que inevitablemente se comete un error que incide en el valor de P, es decir no es de manera exacta, incluso para valores próximos a V 0 se obtiene valores muy diferentes de P. Surge así la pregunta: ¿de qué forma el error en la medida de V afecta al valor resultante de P? Es claro que si para valores muy próximos a V 0 se obtiene valores de P muy diferentes entre sí, la ley “ f ” que relaciona V con P no tendrá ninguna utilidad práctica. Dado que los errores de medición son inevitables y afectan completamente el valor real de , es posible establecer una cota de error para P (dependerá de cada situación en particular) a la que se puede asignar con y con la que podrá obtenerse una cota de error . Así, siempre que se mida con un error menor , el valor obtenido de P distará del valor real en menos que . siempre que . Cuando esta situación esta situación puede Es decir: efectivizarse para cualquier cota de error , se dice que la ley f es continua en . Naturalmente la cota de error dependerá del error prefijado en cada caso, y también de Este fenómeno conduce a una definición matemática de continuidad de una función en un punto. Se considera una función definida : , A no tiene que coincidir con el dominio de la función, alcanza con ser un subconjunto del dominio. Por otra parte, la continuidad de una función no depende sólo de la ley que la define sino también del conjunto de valores de la variable independiente que se considera. Desde el punto de vista geométrico, intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica un pequeño cambio en el valor de es decir, la gráfica corresponde a un solo trozo de curva.

En contraste, una grafica como la de la función signo que consiste en curvas separadas en dos intervalos separados, por lo que un vacío en el eje de las abscisas exhibe allí una discontinuidad.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

La continuidad de la función f, para un valor a significa que difiere arbitrariamente poco del valor de cuando x está suficientemente cerca de a.

DEFINICIÓN: Se dice que una función es continua en un punto si y solo si para cada número es posible encontrar un número (que en general, depende de de y de a) tal que para todo con se verifica que Simbólicamente:

Se observa que la definición se considera válida sólo para valores de f en A. Por lo que resulta la siguiente definición: Se dice que f es continua en un subconjunto , si f es continua en todo punto de C. Otra manera de definir: Definición: sea f  x  función y

a

un punto de acumulación del Df; f  x  es continua en a, si y solo si,

lim f x   f a 

x a

Sí

a

no es punto de acumulación del Dominio, se conviene en considerar que en a, f x  es continua

se existe f  a .Como la continuidad se basa en el concepto de límite, puede darse también la definición utilizando entornos convenientes de

a

y f  a :

f x es continua en a       lim f x   f a    ε  0,  δ  0 /  x :  x  Df  x - a  δ  f x   f a   ε       x a  E E f  a ;ε  a ; δ     (pués f  x  está definida en a , y en dicho punto se verifica:  ε  0 : f a  f a  0  ε ).

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Observación: La continuidad de f en x = a implica que se cumplen estas tres condiciones: a- Existe el límite de la función f en b- La función está definida en , es decir existe c- Los dos valores anteriores son iguales, es decir

Si la función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto.

Ejemplos de discontinuidad en R: Función racional:

Función por tramos:

Como se puede observar en el grafico anterior, no es continua en x=2, pero sí lo es para valores próximos a 2. Es continua en valores menores a 2, se dice que es continua por la izquierda. Actividad N° 1: Analiza la continuidad, comprobando si el límite de la función es igual al valor que toma f

x 2- 9 en los puntos indicados, de f(x)= x-3

en

x= 0

CONTINUIDAD LATERAL EN UN PUNTO Puede ocurrir que una función esté definida en un intervalo cerrado [a,b] y se quiere analizar lo que ocurre en a. En este caso, es posible hablar de continuidad lateral. Continuidad por izquierda Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por izquierda en ese punto y coincide con el valor de la función en él, es decir: 3

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Sí la continuidad se verifica solamente en el E a  ;   f  x , continua por la izquierda:

f x  es continua por la izquierda  lim f x   f a  xa

Continuidad por derecha Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por derecha en ese punto y coincide con el valor de la función en él, es decir: Sí la continuidad se verifica solamente en el E a  ;   f  x  , continua por la derecha.

f x  es continua por la derecha  lim f  x  f a 

x a

Ejemplo: Sea

lim x 2 

x  2  no existe pero

lim

x2  0

x 2 

Por lo tanto f(x) es continua por derecha en x =0 Nota: Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en dicho punto.

x 2  x + 2  Actividad N° 2: Analizar si f(x) =  9  2x + 2 

si x  0 si

x=0

si

x...