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Math´ematiques

TP Informatique (Scilab) n◦ 10:

ECE 2 Lyc´ ee Hoche (2019 - 2020)

Quelques extraits de sujets de Concours r´ecents

⋆⋆⋆ 1.

ECRICOME

EXERCICE 1 - adapt´ e de ECRICOME 2013 (voie E) On consid`ere la fonction r´ eelle `a valeurs r´eelles f d´ efinie par : f : x 7→

x ln(x) − 1 x

On consid`ere la suite (un )n d´ efinie par u0 = e et ∀n ∈ N, un+1 = f(un ) + un . On admet que (un )n diverge vers +∞. Recopier et compl´ eter le code ci-dessous de mani`ere a` ce qu’il calcule puis affiche le plus petit entier naturel n v´erifiant un > A, A ´etant un r´ eel entr´e par l’utilisateur. function y = f(x) y = ... endfunction A = input("Entrer un r´ eel A ") u = exp(1) n = 0 while ... do ... ... end disp(...)

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EXERCICE 2 - ECRICOME 2014 (voie E) On dispose d’une pi` ece de monnaie dont la probabilit´e d’obtenir Pile vaut p a` chaque lancer. On effectue une succession illimit´ ee de lancers de cette pi`ece. ´ une fonction Scilab d’en-tˆ ete : 1) Ecrire function y = Lancer(p) qui prend en argument un r´eel p ∈]0, 1[, cr´e´e un nombre al´eatoire dans l’intervalle [0, 1[, et renvoie 1 si ce nombre al´eatoire est strictement inf´ erieur a` p, 0 sinon. ´ une fonction Scilab d’en-tˆ ete : 2) Ecrire function y = PremierPile(p) qui prend en argument un r´eel p ∈]0, 1[, et simule autant de lancers d’une pi`ece amenant Pile a` chaque lancer avec une probabilit´ e p que n´ ecessaire, jusqu’` a l’obtention du premier Pile, et renvoie le nombre de lancers effectu´ es. Indication : On pourra, si on le souhaite, utiliser la fonction Lancer ´ un programme Scilab qui demande `a l’utilisateur un r´eel p, puis qui simule autant de lancers 3) Ecrire de la pi`ece que n´ ecessaire jusqu’`a l’obtention du second Pile, et affiche le nombre de Face obtenus en tout. Indication : On pourra, si on le souhaite, utiliser la fonction PremierPile, en la r´ ep´etant convenablement.

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EXERCICE 3 - ECRICOME 2015 (voie E) efinie par u1 = 1 et ∀n ∈ N∗ , un+1 = 1 − e−un On consid`ere la suite (un )n∈N∗ d´ Recopier et compl´ eter le programme ci-dessous qui permet de repr´esenter les 100 premiers termes de la ∗ suite (un )n∈N U = zeros(1,100) U(1) = ... for n = 1:99 do U(n+1) = ... end plot(U,"+")

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EXERCICE 4 - ECRICOME 2015 (voie E) Soit N > 2. On effectue des tirages sans remise dans une urne U1 contenant initialement N − 1 boules blanches et 1 boule noire, et ce, jusqu’` a l’obtention de la boule noire. On note X la variable al´ eatoire ´egale au rang d’apparition de la boule noire. On cherche a` simuler 10000 fois cette exp´ erience al´eatoire. Recopier et compl´ eter le programme Scilab suivant pour qu’il affiche l’histogramme donnant la fr´equence d’apparition du rang d’obtention de la boule noire. N = input(’Donner un entier naturel non nul’) S = zeros(1,N) for k=1:10000 i = 1 M = N while ... do i = i+1 M = ... end S(i) = S(i)+1 end clf() disp(S/10000) bar(S/10000) On ex´ecute le programme ci-dessus, on entre 5 au clavier et l’on obtient le diagramme ci-dessous :

Figure 1: Histogramme obtenu

Quelle conjecture pouvez-vous ´emettre concernant la loi de X ? 4 sur 58

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EXERCICE 5 - ECRICOME 2016 (voie E) Soient n, b et c trois entiers strictement positifs. Une urne contient initialement n boules noires et b boules blanches. On effectue l’exp´ erience al´eatoire suivante, en distinguant trois variantes. • On pioche une boule dans l’urne. On d´efinit X la variable al´ eatoire qui vaut 1 si cette boule est noire, 2 si elle est blanche. • On replace la boule dans l’urne et : – Variante 1 : on a joute dans l’urne c boules de la mˆ eme couleur que la boule qui vient d’ˆetre pioch´ee. – Variante 2 : on a joute ans l’urne c boules de la couleur oppos´ ee a` celle de la boule qui vient d’ˆetre pioch´ee. – Variante 3 : on n’a joute pas de boule suppl´ementaire dans l’urne. • On pioche a` nouveau une boule dans l’urne. On d´efinit Y la variable al´ eatoire qui vaut 1 si cette seconde boule pioch´ee est noire et 2 si elle est blanche. 1) Recopier et compl´ eter la fonction Scilab suivante, qui simule le tirage d’une boule dans une urne contenant b boules blanches et n boules noires, et qui retourne 1 si la boule tir´ ee est noire, et 2 si la boule tir´ee est blanche. function res = tirage(b,n) r = rand() if ... then res = 2 else res = 1 end enfunction 2) Compl´eter la fonction suivante, qui effectue l’exp´erience ´etudi´ee avec une urne contenant initialement b boules blanches et n boules noires, et qui ajoute ´eventuellement c boules apr`es le premier tirage, selonle choix de la variante dont le num´ ero est variante. Les param`etres de sorties sont : • x : une simulation de la variable al´eatoire X • y : une simulation de la variable al´eatoire Y function [x , y] = experience(b,n,c,variante) x = tirage(b,n) if variante == 1 then if x == 1 then ... else... end else if variante == 2 then ... ... ... ... ... end y = tirage(b,n) endfunction 5 sur 58

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3) Compl´eter la fonction suivante, qui simule l’exp´erience N fois (avec N ∈ N∗ ), et qui estime la loi de X, la loi de Y et la loi du couple (X, Y). Les param`etres de sorties sont : • loiX : un tableau unidimensionnel a` deux ´el´ements qui estime [ P(X = 1), P(X = 2) ] • loiY : un tableau unidimensionnel a` deux ´el´ements qui estime [ P(Y = 1), P(Y = 2) ] • loiXY : un tableau bidimensionnel a` deux lignes et deux colonnes qui estime P([X = 1] ∩ [Y = 1]) P([X = 1] ∩ [Y = 2]) P([X = 2] ∩ [Y = 1]) P([X = 2] ∩ [Y = 2]) function [ loiX , loiY, loiXY ] = estimation(b,n,c,variante,N) loiX = [0,0] loiY = [0,0] loiXY = [0,0 ; 0,0] for k=1:N [x,y] = experience(b,n,c,variante) loiX(x) = loiX(x)+1 ... ... end loiX = loiX/N loiY = loiY/N loiXY = loiXY/N endfunction 4) On ex´ecute notre fonction pr´ ec´ edente avec b = 1, n = 2, c = 1 et N = 10000 et dans chacune des variantes. On obtient alors les r´ esultats apparaissant dans l’encadr´e gris´e ci-apr`es.

En ´etudiant ces r´esultats, e´mettre des conjectures quant a` l’ind´ependance et l’´echangeabilit´e 1 de X et Y dans chacune des variantes. On donne les valeurs num´ eriques approch´ ees suivantes : 0.33 × 0.33 ≈ 0.11

0.33 × 0.41 ≈ 0.14 0.33 × 0.58 ≈ 0.19

0.33 × 0.66 ≈ 0.22 0.41 × 0.66 ≈ 0.27

0.58 × 0.66 ≈ 0.38 0.66 × 0.66 ≈ 0.44

1. Deux variables al´eatoires discr`etes X et Y sont dites ´echangeables si X(Ω) = Y(Ω) et ∀(i, j) ∈ X(Ω) × Y(Ω), P([X = i] ∩ [Y = j]) = P([X = j] ∩ [Y = i])

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EXERCICE 6 - ECRICOME 2017 (voie E) Soit n un entier naturel non nul. On effectue une s´ erie illimit´ee de tirages d’une boule avec remise dans une urne contenant n boules num´erot´ees de 1 a` n. Pour tout entier naturel k non nul, on note Xk la variable al´ eatoire ´egale au num´ ero de la boule obtenue au k`eme tirage. Pour tout entier naturel k non nul, on note Sk la somme des num´eros des boules obtenues lors des k premiers tirages : k X Sk = Xi i=1

On consid`ere enfin la variable al´eatoire Tn ´egale au nombre de tirages n´ecessaires pour que, pour la premi`ere fois, la somme des num´eros des boules obtenues soit sup´ erieure ou ´egale `a n. Exemple : avec n = 10, si les num´eros obtenus aux cinq premiers tirages sont dans cet ordre 2, 4, 1, 5, 9, alors obtient : S1 = 2, S2 = 6, S3 = 7, S4 = 12, S5 = 21 et T10 = 4 On admet que (Tn )n>1 converge en loi vers une variable al´ eatoire Y, v´erifiant

k−1 k! 1) On rappelle qu’en langage Scilab, l’instruction grand(1,1,’uin’,1,n) renvoie un entier al´eatoire de J1, nK. Compl´eter la fonction ci-dessous, qui prend en argument le nombre n de boules contenues dans l’urne, afin qu’elle simule la variable al´eatoire Tn . Y(Ω) = N∗

et ∀k ∈ N∗ , P(Y = k) =

function y = T(n) S = ... y = ... while ... tirage = grand(1,1,’uin’,1,n) S = S + tirage y = ... end endfunction 2) On suppose d´eclar´ee la fonction pr´ec´ edente et on ´ecrit le script ci-dessous : function y = freqT(n) y = zeros(1,n) for i = 1:100000 k = T(n) y(k) = y(k)+1 end y = y/100000 endfunction function y = loitheoY(n) y = zeros(1,n) for k = 1:n y(k) = (k-1)/prod(1:k) end endfunction 8 sur 58

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clf n = input(’n=?’) plot2d(loitheo(6),style=-2) x=freqT(n) bar(x(1:5)) L’´ecriture de ce script pour les valeurs de n indiqu´ees a permis d’obtenir les graphes ci-dessous :

n=5

n=10

n=20

n=50

n=100

n=1000

(a) Expliquer ce que repr´ esentent les vecteurs renvoy´es par les fonctions freqT et loitheoY. Comment ces vecteurs sont-ils repr´esent´es graphiquement dans chaque graphique ? (b) Expliquer en quoi cette succession de graphiques permet d’illustrer un r´esultat admis dans le pr´eambule.

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EXERCICE 7 - adapt´ e de ECRICOME 2018 (voie E) 3 On pose X0 =

0

3 , X1 =

0

−1 −2 o` u les matrices A et B sont d´efinies par :

et, pour tout n ∈ N : Xn+2 =

2 1 −2 A=

0 3

0

1 1 AXn+1 + BXn 6 6

1 −1 −1 et B =

1 −1 5

−3 3 −3 −1 1

1

Compl´eter la fonction ci-dessous qui prend en argument un entier n sup´erieur ou ´egal `a 2 et qui renvoie la matrice Xn .

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EXERCICE 8 - adapt´ e de ECRICOME 2018 (voie E) Pour tout entier naturel n non nul, on pose : un =

n X 1 k=1

k

− ln(n) et vn = un −

1 n

´ une fonction d’en-tˆ ete : function y=u(n) qui prend en argument un entier naturel n non nul 1) Ecrire et qui renvoie la valeur de un . 2) On admet que (un )n∈N∗ converge vers un r´eel not´e γ v´erifiant : ∀n ∈ N∗ , |un − γ| 6

1 n

On rappelle que l’instruction Scilab floor(x) renvoie la partie enti`ere d’un r´eel x et l’on suppose que la fonction u de la question 1) (e) a ´et´e correctement programm´ee. Expliquer l’int´erˆet et le fonctionnement du script ci-dessous :

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EXERCICE 9 - ECRICOME 2019 (voie E) On consid`ere la fonction f d´ efinie sur l’ouvert R∗+ × R∗+ de R2 par : ∀(x, y) ∈ R+∗ × R∗+ , f(x, y) =

x 1 + y2 + y2 x

On utilise Scilab pour tracer les lignes de niveau de la fonction f. On obtient le graphe suivant :

´ Etablir une conjecture a` partir du graphique quant a` l’existence d’un extremum local pour f, dont on donnera la nature, la valeur approximative et les coordonn´ees du point en lequel il semble ˆetre atteint.

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EXERCICE 10 - adapt´ e de ECRICOME 2019 (voie E) On consid`ere, pour tout n ∈ N∗ , la fonction hn d´ efinie sur R∗+ par : ∗ , h (x) = xn + 1 + ∀x ∈ R+ n

1 xn

On admet que, pour tout n ∈ N∗ , hn est strictement croissante sur [1, +∞[. On admet par ailleurs que, pour tout n ∈ N∗ , l’´ equation hn (x) = 4 d’inconnue x ∈ R∗+ poss`ede une unique solution strictement plus grande que 1, que l’on notera vn . On admet enfin que, pour tout n ∈ N∗ , vn 6 3. ´ une fonction Scilab d’entˆete function y = h(n,x) prenant en argument un entier naturel non 1) Ecrire nul n et un r´eel strictement positif x, et qui calcule puis renvoie la valeur de hn (x). 2) Compl´eter la fonction Scilab prenant un argument un entier naturel non nul n, et qui calcule a` l’aide de l’algorithme de dichotomie, puis renvoie, une valeur approch´ee de vn a` 10−5 pr` es. function res = v(n) a = 1 b = 3 while (b-a) > 10^(-5) c = (a+b)/2 if h(n,c) < 4 then ... else ... end end ... endfunction 3) A la suite de la fonction v pr´ ec´ edemment impl´ement´ee, on ´ecrit les lignes de code suivantes : X = 1:20 Y = zeros(1,20) for k = 1:20 Y(k) = v(k)^k end plot2d(X,Y,style=-2,rect=[1,1,20,3]) Apr`es l’ex´ecution de ce programme, nous obtenons la sortie graphique suivante :

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Expliquer ce qui est affich´e sur le graphique ci-dessus. Que peut-on conjecturer ?

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EXERCICE 11 - adapt´ e de ECRICOME 2019 (voie E) Soit (Ω, T , P) un espace probabilis´ e. On consid`ere trois variables al´eatoires Y, D et U d´efinie sur (Ω, T , P). On suppose que Y est une variable al´ eatoire `a densit´e poss´edant une esp´ erance ´egale `a 0, que U suit la loi uniforme a` densit´ e sur ]0, 1[, et que D ne prend que les valeurs 1 et −1, et ce avec la mˆeme probabilit´e. 1 D+1 . On suppose que Y et √ poss`edent la mˆeme loi. On pose Z = 2 1−U On suppose enfin que D et Y sont ind´ependantes. On pose T = DY et on admet que T est une variable al´eatoire d´efinie sur (Ω, T , P). 1) D´eterminer la loi de Z. ´ une fonction en langage Scilab d’entˆete function a=D(n) prenant en argument un entier 2) Ecrire naturel non nul n et qui renvoie sous forme d’une matrice ligne n r´ ealisations ind´ependantes de la variable al´ eatoire D. 3) On consid`ere les lignes de code suivantes : n = input(’entrer n ’) a = D(n) b = rand(1,n) c = a ./ sqrt(1-b) disp(sum(c)/n) De quelle variable al´eatoire les coefficients de c constituent autant de r´ ealisations ind´ependantes ? Pour n assez grand, quelle sera la valeur affich´ee ? Justifier votre r´eponse.

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EM Lyon

EXERCICE 1 - adapt´ e de EM Lyon 2013 (voie E) On consid`ere l’application f : R −→ R d´efinie par :  −t ln(t) + t1/3 si 0 < t < 1 ∀t ∈ R, f(t) = 0 sinon 1) Montrer que f est de classe C 2 sur ]0, 1[, et calculer f ′ (t) et f ′′ (t) pour tout t ∈]0, 1[ 2) En d´eduire que l’´ equation f ′ (t) = 0 d’inconnue t ∈]0, 1[ admet une solution et une seule, not´ ee α, et 1 montrer : < α < 1 e ´ 3) Ecrire un programme Scilab qui calcule et affiche une valeur approch´ee de α a` 10−3 pr`es, mettant en œuvre l’algorithme de dichotomie.

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EXERCICE 2 - adapt´ e de EM Lyon 2014 (voie E) On consid`ere la fonction de la variable r´eelle ϕ d´efinie sur R∗+ par ∀x ∈ R+∗ , ϕ(x) = ex − xe1/x On consid`ere la suite (un )n∈N d´ efinie par u0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 = ϕ(un ) On admet que (un )n∈N est strictement croissante, et diverge vers +∞. ´ Ecrire un programme Scilab qui calcule et affiche le plus petit entier naturel n tel que un > 103

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EXERCICE 3 - EM Lyon 2015 (voie E) 1) Soit λ un r´eel strictement positif. Soit U une variable al´ eatoire suivant la loi uniforme a` densit´e sur [0, 1[. 1 Quelle est la loi de V = − ln(1 − U) ? λ ´ une fonction Scilab qui, e´tant donn´ e un nombre r´eel λ strictement positif, simule la loi expo2) Ecrire nentielle de param` etre λ.

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EXERCICE 4 - EM Lyon 2015 (voie E) On consid`ere f : x 7→ x3 ex

1) Montrer que la s´ erie de terme g´en´eral

+∞ X 1 1 (n ∈ N∗ ) converge. On note S = f(n) f(n) n=1

2) Montrer que :   n X  1 ∀n ∈ N∗ ,  S − f(k)  k=1

   1 6  (e − 1 )e n 

3) En d´eduire une fonction Scilab qui calcule une valeur approch´ee de S a` 10−4 pr`es.

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EXERCICE 5 - adapt´ e de EM Lyon 2016 (voie E) On consid` ere la fonction de la variable r´eelle f d´efinie sur R+ par ∀t ∈ R∗+ , f(t) = t2 − t ln(t) et f(0) = 0. 1 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un ). On consid`ere la suite (un )n∈N d´ efinie par u0 = 2 On admet que : 1 ∀n ∈ N, un ∈ ; 1 2 On admet de plus que (un )n∈N est croissante, est convergente de limite 1. ´ Ecrire un programme Scilab qui calcule et affiche un entier naturel N tel que 1 − uN < 10−4 .

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EXERCICE 6 - adapt´ e de EM Lyon 2017 (voie E) On consid`ere la fonction de la variable r´eelle f d´efinie sur R∗+ par ∀x ∈ R+∗ , f(x) = ex − e ln(x) On consid`ere la suite (un )n∈N d´ efinie par u0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un ) 1 On admet que ∀n ∈ N, un ∈ ; 1 , que (un )n∈N est croissante. 2 On admet que la suite (un )n∈N admet +∞ comme limite. ´ Ecrire un programme Scilab qui, e´tant donn´e un r´eel A, renvoie un entier naturel N tel que uN > A.

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EXERCICE 7 - adapt´ e de EM Lyon 2017 (voie E) On consid`ere une urne contenant initialement une boule bleur et deux boules rouges. On effectue, dans cette urne, des tirages successifs de la fa¸con suivante : on pioche une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne en a joutant une boule de la mˆeme couleur que celle qui vient d’ˆetre obtenue. Pour tout k ∈ N∗ on note : Bk : ≪ On obtient une boule bleue au k` eme tirage. ≫ Rk : ≪ On obtient une boule rouge au k` eme tirage. ≫

1) Recopier et compl´ eter la fonction suivante afin qu’elle simule l’exp´erience e´tudi´ ee et renvoie le nombre de boules rouges obtenues lors des n premiers tirages, l’entier n ´etant entr´e en argument. function s = EML(n) b = 1 // b d´ esigne le nombre de boules bleues pr´ esentes dans l’urne r = 2 // r d´ esigne le nombre de boules rouges pr´ esentes dans l’urne s = 0 // s d´ esigne le nombre de boules rouges obtenues lors des n tirages for k = 1:n x = rand() if ... then ... else ... end end endfunction 2) On ex´ecute le programme suivant : n = 10 m = 0 for i = 1:1000 m = m + EML(n) end disp(m/1000) endfunction On obtient : 6.657. Comment interpr´eter ce r´esultat ?

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EXERCICE 8 - adapt´ e de EM Lyon 2018 (voie E) On pose : u0 = 4

et

∀n ∈ N, un+1 = ln(un ) + 2

´ une fonction Scilab d’en-tˆ ete function u = suite(n) qui, prenant en argument un entier n 1) Ecrire de N, renvoie la valeur de un . 2) On admet que l’on dispose d’un r´ eel b v´erifiant : ∀n ∈ N, 0 6 un − b 6

1 2n−1

Recopier et compl´ eter la ligne 3 de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un r´eel epsilon strictement positif, elle renvoie une valeur approch´ee de b a` epsilon pr`es.

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EXERCICE 9 - adapt´ e de EM Lyon 2018 (voie E) Soit p un r´eel de ]0, 1[. Deux individus A et B s’affrontent dans un jeu de Pile ou Face dont les r`egles sont les suivantes : 2 • le joueur A dispose de la pi` ece amenant Pile avec la probabilit´e et lance cette pi` ece jusqu’`a 3 l’obtention du deuxi` eme Pile ; on note X la variable al´eatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus ; • le joueur B dispose d’une autre pi` ece amenant Pile avec la probabilit´e p et lance cette pi`ece jusqu’` a l’obtention d’un Pile ; on note Y la variable al´eatoire pr...