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1

L1 : Eco-Gestion

CC1 Mathématiques ( texte 1 )

Portables, Calculatrices et Documents non autorisés

2016-2017

Durée : 1 H 30

Ex 1 : ( 4 points ) Calcul de dérivée 1) Dériver : F ( x ) = 5 + 6 / x 3 puis G ( x ) = a x + b + ( c / x k ) 2) H( x ) = Ln ( 2x - 4 ) + Ln ( 5 - x ) ; préciser le point x qui annule la dérivée H ' ( x ) 3) C ( S ) = a S + ( b / S 3 ) calculer la dérivée seconde C ' ‘ ( S ) 4) K( x ) = ( 2 x – 1 ) e

5x

; préciser le point x qui annule la dérivée K ' ( x )

Ex 2 : ( 4 points ) Finance – durée de placement – taux résultats seront sous forme : 400* … - 300 * … ou Ln ( ... ) / Ln ( … ) ou … ( 1 / … ) 1) a) préciser le réel x tel que : 5 * 1,03 x = 10 * 1,02 x b) si ( 1 + y ) x = 10 , exprimer y en fonction de x 16/10/2015 60 jours 15/12/2015 40 jours 2)

Taux = 4 % par an

Prêt P = ?

24/01/2016

2000 eu

5000 eu

a) préciser le montant du prêt P b) puis préciser le coût du crédit 3) a) le prix d’une action a augmenté de 9 % en 2013, de 3 % en 2014 et de 4 % en 2015. Calculer son rendement annuel moyen b) De combien doit augmenter l’action en 2016 pour que le rendement annuel moyen sur 4 ans dépasse 5 % ? 01/03/2015 01/03/2016 01/03/2017 …. 01/03/2024 4 ) Taux

2 % par an

Prêt = ?

500 eu

500 eu

….

500 eu

01/03/2025

500 eu

Ex 3 : ( 2 points ) calcul des élasticités rappel : élasticité E F / x = x . F ‘ ( x ) / F ( x ) calculer l’élasticité de a) F 1 ( x ) = x 0,25 ( x + 2 ) 2 b) F 2 ( x ) = x / ( 4 x + 2 )

Ex 4 : ( 3 points ) dérivée = pente et ligne de niveau 1) Q = 2 Ln K + 5 Ln L ; si Q = Ln 4, exprimer L en fonction de K, puis calculer la pente d L / d K au point A ( K = 2 ; L = 1 ) 2) U = 5 x 0,25 y 0,75 ; si U = 10, exprimer y en fonction de x, puis calculer la pente d y / d x au point A ( x = 2 ; y = 2 )

Ex 5 : ( 3 points ) optimisation sous contrainte Minimiser C = x 2 + y sous contrainte Ln x + Ln y = Ln 2 ( Préciser le domaine de définition, tableau de variations exigé et préciser les valeurs de x et de y qui minimisent U ; limites non exigées)

Ex 6 : ( 4 + 2 points ) divers 1) a) H ( x ) = e

x

b) l’équation e

– e x

2) F ( x ) = Ln [ ( e

– 2 x

– 1=e

2x

préciser les limites de H ( x ) en : – ∞ puis en + ∞ – 2 x

+ 5)/(e

+ 3 admet-elle des solutions ? Si oui, combien ? 2x

+ 4 ) ] calculer F ‘ ( x )

puis préciser k tel que F ‘ ( x ) = k e

2x

/ [(e

2x

+ 5)(e

2x

+ 4)]

2x

3) y( x ) = ( 3 x + 1 ) e préciser a et b tels que y ‘’ ( x ) + a y ‘ ( x ) + b y ( x ) = 0 4) ( x + p y = K et p x + y = Q ) calculer x en fonction de p , K et Q

1

2

L1 : Eco-Gestion

3) 4)

2016-2017

F ’ ( x ) = – 18 / x 4 G ( x ) = a x + b + ( c / x ) G ‘ ( x ) = a – c. k / x k + 1 H( x ) = Ln ( 2 x - 4) + Ln ( 5 - x ) H ’ (x) = 2 / (2x- 4) + (-1)/(5– x)= [2(5–x) – (2x-4)] / (2x-4)(5–x) H ’ ( x ) = ( 14 – 4x ) / [ (2x-4)(6–x) ] s’annule en x = 14 / 4 4 C ( x ) = a S + ( b / S ) C ’ ( S ) = a – 3b / S et C ’’ ( S ) = 12 b / S 5 5x K( x ) = ( 2 x – 1 ) e ; k ’ (x) = 2 e + (2x–1) 5 e 5 x = (10x - 3 ) e 5 x s’annule en x = 0,3

Ex 1 : 1) 2)

Correction CC1 Mathématiques ( texte 1 )

F(x)=5+6/x3

k

3

5x

Ex 2 : 1- a) x tel : 5 * 1,03 = 10 * 1,02 1- b) ( 1 + y ) x = 10 , x a) 10/5 = (1,03 / 1.02 ) ↔ x = Ln 2 / Ln(1,03/1,02) b) y = 10 1 / x – 1 x

2)

x

16/10/2015 Prêt P = ?

Taux = 4 % par an

60 jours

15/12/2015 2000 eu

40 jours

24/01/2016 5000 eu

Prêt = 2000 * [ – 0.04 car I.S et on retire intérêts* 60 / 360 +1 ] + 5000 * [ – 0.04*(60+40) / 360 +1 ] Coût crédit = total versé – Prêt = 2000* 0.04 * 60 / 360 + 5000 * 0.04*(60+40) / 360 3) a) le prix d’une action a augmenté de 9 % en 2013, de 3 % en 2014 et de 4 % en 2015. Calculer son rendement annuel moyen b) taux t % :2016 pour que rendement moyen dépasse 5 % sur 4 ans

a) 1+ x /100 = ( 1,09 * 1.03 * 1,04 ) 1 / 3 4 ) Taux 2 % par an

01/03/2015 Prêt = ? – 1 exp max

Prêt = 500 *( 1,02

Ex 3 :

01/03/2016 500 eu –2

+ 1,02

( 2 points ) calcul des élasticités a) F 1 ( x ) = x 0,25 ( x + 2 ) 2

b) 1,09*1.03*1.04 *( 1+ t /100) > 1,05 4 ans 01/03/2017 500 eu – 10 min

+ …+1,02

…. ….

) = 500 * ( 1,02

rappel : élasticité E F / x = x . F ‘ ( x ) / F ( x ) b) F 2 ( x ) = x / ( 4 x + 2 )

01/03/2024 500 eu 0 – 10

– 1,02

01/03/2025 500 eu

) / 0.02

calculer l’élasticité de

a) Ln F = 0.25 Ln x + 2 Ln(x+2) → E F/x = x [ 0.25 /x + 2/ (x+2) ] = ( 2,25 x+ 0.5) / (x+2) b) Ln F = Ln x – Ln ( 4x+2 ) → E F/x = x [ (1 /x ) – 4 / ( 4x+2 ) ] = 2 / ( 4x + 2 ) Ex 4 : 1) Q = 2 Ln K + 5 Ln L ; si Q = Ln 4, exprimer L en fonction de K, puis calculer la pente d L / d K au point A ( k =2 ; L = 1 ) 2) U = 5 x 0,25 y 0,75 ; si U = 10, exprimer y en fonction de x, puis calculer la pente d y / d x au point A ( x = 2 ; y = 2 )

1) on regroupe : Ln ( K 2 L5 ) = Ln 4  L5 = 4 / K 2  L = 4 1 / 5 / K 2 / 5 à dériver L = 4 1 / 5 K - 2 / 5 → L’ ( K ) ≡ dL / dK = – 2/5 *4 1 / 5 * K - 7 / 5 d’où L’ (2) ≡ TMS en A = - 1/5 2) 5 x 0,25 y 0,75 = 10  x 0,25 y 0,75 = 2  x y 3 = 2 4  y = 2 4 / 3 / x 1 / 3 On dérive y ’ ( x ) ≡ dy / dx = – 1/3 *2 4 / 3 / x 4 / 3 donc y ’ ( 2 ) ≡ TMS en A = - 1/3 Ex 5 : Minimiser C = x + y sous contrainte Ln x + Ln y = Ln 2 a) on regroupe pour x > 0 et y > 0 : Ln ( x y ) = Ln 2 donc y = 2 / x b) C ( x ) = x 2 + 2 / x x 0 1 +∞ C‘(x)=2x –2/x2=[2x3 –2]/x2 C ‘ (x) - 0 + s’annule en x 3 = 1 → x = 1 +∞ +∞ c) contrainte : y = 2 / x = 2 et C min = C ( 1 ; 2 ) C min= 3 Ex 6 : 1) a) H ( x ) = e – e préciser les limites de H ( x ) en : – ∞ puis en + ∞ 2

x

– 2 x

b) l’équation e x – 1 = e – 2 x + 3 admet-elle des solutions ? Si oui, combien ? 2) F ( x ) = Ln [ ( e 2 x + 5 ) / ‘( e 2 x + 4 ) ] calculer F ‘ ( x ) puis préciser k tel que F ‘ ( x ) = k e 2 x / [ ‘( e 2 x + 5 ) ‘( e 2 x + 4 ) ] 3) y( x ) = ( 3 x + 1 ) e 2 x préciser a et b tels que y ‘’ ( x ) + a y ‘ ( x ) + b y ( x ) = 0 4) ( x + p y = K et p x + y = Q ) calculer x en fonction de p , K et Q

1) Lim + ∞ e x – e – 2 x = +∞ – 0 = +∞ et Lim – ∞ e x – e – 2 x = 0 – +∞ = – ∞ étude de fonction obligatoire : k(x) = e x – 1 – e – 2 x – 3 → k ’ (x) = e x + 2 e – 2 x > 0 k ( x ) change 1 seule fois de signe donc l’équation admet 1 seule solution 2) F ‘ ( x) = 2 e 2 x / ( e 2 x + 5 ) – 2 e 2 x / ( e 2 x + 4 ) = – 2 e 2 x / [ ( e 2 x + 5 ) ( e 2 x + 4 ) ] 3) y ‘ ( x) = ( 6 x + 5 ) e 2 x et y ‘ ‘ ( x) = ( 12 x + 16 ) e 2 x y ‘’ + a y ‘ + b y = e 2 x [ x ( 12+6a+3b ) + ( 16+5a+b) ] s’annule quand 12+6a+3b = 0 et 16+5a + b = 0 4) on élimine y par L2 → L1 – p L2 : ( 1 – p 2 ) x = K – p Q d’où x = ( K – p Q ) / (1 – p 2 )

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L1 : Eco-Gestion

CC1 Mathématiques ( texte 3 )

Portables, Calculatrices et Documents non autorisés

2016-2017

Durée : 1 H 30

Ex 1 : ( 4 points ) Calcul de dérivée 1) Dériver : F ( x ) = 5 x + 1 + 6 / x 3 puis G ( x ) = a x k + ( c / x k ) 2) H( x ) = 3 Ln ( x - 4 ) + Ln ( 5 - x ) ; préciser le point x qui annule la dérivée H ' ( x ) 3) C ( S ) = a S 3 + ( b / S ) calculer la dérivée seconde C ' ‘ ( S ) 4) K( x ) = 2 x e

-4 x

; préciser le point x qui annule la dérivée K ' ( x )

Ex 2 : ( 4 points ) Finance – durée de placement – taux résultats seront sous forme : 400* … - 300 * … ou Ln ( ... ) / Ln ( … ) ou … ( 1 / … ) 1) a) préciser le réel x tel que : 10 / 1,03 x = 5 * 1,02 x b) si ( 1 + y ) x = 10 , exprimer y en fonction de x 16/10/2015 80 jours 15/12/2015 40 jours 2)

Taux = 4 % par an

800 eu

24/01/2016

600 eu

Retrait = ?

a) préciser le montant du retrait R b) puis préciser le gain du placement 3) a) le prix d’une action a augmenté de 9 % en 2013, diminué de 3 % en 2014, augmenté de 5 % en 2015. Calculer son rendement annuel moyen b) De combien doit augmenter l’action en 2016 pour que le rendement annuel moyen sur 4 ans dépasse 5 % ? 01/03/2015 01/03/2016 01/03/2017 …. 01/03/2024 4 ) Taux

2 % par an

Prêt = ?

500 eu

500 eu

….

500 eu

01/03/2025

500 eu

Ex 3 : ( 2 points ) calcul des élasticités rappel : élasticité E F / x = x . F ‘ ( x ) / F ( x ) calculer l’élasticité de a) F 1 ( x ) = x + x 2 + 2 b) F 2 ( x ) = x / ( 4 x + 2 )

Ex 4 : ( 3 points ) dérivée = pente et ligne de niveau 1) Q = 3 Ln K + 2 Ln L ; si Q = 5 Ln 3, exprimer L en fonction de K, puis calculer la pente d L / d K au point A ( K = 3 ; L = 3 ) 2) U = 5 x 0,5 y 0,5 ; a) si U = 10, exprimer y en fonction de x, b) puis calculer la pente d y / d x au point A ( x = 2 ; y = 2 ) c) exprimer U ( 1,04 x ; y ) en fonction de U ( x ; y ) et interpréter

Ex 5 : ( 3 points ) optimisation sous contrainte Minimiser C = x + y 2 sous contrainte Ln x + 2 Ln y = Ln 16 ( Préciser le domaine de définition, tableau de variations exigé et préciser les valeurs de x et de y qui minimisent U ; limites non exigées )

Ex 6 : ( 4 + 2 points ) divers 1) a) H ( x ) = x Ln x – x – 1 préciser les limites de H ( x ) en : 0 puis en + ∞ b) l’équation x Ln x = x + 1 admet-elle des solutions ? Si oui, combien ? 2) ( x + p y = K et p x + y = Q ) calculer x en fonction de p , K et Q 3) résoudre x + 2 y + 3z = 5 x+3y– z = 1 2x + 5y + 4 z = 8

3

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L1 : Eco-Gestion

Correction CC1 Mathématiques ( texte 3 )

2016-2017

F’ (x) = 5 –18 /x 4 G ( x ) = a x + c / x G‘ (x) = a k x k – 1 – c k / x k + 1 2) H( x ) = 3Ln ( x - 4) + Ln ( 5 - x ) H ’ (x) = 3 / (x- 4) + (-1)/(5– x)= [3(5–x) – (x-4)] / (x-4)(5–x) H ’ ( x ) = ( 19 – 4x ) / [ (x-4)(5–x) ] s’annule en x = 19 / 4 2 2 3) C ( x ) = a S + b / S C ’ ( S ) = 3 a S – b / S et C ’’ ( S ) = 6 a S + 2 b / S 3 -4x -4x -4x 4) K( x ) = 2 x e ; k ’ (x) = 2 e + 2x (- 4) e = (2 – 8 x ) e s’annule en x = 0,25 x Ex 2 : 1- a) x tel : 10 / 1,03 = 5 * 1,02 1- b) ( 1 + y ) = 10 , a) 10/5 = (1,03 * 1.02 ) x ↔ x = Ln 2 / Ln(1,03 * 1,02) b) y = 10 1 / x – 1 Ex 1 : 1)

F ( x ) = 5x+1 + 6 / x 3

k

k

3

-4 x

x

2) Taux = 4 % par an

x

16/10/2015 800

60 jours

15/12/2015 600 eu

40 jours

24/01/2016 Retrait R = ?

R = 800 * [ + 0.04 car I.S et on ajoute intérêts* (60+40) / 360 +1 ] + 600 * [ + 0.04*40 / 360 + 1 ] Gain ^lacement = Retrait – total versé = 800* 0.04 * 100 / 360 + 600 * 0.04* 40 / 360 3) a) le prix d’une action a augmenté de 9 % en 2013, diminué de 3 % en 2014 et augmenté de 4 % en 2015. Calculer son rendement annuel moyen b) taux t % :2016 pour que rendement moyen dépasse 5 % sur 4 ans

a) 1+ x /100 = ( 1,09 * 0.97 * 1,04 ) 1 / 3 4 ) Taux 2 % par an

01/03/2015 Prêt = ? – 1 exp max

Prêt = 500 *( 1,02

01/03/2016 500 eu –2

+ 1,02

b) 1,09*0.97*1.04 *( 1+ t /100) > 1,05 4 ans 01/03/2017 500 eu – 1 min

…. ….

01/03/2024 500 eu – 10

01/03/2025 500 eu

) = 500 * ( 1,02 0 – 1,02

+ …+1,02

) / 0.02 Ex 3 : ( 2 points ) calcul des élasticités a) F ( x ) = x + x + 2 b) F ( x ) = x / ( 4 x + 2 ) a) f ‘(x) = 1 + 2 x → E F/x = ( x + 2 x 2 ) / ( x + x 2 + 2 ) b) Ln F = Ln x – Ln ( 4x+2 ) → E F/x = x [ (1 /x ) – 4 / ( 4x+2 ) ] = 2 / ( 4x + 2 ) Ex 4 : 1) Q = 3 Ln K + 2 Ln L ; si Q =5 Ln 3, exprimer L en fonction de K, et calculer la pente d L / d K au point A ( k =3 ; L = 3 ) 1

2

2

2) U = 5 x 0, 5 y 05 ; si U = 10, exprimer y en fonction de x, puis calculer la pente d y / d x au point A ( x = 2 ; y = 2 )

1) on regroupe : Ln ( K 3 L2 ) = Ln 3 5  L2 = 3 5 / K 3  L = 3 5 / 2 / K 3 / 2 à dériver L = 3 5 / 2 K - 3 / 2 → L’ ( K ) ≡ dL / dK = – 3/2 *3 5 / 2 * K - 5 / 2 d’où L’ (2) ≡ TMS en A = - 3/2 2) 5 x 0, 5 y 0, 5 = 10  x 0, 5 y 0, 5 = 2  x y = 2 2  y = 4 / x On dérive y ’ ( x ) ≡ dy / dx = – 1 *4 / x 2 donc y ’ ( 2 ) ≡ TMS en A = - 1 U ( 1,04 x ; y )= 5 (1.04 x) 0, 5 y 0, 5 = 1.04 0, 5 5 x 0, 5 y 0, 5 1.04 0, 5 U ( x ; y) avec 1.04 0,5 ≈ 1+0,5*0,04 = 1,02 : si x augmente de 4 %, U augmente de 2 % environ Ex 5 : Minimiser C = x + y 2 sous contrainte Ln x + 2 Ln y = Ln 16 a) on regroupe pour x > 0 et y > 0 : Ln ( x y 2 ) = Ln 16 donc y 2 = 16 / x b) C ( x ) = x + 16 / x x 0 4 +∞ C ‘ ( x ) = 1 – 16 / x 2 = [ x 2 – 16 ] / x 2 C ‘ (x) - 0 + s’annule en x 2 = 16 → x = 4 +∞ +∞ c) contrainte : y 2 = 16 / x = 4 et C min = C ( 4 ; 2 ) C min= 8 Ex 6 : 1) a) H ( x ) = x Ln x – x – 1 préciser les limites de H ( x ) en : 0 puis en + ∞ b) l’équation x Ln x = x + 1 admet-elle des solutions ? 2) ( x + p y = K et p x + y = Q ) calculer x en fonction de p , K et Q

3) résoudre

x + 2 y + 3z = 5 x+3y– z = 1 2x + 5y + 4 z = 8

1) Lim 0 x Ln x = 0 F.I mais x l’emporte – 0 – 1 = - 1 et Lim + ∞ x ln x – x – 1 = + ∞ étude de fonction obligatoire : h’(x) = ( 1 Ln x + x / x ) – 1 = Ln x qui s’annule en x = 1 x 0 1 + ∞ h ( x ) change 1 seule fois de signe -1 + ∞ donc l’équation admet 1 seule solution h(x) min 2) on élimine y par L2 → L1 – p L2 : ( 1 – p 2 ) x = K – p Q d’où x = ( K – p Q ) / (1 – p 2 ) 3) on élimine x x + 2 y + 3z = 5 on élimine y x + 11 z = 13 d’où z = 1 par L2 → L2 – L1 y – 4 z = – 4 par L1 → L1 – 2 L2 y – 4 z = – 4 puis x = 2 ; y = 0 et L3 → L3 – 2 L1 y–2z=–2 et L3 → L3 – L2 2z=2 solution unique

4

5

L1 : Eco-Gestion

CC1 Mathématiques ( texte 1 )

Portables, Calculatrices et Documents non autorisés

2015-2016 Durée : 1 H 30

Ex 1 : ( 4 points ) Calcul de dérivée 1) Dériver : F ( x ) = a + b / x 4 puis G ( x ) = 3 x + 1 + ( 3 / x 3 ) 2) H( x ) = Ln ( 2 x - 4 ) + Ln ( 6 - x ) ; préciser le point x qui annule la dérivée H ' ( x ) 3) C ( x ) = x 2 + ( 16 / x ) avec x > 0 ; préciser le point x qui annule la dérivée C ' ( x ) -2x 4) K( x ) = ( 2 x + 1 ) e ; préciser le point x qui annule la dérivée K ' ( x ) Ex 2 : ( 2 points ) dérivée = pente et ligne de niveau U = 2 K 3 / 5 L 2 / 5 ; si U = 4, exprimer L en fonction de K, puis calculer la pente d L / d K au point A ( K = 2 ; L = 2 ) Ex 3 : ( 2 points ) calcul des élasticités rappel : élasticité E F / x = x . F ‘ ( x ) / F ( x ) calculer l’élasticité de a) F 1 ( x ) = x 2 ( x + 2 ) b) F 2 ( x ) = x / ( x + 2 ) Ex 4 : ( 4 points ) Finance – durée de placement – taux résultats seront sous forme : 400* … - 300 * … ou Ln ( ... ) / Ln ( … ) ou … ( 1 / … ) 1) avec un taux d’inflation = 6 % par an : préciser a) l’inflation sur 10 ans b) l’inflation sur 3 mois 2) pays A : l’inflation annuelle est de 5 % par an et Mr Y a un salaire = 2000 euros pays B : l’inflation annuelle est de 3 % par an et Mme X a un salaire = 1500 euros On suppose que les salaires sont constants ( = non indexés sur l’inflation ) : en comparant les salaires actualisés, en quelle année Mme X aura-t-elle un pouvoir d’achat > à celui de Mr Y 16/10/2015 60 jours 15/12/2015 40 jours 24/01/2016 3) Taux = 4 % par an Prêt P = ? 2001 eu 5000 eu 4) Taux = 3 % par an

03/06/2012 Place 5000 eu

03/06/2013 Retire 3000 eu

03/06/2014 Place 4000 eu

03/06/2020 Capital disponible K = ?

Ex 5 : ( 4 points ) optimisation sous contrainte Maximiser Q = 3 Ln x + Ln y sous contrainte 10 x + 5 y = 200 ( Préciser le domaine de définition, tableau de variations avec limites exigé et préciser les valeurs de x et de y qui maximisent U ) Ex 6 : ( 2 points ) formule de TAYLOR 1) F ( x ) = x 1/ 2 écrire sa formule de Taylor au point a = 1 2) En déduire l’approximation linéaire de : 1,04 1/ 2 ≈ …. ? 3) U ( x ; y ) = 5 x 1 / 2 y 3 / 2 exprimer U ( 1,04 x ; y ) en fonction de U ( x ; y ) puis interpréter ( à l’aide de l’approximation linéaire ci-dessus ) Ex 7 : ( 2 points ) équation F ( x ) = e – 2 x + 2 x - 10 Calculer F ( 0 ) puis L’équation F ( x ) = 0 admet-elle des solutions ? Si oui, combien ? ( on justifiera la réponse avec rigueur

5

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L1 : Eco-Gestion

3) 4)

2015-2016

F ’( x ) = – b / x 5 G(x)=3x+1 +3/x G ‘ ( x ) = 3 – 9 / x 4 H( x ) = Ln ( 2 x - 4) + Ln ( 6 - x ) H ’ (x) = 2 / (2x- 4) + (-1)/(6– x)= [2(6–x) – (2x-4)] / (2x-4)(6–x) H ’ ( x ) = ( 16 – 4x ) / [ (2x-4)(6–x) ] s’annule en x = 4 2 3 2 C ( x ) = x + ( 16 / x ) C ’ ( x ) = 2x – 16 / x = ( 2 x – 16 ) / x s’annule en x = 2 -2x -2x -2x K( x ) = ( 2 x + 1 ) e ; k ’ (x) = 2 e + (2x+1) (– 2) e = – 4x e s’annule en x = 0

Ex 1 : 2)

Correction CC1 Mathématiques ( texte 1 )

1) F ( x ) = a + b / x 4

3

2

-2x

Ex 2 :

U = 2 K 3 / 5 L 2 / 5 ; si U = 4, exprimer L en fonction de K, puis calculer la pente d L / d K au point A ( K = 2 ; L = 2 )

2 K 3/5 L2/5 = 4  K 3 L 2 = 2 5  L = 2 5/2 / K 3/2 On dérive L’ ( K ) ≡ dL / dK = – 3/2 *2 5 / 2 / K 5 / 2 donc L’ ( 2 ) ≡ TMS en A = - 3/2 Ex 3 : calculer l’élasticité de a) F 1 ( x ) = x 2 ( x + 2 ) b) F 2 ( x ) = x / ( x + 2 ) a) Ln F = 2 Ln x + Ln(x+2) → E F/x = x [ (2 /x ) + 1/ ( x+2 ) ] = ( 3 x + 4 ) / ( x + 2 ) b) Ln F = Ln x – Ln ( x+2 ) → E F/x = x [ (1 /x ) – 1 / ( x+2 ) ] = 2 / ( x + 2 ) Ex 4 : 1) inflation = 6 % par an : préciser a) l’inflation sur 10 ans b) l’inflation sur 3 mois a) t 10 ans = 1,06 10 – 1 b) ( 1+ t 3 mois ) 12 / 3 = 1,06 ↔ t 3 mois = 1,06 1 / 4 – 1 2) pays A : l’inflation annuelle est de 5 % par an et Mr Y a un salaire = 2000 euros pays B : l’inflation annuelle est de 3 % par an et Mme X a un salaire = 1500 euros en comparant les salaires actualisés, en quelle année Mme X aura-t-elle un pouvoir d’achat > à celui de Mr Y

2000/1,05 n < 1500/1,03 n ↔ 2000/1500 < (1,05/1,03) n ↔ Ln 1,5 / Ln(1,05/1,03) < n 3)

16/10/2015 60 jours 15/12/2015 40 jours Taux = 4 % par an Prêt P = ? 2000 eu Prêt = 2000 * [ – 0.04*60 / 360 +1 ] + 5000 * [ – 0.04*(60+40) / 360 +1 ] 4) 03/06/2012 03/06/2013 03/06/2014 Taux = 3 % par an Place 5000 eu Retire 3000 eu Place 4000 eu 8 7 6

K = 5000 * 1,03

24/01/2016 5000 eu 03/06/2020 Capital disponible K = ?

– 3000 * 1,03 + 4000 * 1,03

Ex 5 : Maximiser Q = 3 Ln x + Ln y sous contrainte 10 x + 5 y = 200 a) y = 40 – 2x b) Q ( x ) = 3 Ln x + Ln ( 40 – 2x ) définie sur ] 0 ; 40 [ Q ‘ ( x ) = ( 3 / x ) – 2 / ( 40 – 2x ) x 0 15 Q ‘ ( x ) = (120 – 8 x ) / [ x (40 - 2x)] Q ‘ (x) + 0 s’annule en x = 120/ 8=15 max c) contrainte : y = 40 – 2*15 = 10 et Q max= Q ( 15 ; 10 ) Q -∞ Ex 6 : 1) f ( x ) = x écrire sa formule de Taylor au point a = 1

20 -∞

1/ 2

2) En déduire l’approximation linéaire de : 1,04 1/ 2 ≈ …. ? 3) U ( x ; y ) = 5 x 1 / 2 y 3 / 2 exprimer U ( 1,04 x ; y ) en fonction de U ( x ; y ) puis interpréter

1) f’(x)= 1 / 2 . x – 1 / 2 f’’(x)= –1 / 4 .x - 3 / 2 donc ½. f ’’(1) = – 1/8 x 1/2 = 1 + 0,5 ( x – 1 ) – 1 / 8 ( x – 1 ) 2 + έ [ ( x – 1 ) 2 ] 2) 1,04 1 / 2 ≈ 1 + 0,5 * ( 1,04 – 1 ) = 1,02 3) U ( 1,04 x ; y ) = 1,04 1 / 2 * 5 * x 1 / 2 y 3 / 2 ≈ 1,02 * U ( x ; y ) quand x augmente de 4 % ( y inchangé ), U augmente de 2 % ( environ )

Ex 7 :

F ( x ) = e – 2 x + 2 x - 10