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Exercices Formatifs 3 – Standardisation et variables

Corrigé 1. Expliquez comment les quartiles peuvent être utilisés pour interpréter des scores de rendement individuels et nommez deux limites de ceux-ci ? Réponse : les quartiles classent les scores en quatre catégories : les 25% inférieurs, les 2550% centre-bas, les 50-75% centre-élevé, et les 75-100% supérieurs. Limites 1): manque de précision; 2) interprétation peut être douteuse si la forme de la distribution est atypique / anormale, par exemple le 25% inférieur pourrait comprendre des notes allant de 28/100 à 53/100 tandis que le 75-100% supérieur pourrait comprendre des notes de 95/100 à 100/100 si la distribution a une forte asymétrie négative. 2. Spécifiez à quel rang centile se situe un score qui est égal au : a. Premier quartile : Réponse : 25e rang centile b. Deuxième quartile : Réponse : 50e rang centile. c. Troisième quartile : Réponse : 75e rang centile. 3. Spécifiez à quel rang, par rapport au n de l’échantillon, se situera un score au percentile suivant. a. 44e Percentile dans un échantillon de n = 6 : Réponse : rang P44 = 44(6+1)/100 = 3.08e rang. b. 28e Percentile dans un échantillon de n = 30 : Réponse : rang P28 = 28(30+1)/100 = 8.68e rang. c. 81e Percentile dans un échantillon de n = 124 : Réponse : P81 = 81(124+1)/100 = 101.25e rang. d. 34e Percentile dans un échantillon de n = 10128 : Réponse : P34 = 34(10128+1)/100 = 3443.86e rang. 4. Interprétez les scores Z suivant pour les résultats à un examen : a. Henri a eu un score Z de 0. :Réponse : La note de Henri est exactement égale à la moyenne du groupe. b. Jade a eu un score Z de -1.76 : Réponse : La note de Jade est 1.76 écarts-type en bas de la moyenne du groupe. c. Louis a eu un score Z de 2.50. : Réponse : La note de Louis est 2.50 écarts-type en haut de la moyenne du groupe. d. Sophie a eu un score Z de 0.60 : Réponse : La note de Sophie est 0.60 écarts-type en haut de la moyenne du groupe. 5. Sachant que la distribution des notes à un examen a une moyenne de 75% et un écart-type de 10%, calculez les scores Z des notes suivantes : a. 2%: Réponse : z = (2-75) / 10 = -7.3 b. 59% : Réponse : z = (59-75) / 10 = -1.6 c. 90% : Réponse : z = (90-75) / 10 = 1.5 d. 96% : Réponse : z = (96-75) / 10 = 2.1

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6. Sachant que la distribution des notes à un examen a une moyenne de 70% et un écart-type de 12%, trouvez la note qui correspond aux scores Z suivants : a. Z = -1.91 : Réponse : X = 70% - 1.91*12% = 47% (arrondi de 47.08%) b. Z = - 0.58 : Réponse : X = 70% – 0.58*12% = 63% (arrondi de 63.04%) c. Z = 1.93 : Réponse : X = 70% + 1.93 * 12% = 93% (arrondi de 93.16%) d. Z = 2.11 : Réponse : X = 70% + 2.11 * 12% = 95% (arrondi de 95.32%) 7. Convertissez les scores Z suivants en scores T (stannines). a. Z = -2.13 : Réponse : T = 50 -2.13*10 = 28.7 b. Z = -0.90 : Réponse : T = 50 – 0.90*10 = 41 c. Z = 0.31 : Réponse : T = 50 + 0.31*10 = 53.1 d. Z = 1.88 : Réponse : T = 50 + 1.88*10 = 68.8 8. Un test de rendement académique administré à l’échelle nationale a une moyenne de 1060 et un écart-type de 100. Sachant que les résultats au test sont normalement distribués, répondez aux questions suivantes : a. Quel score minimal doit obtenir un étudiant pour se classer dans le 5% supérieur? Réponse : On cherche P (0 ≤ Z ≤ z) = 0.5 – 0.05 = 0.4500. En cherchant sur le tableau normal standardisé, on trouve : z = 1.645 On converti le score z en score au test : X = 1060 + 1.645*100 = 1224.5 Un score minimal de 1224.5 situerait l’étudiant dans le 5% supérieur. b. Quel score maximal doit obtenir un étudiant pour se classer dans le 10% inférieur? Réponse : On cherche P(0 ≤ Z ≤ z) = 0.5 – 0.10 = 0.4. En cherchant sur le tableau normal standardisé, on trouve z = 1.28, mais en valeur négative, donc z = 1.28 On converti en score au test : X = 1060 – 1.28*100 = 932. Un score de 932 ou moins situe l’étudiant dans le 10% inférieur. c. Entre quels scores se situent le 50% central? Réponse : le 50% central signifie une proportion de .5/2=.25 de part et d’autre de la moyenne. Donc on cherche P(0 ≤ Z ≤ z) = 0.25. On trouve z = 0.675. Limite inférieure = 1060 – 0.675*100 = 992.5 Limite supérieure = 1060 + 0.675*100 = 1127.5 Les scores entre 992.5 et 1127.5 délimitent le 50% central des résultats. 9. Les données démographiques sur la grandeur des êtres humains montrent que la grandeur moyenne (μ±σ) des hommes adultes est d’environ 1.78±0.10m et des femmes adultes est d’environ 1.65±0.09m. Sachant que la grandeur des êtres humains est normalement distribuée, répondez aux questions suivantes. a. Comparez la proportion d’hommes et de femmes mesurant entre 1.62-1.82m. Réponse : Pour les hommes, Z = (1.62 – 1.78) / 0.10 = -1.6; Z = (1.82 – 1.78) / 0.10 = 0.4, donc on cherche P ( -1.6 ≤ Z ≤ 0.4) = 0.4452+0.1554=0.6006 Pour les femmes, Z = (1.62-1.65) / 0.09 = -0.33 et Z = (1.82-1.65) / 0.09 = 1.89, et P(0.33 ≤ Z ≤ 1.89) = 0.1293 + 0.4706 = 0.5999

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Proportion hommes / proportion femmes = 0.6006/0.5999 ≈ 1.00, la proportion d’hommes est de femmes mesurant entre 1.62 et 1.82 mètres est pratiquement identique. Comparez la proportion d’hommes et de femmes mesurant 2.00m et plus. Réponse : Pour les hommes, Z = (2.00-1.78)/0.10=2.2; P ( 2.2 ≤ Z ≤ ∞) = 0.5-0.4861=0.0139 Pour les femmes, Z = (2.00-1.65)/0.09≈3.9; P ( 3.9 ≤ Z ≤ ∞) = 0.5-0.4990=0.0010 P(Hommes de 2m et plus) / P (femmes de 2m et plus) = 0.0139/0.0010= 13.9 Il y a environ 13.9 fois plus d’hommes qui mesurent 2.00 mètres et plus que de femmes. Comparez la proportion d’hommes et de femmes mesurant 1.50m et moins. Réponse : Z(homme 1.50m) = (1.50 – 1.78) / 0.10 = -2.8; P(Z ≤ -2.8) = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ 2.8) = 0.5 0.4974 = 0.0026 Z(femme 1.50m) = (1.50 – 1.65) / 0.09 = -1.67; P(Z≤ -1.67) = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ 1.67) = 0.5 – 0.4525 = 0.0475 Proportion homme / proportion femme = 0.0026 / 0.0475 = 0.0547, 1/0.0547 ≈ 18.28 Il y a environ 18.28 femmes mesurant 1.50 m et moins pour chaque homme de cette taille. Approfondissement 1: en utilisant la règle d’intersection de probabilités pour des événements indépendants : P(A et B) = P(A∩B)=P(A)P(B), quelle est la probabilité qu’un couple homme-femme que vous apercevez au hasard dans la rue soit composé d’un homme de 2.00 mètres et plus et d’une femme de 1.40 mètres et moins, si vous présumez que la grandeur des hommes et femmes en couple sont indépendants entre eux (c-a-d la taille de l’homme n’a pas d’incidence sur la taille de la femme, et vice-versa)? Réponse : Z(taille homme = 2.00m) = (2.00 – 1.78) / 0.10 = 2.2; P (Grandeur Homme ≥ 2.00 m) = 0.5 – P (0 ≤ Z ≤ 2.2) = 0.5 – 0.486 1 = 0.013 9 Z(taille femme = (1.4 – 1.65) / 0.09 = -2.78; P(grandeur femme ≤ 1.40m) = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ 2.78) = 0.5 – 0.4973 = 0.002 7 P (Grandeur Homme ≥ 2.00 m) * P(grandeur femme ≤ 1.40m) = 0.013 9*0.002 7 = 0.000 037 53; 1/0.000 037 53 = 26 645; donc les chances de rencontrer au hasard un couple dont l’homme mesure 2.00m ou plus et la femme 1.40m ou moins sont approximativement de 1 sur 26 645, si la taille des membres d’un couple sont indépendants. Approfondissement 2 : quelle est la probabilité qu’un couple rencontré au hasard soit composé d’un homme de 1.40 mètres et moins et d’une femme de 2.00 mètres et plus? Réponse : Z(homme ≤1.4m) = (1.40 – 1.78) / 0.10 = -3.8, P(Z ≤ -3.8) = 0.5-0.4990=0.001 Z(femme≥2.0m) = (2.00-1.65) / 0.09 = 3.89, P(Z ≥ 3.9) = 0.5 – 0.4990 = 0.001 P(homme ≤1.4m)*P(femme≥2.0m) = 0.001*0.001 = 0.000 001; 1/0.000 001 = 1 000 000

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Les chances de rencontrer au hasard un couple dont l’homme mesure 1.4m ou moins et la femme mesure 2.0m ou plus est de 1 sur 1 million, si la taille des membres d’un couple sont indépendants. 10. La forme de la distribution a un impact important sur les proportions de la fonction de densités de probabilités. Commentez sur l’impact des formes suivantes : a. P(2≤Z≤∞) entre une distribution avec asymétrie négative et positive. Réponse : P(2≤Z≤∞) est plus grand lorsque l’asymétrie est négative. b. P (-1≤Z≤+1) entre une distribution avec asymétrie négative et positive. Réponse : P (-1≤Z≤+1) est assez équivalent peu importe l’asymétrie. c. P (2≤Z≤∞) entre une distribution leptokurtique et platykurtique. Réponse : P(2≤Z≤∞) est plus grand lorsque la distribution est leptokurtique. d. P (-1≤Z≤+1) entre une distribution leptokurtique et platykurtique. Réponse : P (-1≤Z≤+1) est plus grand lorsque la distribution est leptokurtique. 11. Plusieurs variables en psychologie sont techniquement des variables quantitatives discrètes. Des réponses à des échelles de Likert, qui composent une grande partie des questionnaires psychométriques et cliniques, ainsi que des pointages (nombre de bonnes réponses), sont des variables discrètes qui occupent une place centrale dans la discipline. a. Puisque nous savons qu’il existe des distributions mathématiques, telles que la distribution binomiale, pour modéliser des variables discrètes, pourquoi est-il légitime d’utiliser la distribution normale pour analyser des variables discrètes? Réponse : beaucoup de distributions de variables discrètes ressemblent à une distribution normale, particulièrement lorsque l’échantillon (n) est grand et lorsque certains paramètres particuliers de ces distributions sont rencontrés. b. Quel phénomène représenté par la distribution normale la rend particulièrement attrayante en analyses quantitative? Réponse : l’erreur d’échantillonnage. 12. Question synthèse sur les variables et l’estimation de paramètres. a. Vous savez que le niveau d’appréciation X : Appréciation des films de P(X) des films de Nicolas Cage, tel que mesuré Nicolas Cage par une échelle de Likert, est représenté 1 : Fortement négative. 0.30 par la distribution de probabilités 2. Légèrement négative 0.15 suivante. Calculez les paramètres μ et σ à 3 : Neutre 0.10 partir de celle-ci. (X : est une variable 4 : Légèrement positive 0.15 aléatoire discrète). 5 : Fortement positive 0.30 Réponse : μ=0.30*1+0.15*2+0.10*3+0.15*4+0.30*5= 3; Var(X) = (1-3)^2 * 0.3 + (2-3)^2 * 0.15 + (3-3)^2 * 0.10 + (4-3)^2 *0.15 + (5-3)^2 * 0.30 = 2.7; σ = √𝟐. 𝟕=1.64 b. À partir de la distribution de probabilités, estimez combien d’individus dans la classe (qui comportent 173 personnes) auraient une appréciation soit fortement positive ou fortement

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négative ainsi que ceux qui ont une appréciation neutre, des films de Nicolas Cage (moyenne et variabilité). Réponse : On peut analyser l’événement « Avoir une impression fortement positive » avec la distribution binomiale, car P(Fortement Positive) = succès, P( pas fortement positive) = échec; et les essais (n) sont indépendants. Donc pour « Fortement Positive », 𝝁𝑿 = 𝒏 × 𝑷 = 𝟏𝟕𝟑 × 𝟎. 𝟑𝟎 = 𝟓𝟏. 𝟗𝟎 𝝈𝑿 = √𝒏 × 𝑷 × (𝟏 − 𝑷) = √𝟏𝟕𝟑 × 𝟎. 𝟑𝟎 × (𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟎) = 𝟔. 𝟎𝟑 « Fortement Négative » est égale; donc on s’attend à 51.90±6.03 personnes dans la classe qui ont une opinion fortement négative ou fortement positive des films de Nicolas Cage. Pour « Neutre », 𝝁𝑿 = 𝒏 × 𝑷 = 𝟏𝟕𝟑 × 𝟎. 𝟏𝟎 = 𝟏𝟕. 𝟑𝟎; 𝝈𝑿 = √𝒏 × 𝑷 × (𝟏 − 𝑷) =

√𝟏𝟕𝟑 × 𝟎. 𝟏𝟎 × (𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟎) = 𝟑. 𝟗𝟓; on s’attend à 17.30±3.95 personnes en moyenne qui ont une impression neutre de Nicolas Cage.

c. Quatre de vos amis : Anaïs, Hamid, Johnny et Monique, effectuent des sondages pour aller mesurer l’opinion de leurs collègues de classe. Ils sondent chacun 5 personnes de la classe, choisies au hasard. Les réponses de chacun, ainsi que la moyenne et l’écart-type sont présentées dans le tableau ci-dessous. Si vous voulez vous pratiquer davantage, calculez vous-même la moyenne (M) et l’écart-type (s) de l’échantillon de Anaïs, Hamid, et Johnny, et vérifiez si vous arrivez à la bonne réponse. Anaïs Hamid Johnny Monique 1 4 3 4 2 1 5 2 5 5 5 1 1 2 1 5 1 5 4 ? M=2 M=3.4 M=3.6 M=2.6 s=1.73 s=1.82 s=1.67 s=1.82 σ=1.55 σ=1.62 σ=1.50 σ=1.62 i. Calculez la moyenne des moyennes de chaque échantillon. Sachant que les données ont été produites au hasard à partir de la distribution de probabilités ci-haut, qu’estce que vous remarquez par rapport au paramètre μ et la moyenne des moyennes de chaque échantillon? Réponse : moyenne des moyennes = (2 + 3.4 + 3.6 + 2.6) / 4 = 2.9; μ=3, la moyenne M serait un estimateur non-biaisé de μ, car il n’y a pas de biais dans l’erreur de chaque moyenne M par rapport à μ (certaines moyennes sont plus élevées, d’autres plus basses, sans biais de sur- ou sous-estimation), et le plus de « moyennes des moyennes » qu’on calcule, le plus on semble s’approcher de μ, par la loi des grands nombres. ii. La dernière ligne du tableau avec σ= comprend les écarts-type des échantillons calculés avec la formule suivante (erronée) : 𝜎 = √∑

(𝑋−𝑋 )2 𝑛

. Qu’est-ce que vous

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remarquez des valeurs calculées par rapport au σ calculé à partir de la distribution de probabilités? Réponse : les valeurs sont systématiquement plus petites, donc la formule 𝜎 = √∑

(𝑋−𝑋 )2 𝑛

est un estimateur biaisé de 𝜎, qui sous-estime le paramètre.

iii. Qu’est-ce que vous remarquez lorsque vous comparez la valeur du paramètre 𝜎 calculé à l’aide de la distribution de probabilités (au numéro a.) et les statistiques s calculées des échantillons présentes dans le tableau? Réponse : les statistiques s sont systématiquement plus élevés que 𝝈, donc s surestime le paramètre (estimateur biaisé). iv. Calculez la valeur manquante dans l’échantillon de Monique (le ?). Qu’est-ce que cela signifie pour le calcul de s (indice : degrés de liberté)? Réponse : On connaît la moyenne, donc il faut faire un peu d’algèbre pour résoudre : 2.6 = (4+2+1+5+X) / 5 → 5*2.6 = 4+2+1+5+X → 13 – (4+2+1+5) = X → X=13-12 → X=1 Cela signifie qu’une donnée servant à calculer s n’est pas libre de varier, donc la variance de l’échantillon se calculerait à partir de n – 1 éléments. Approfondissement : c’est pour cette raison qu’on prend la formule avec n – 1 au dénominateur, même si elle surestime le paramètre....