Cuaderno EDO - Ing. MARTHA XIMENA HIDALGO ZURITA PDF

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Ing. MARTHA XIMENA HIDALGO ZURITA...

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Aula: A-304 Nrc: 1733 Cuaderno Virtual

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

CONCEPTOS BÁ S ICOS (I PÁRCIÁL) Supongamos 𝑦 = 𝑒 𝑥 2 𝑦 ′ = 2𝑥𝑒 𝑥 𝑦 ′ = 2𝑥𝑦 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = 0 𝐸𝑐. 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 2

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑦 ′ = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦 ′′ = 2(𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) 𝑦 ′′ = 2𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 2𝑦 𝑦 ′′ + 2𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝐸𝑐. 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

Definición.

Una función que contiene o relaciona las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independe dientes se denomina ecuación diferencial (ED). Nota:

La forma de E.D. más sencilla que puede pensarse es: 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥)

ó

𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥)

Resolver la ecuación diferencial consiste en encontrar una primitiva cuya derivada sea f(x).

Clasificación de Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales pueden ser: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Si la función incógnita (y) es función de una sola variable independiente (x), es decir, si la E.D. relaciona una variable dependiente y sus derivadas con 1 sola variable independiente, recibe el nombre de Ecuación Diferencial Ordinaria. EJEMPLOS:

𝑦 ′ + 2𝑦 = tan(𝑥) ⇒ 𝑦 ′ (𝑥) + 2𝑦(𝑥) = tan(𝑥) 𝑦 ′′′ + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ = 0 (4) 𝑦 + 3𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 25𝑦 = 0

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (E.D.P.) Si la función incógnita es función de varias variables independientes se denomina Ecuación Diferencia en Derivadas Parciales. EJEMPLOS: 𝜕2𝑢

𝜕𝑥 2

+

𝜕2𝑢 𝜕𝑦 2

+

𝜕2𝑢 𝜕𝑧2

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) =?

=0

𝜕𝑣 𝜕𝑠

+

𝜕𝑣 𝜕𝑡

+

𝜕𝑢𝑣 𝜕𝑠𝜕𝑡

=0

De acuerdo a la derivada las ecuaciones diferenciales pueden ser:  

E.D.O. E.D.P.

De acuerdo a la linealidad las ecuaciones diferenciales pueden ser:  

Lineales No lineales

Lineales (E.D.O.L ó E.D.L) Definición. Una ecuación de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛)) = 0

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛−1) ) = 𝑦 (𝑛)

ó ó

𝑎𝑜 (𝑥)𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) es una E.D.L.

Diremos que la ec.dif. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0 es LINEAL, si F es una función lineal en las variables 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′, … , 𝑦 (𝑛) EJEMPLOS:

2𝑦 ′′ + 3𝑥𝑦 ′ + tan(𝑥) 𝑦 = 0 𝐸. 𝐷. 𝐿. (𝑦′′)2 + 3𝑥𝑦 ′ 𝑦 − tan(𝑥) 𝑦 2 = 0 𝐸. 𝐷. 𝑁. 𝐿 De acuerdo al orden de l a ec.dif. puede ser:

1er orden, la máxima derivada es la primera (y’) 2do orden (orden 2), la máxima derivada es la segunda (y’’) . . . Orden n, la máxima derivada es la n-ésima derivada (y(n)) Ejemplos:

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒𝑦 𝐸. 𝐷. 𝑁. 𝐿. 2𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 − 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥2 ′′′ 𝑥 ′′ 𝑦 + 𝑒 𝑦 −𝑦 =0 𝐸. 𝐷. 𝐿. 3𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 ′ 2 3 (𝑥) 𝑦𝑦=0 𝐸. 𝐷. 𝑁. 𝐿 3𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 , 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2 (𝑦′′′) + 2(𝑦′′) + 3 cos

EL grado de una E.D.O. es el grado algebraico de la derivada de más alto orden en la E.D. , es decir, es el exponente de la derivada de más alto orden. (𝑦′)4 + (𝑦′′)3 + 𝑦 ′ + 𝑦 5 = 𝑒 𝑥

𝐸. 𝐷. 𝑁. 𝐿 2𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Una ec.dif. de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0 donde 𝑦 = 𝜙(𝑥) es la función incógnita, se llama ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDNARIA de orden n.

Cualquier función 𝑦 = 𝜙(𝑥) que transforme la ec.dif en una identidad se llama SOLUCIÓN o integral de la E.D.O. y la gráfica de dicha función se llama CURVA INTEGRAL o FAMILIA DE CURVAS, o TAMBIÉN ARCO INTEGRAL.

𝑥+𝑦 =0 𝑆𝑖: 𝑥 = 1 𝑦 = −1 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑦′ − 𝑦 = 0 ;

𝑒 𝑥 − 𝑒𝑥 = 0 0 = 0 ∀𝑥 ∈ ℝ

𝑦 = 𝑒𝑥 𝑦′ = 𝑒 𝑥

𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 = 0 𝛼, 𝛽 𝜖 ℝ

𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑

Solución de una E.D.O. Definición.

Dada una E.D.O. de orden n, se entiende por Solución o Integral de la ecuación sobre intervalo 𝛼 < 𝑥 < 𝛽 , la función 𝜙(𝑥) tal que exista 𝜙 ′ (𝑥), 𝜙′′ (𝑥), … , 𝜙(𝑛) (𝑥) y satisfaga la ecuación 𝜙 (𝑛) (𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝜙, 𝜙 ′′, … , 𝜙 (𝑛−1) ) para cualquier 𝑥 𝜖 (𝛼, 𝛽) siempre vamos a suponer que f es una función de valores reales 𝑓: ℝ → ℝ EJEMPLOS: Verificar que la función 𝑦 = 𝜙(𝑥) es solución de la ecuación dada. 

𝑦 ′ = 3𝑥; 𝑦 = 2 𝑥 2 3 𝑠𝑖 ∶ 𝑦 = 𝑥 2 2 𝑦 ′ = 3𝑥

3

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑑𝑖𝑓 3𝑥 = 3𝑥 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑑𝑎𝑑





𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 ; 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑖: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 ′ = cos(𝑥) 𝑦 ′′ = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑑𝑖𝑓 −𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 0 = 0 ∀𝑥 ∈ ℝ

𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 0 ; 𝑦1 = 𝑒 −3𝑥 𝑦2 = 𝑒 𝑥

𝑆𝑖: 𝑦1 = 𝑒 −3𝑥 𝑦1′ = −3𝑒 −3𝑥 𝑦1′′ = 9𝑒 −3𝑥 𝑦1′′′ = −27𝑒 −3𝑥

𝑆𝑖: 𝑦2 = 𝑒 𝑥 𝑦2′ = 𝑦2′′ = 𝑦2′′′ = 𝑒 𝑥

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑑𝑖𝑓. 𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 − 3𝑒 𝑥 = 0

𝑒 𝑥 (1 + 2 − 3) = 0 ≠0 0 = 0 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦2 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ∀𝑥 ∈ ℝ //

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑑𝑖𝑓. −27𝑒 −3𝑥 + 2(−3𝑒 −3𝑥 ) − 3𝑒 −3𝑥 = 0 𝑒 −3𝑥(−27 − 6 − 3) = 0 𝑒 −3𝑥 ≠ 0 −36 ≠ 0

𝑒𝑥

𝑦1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

Determinar l0os valores de r para los cuales la siguiente ecuación diferencial tiene solución. 𝑠𝑜𝑙 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 𝑦 ′ + 2𝑦 = 0

𝑆𝑖: 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 𝑦 ′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑑𝑖𝑓. 𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 2𝑒 𝑟𝑥 = 0 𝑒 𝑟𝑥 (𝑟 + 2) = 0 𝑒 𝑟𝑥 ≠ 0 𝑟+2 =0 𝑟 = −2

Soluciones de las E.D.O. Dado una E.D.O. de n-ésimo orden

𝑆𝑖 𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 𝑠𝑜𝑙: 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 //

𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛−1) )

a) ¿Tiene solución? Problema de existencia de solución b) Si tiene solución, ¿es única? Condiciones iniciales (c.i.) para obtener solución particular Problema de UNICIDAD de soluciones (Problema de Cauchy) c) Como determinar esa solución que satisfaga las c.i. Métodos de Solución Tipos de Soluciones Si se tiene una ec.dif. y está comprobado la existencia de la solución, habrá que hallar todas las soluciones de dicha ecuación e investigar sus propiedades Ejemplo: Cada una de las siguientes funciones es solución de la ec.dif. 𝑦 ′ = cos (𝑥) Comprobación:

𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ;

𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦1′ = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 𝑑𝑖𝑓. cos(𝑥) = cos(𝑥) 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3

;

𝑦3 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) +

𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3 𝑦2′ = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 𝑑𝑖𝑓. cos(𝑥) = cos(𝑥) 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑

𝜋 4

𝜋 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 𝑦 𝑦33′ = 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 𝑑𝑖𝑓. cos(𝑥) = cos(𝑥) 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 En general: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐

donde: 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑐𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 → 𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

Ejemplo: La ecuación diferencial 𝑦 ′ = 𝑦 tiene como soluciones 8 𝑦 = 𝑒 𝑥 ; 𝑦 = 2𝑒 𝑥 ; 𝑦 = − 𝑒 𝑥 y en general 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥 ; 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎 3

𝑐. 𝑖. 𝑥 = 0 𝑦 = −2 𝑐 = −2

Una ecuación diferencial puede tener más de una solución, incluso infinidad de soluciones representadas en una sola fórmula que contiene una conste arbitraria (c); a ésta solución se le llama SOLUCIÓN GENERAL.

Si se asigna un valor definido a esa constante, la solución obtenida se llama SOLUCIÓN PARTICULAR. 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦 = −2𝑒 𝑥 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

Es costumbre llamar una SOLUCIÓN SINGULAR a cualquier solución de una E.D. que no pueda obtenerse de la solución general mediante la solución de una constante arbitraria. La solución singular es una solución no usual o solución extraña (aparece ocasionalmente en problemas de ecuaciones diferenciales lineales). EJEMPLO:

2

𝑦 ′ = 3𝑦 3 ;

𝑦(2) = 0 𝑐. 𝑖 𝑠𝑖 𝑥 = 2 , 𝑦 = 0 cuya solución es: 𝑦 = (𝑥 + 𝑐)3 𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 Reemplazando las c.i. en la Sol. General:

EJEMPLO:

0 = (2 + 𝑐 )3 𝑐 = −2 𝑦 = (𝑥 − 2)3 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

La ecuación : (𝑦′)2 = 𝑦 solución general: 𝑦 = ( Si hacemos c=0

𝑦= 4 𝑦=0

𝑥2

𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑆𝑜𝑙. 𝑆𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

𝑥+𝑐 2 2

)

Problemas de valor inicial y de frontera (contorno) Muy frecuentemente, especialmente en problemas de aplicación una ecuación diferencial, se resuelve sujeta a condiciones dadas, que la función incógnita (y) debe satisfacer. EJEMPLO:

𝒚′ = 𝟑𝒙 𝟑 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒄 𝑺𝒐𝒍. 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝟐

EJEMPLO:

𝒚′′ + 𝒚 = 𝟎 𝒄. 𝒊. ∶ 𝒙 = 𝝅

𝑦(𝜋) = 1 1 = 𝑠𝑒𝑛(𝜋) + 𝑐

𝑠𝑖: 𝑦 (0) = 2 → 𝑐. 𝑖. (𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 𝑃𝑉𝐼 ) 3 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜: 2 = (0) + 𝑐 2 𝑐=2

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒄 𝒚=𝟏

𝑐=1 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1

𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

Un problema de valor inicial (PVI) o Problema de Cauchy, es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función incógnita y a sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Es decir, las condiciones que debe verificar la solución buscada especifican para un valor único de la variable independiente, dichas condiciones reciben el nombre de CONDICIONES INICIALES y se dice que tenemos un problema de V.F. EJEMPLO:

𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚′′(𝟎) = 𝟏 ; 𝒚(𝟎) = −𝟏 𝒄. 𝒊. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:

1 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 2 1 5 3 𝑥 𝑦(𝑥) = − 𝑒 + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 2 2

𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 +

2

𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

Un problema de VALOR DE FRONTERA (o contorno) es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función incógnita especificada en 2 o más valores de la variable independiente. Es decir, las condiciones que debe verificar la solución buscada, se verifican o especifican para más de un valor de la variable independiente, dichas condiciones reciben el nombre de CONDICIONES DE FRONTERA, y se dice que tenemos un problema de contorno para la ecuación diferencial dada. EJEMPLO:

𝒚′′ + 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚′ (𝟎) = 𝝅 ; 𝒚(𝝅) = 𝟎 1 𝑦(𝑥) = [2𝜋 cos(𝑥) − 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4𝜋𝑠𝑒𝑚(𝑥) − 2𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)] 4 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑦 = 𝜙(𝑥) 𝑆𝑜𝑙. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐. Observación.

A menudo, cuando se resuelve una ecuación diferencial, la solución se determina mediante una relación de la forma 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 , estas soluciones se denominan SOLUCIONES IMPLÍCITAS, definen en forma implícita la solución explícita. Existen soluciones:

 Explícitas: 𝑦 = 𝜙(𝑥)  Implícitas: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0  Ec.Paramétricas: 𝑥 = 𝜙(𝑡) 𝑦 = 𝜙(𝑡)

Teoremas de existencia y unicidad Sirve para saber dónde se puede garantizar la existencia y unicidad (E.U.) delas soluciones, en lugar de confiar en el azar. Teorema.

Dada la ecuación diferencial 𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛−1) ) ó

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛)) tiene que ser real, finita y contínua en ℝ

𝜕 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛) ) 𝜕

i. ii.

es real, finita y contínua en ℝ

Entoncs existe una y sólo una solución 𝑦 = 𝜙(𝑥) en ℝ tal que 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 cuando 𝑥 = 𝑥0 , es decir satisfacen las c.i. Observación. Este teorema de las condiciones suficientes para la existencia y unicidad de una solución, es decir, si las condiciones se cumplen la existencia y unicidad está aseguradas. Ejemplos: Use el teorema de E-U. para determinar si existen soluciones únicas 𝒚′ = 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚

;

𝒚(𝟏) = 𝟒

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0 𝑦 ′ = 3(1) + 2(4) = 𝑘 𝟏

𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐸 − 𝑈

; 𝒚(𝟏) = 𝟎 √𝒙𝒚 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) ≈ √𝑥𝑦 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) ∃ 1 𝑦= = ∞ ∄ 𝑆𝑜𝑙 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 (1,0) √1(0)

𝒚=

Campo de direcciones Supongamos la ecuación diferencial 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) donde 𝑓(𝑥, 𝑦) satisface las condiciones del teorema de E-U en cada punto (𝑎, 𝑏) se puede construir una línea corta llamada un elemento de línea con pendiente 𝑓(𝑎, 𝑏), si se hace esto para un gran número de puntos, se obtiene una gráfica llamada el campo de direcciones de la ecuación diferencial. Los elementos de línea representan líneas tangentes a las curvas solución de esos puntos. EJEMPLO: 𝒚′ = − 𝒚 𝒙

𝑓(𝑥, 𝑦) = −

𝑥

𝑦

x

y

-4 -4 -4

-4 -3 -2

𝐸. 𝐷. 𝑂.

y’ =m -1 -4/3 -2 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Ecuación de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0

Si podemos (resolver) despejar en función de

𝑦 ′ ⇒ 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0

E.D.O. de primer orden pueden ser escritos en forma

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Cuya solución es una función 𝑦 = 𝜙(𝑥) que convierta a la ecuación en una identidad. E.D.O. Separables (Ecuación en variables separables)

Dada la ecuación 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) llamamos SEPARABLES si 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 )𝑑𝑦 = 0 se puede expresar como 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0 Es decir: M no depende de (x,y) sino sólo de x

N no depende de (x,y) sino sólo de y Entonces si tenemos la ecuación:

𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0

Integrando M(x) respecto a x y N (y) respecto a y:

Se obtiene:

∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 0

𝐻1 (𝑥) + 𝐻2 (𝑦) = 𝑐

𝑆𝑜𝑙. 𝐼𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎

Ecuación diferencial más sencilla Ecuación de la forma 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥) donde f no depende de y sino sólo de x 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Integrando

EJEMPLOS:

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐

𝒚′ = 𝐭𝐚𝐧(𝒙)

𝒚′ = 𝒆𝒙 𝒄. 𝒊. : 𝒚(𝟎) = 𝟐

= tan(𝑥) ∫ 𝑑𝑦 = ∫ tan(𝑥) 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑙𝑛|sec(𝑥)| + 𝑐

= 𝑒𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 2 = 𝑒0 + 𝑐 𝑐=1 𝑦 = 𝑒 𝑥 + 1 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑥

Ecuaciones de variables separables EJEMPLOS:

𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝒚′ =

𝑑𝑦 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑑𝑥 1 + 2𝑦 2 1 + 2𝑦 2 𝑑𝑦 = cos(𝑥) 𝑑𝑥 𝑦 1 ∫ ( + 2𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 𝑙𝑛|𝑦| + 𝑦 2 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 //

𝒚𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝟏 + 𝟐𝒚𝟐

(𝒙𝟐 − 𝒙)𝒚′ = 𝒚𝟐 + 𝒚

𝑑𝑦 = 𝑦2 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 2 2 𝑦 +𝑦 𝑥 −𝑥

(𝑥 2 − 𝑥)

1 𝑦(𝑦+1)

𝐵𝑥 ∫

𝑦=0 𝑦=1

𝑑𝑥 𝑑𝑦 =∫ 2 +𝑦 𝑥 −𝑥

𝑦2

+ 𝑦+1 1 = 𝐴(𝑦 + 1) + 𝐵𝑦 =

𝐴 𝑦

𝐵

1=𝐴 1 = −𝐵

1

𝑥(𝑥−1)

=

𝐴 𝑥

+

𝐵 𝑥−1

1 = 𝐴(𝑥 − 1) +

𝑥=0 𝑥=1

1 = −𝐴 1=𝐵

𝑑𝑦 𝑥−1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ∫ 𝑙𝑛|𝑦| − ∫ 𝑙𝑛|𝑦 + 1|==−−∫𝑙𝑛|𝑥|++∫𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝑙𝑛|𝑐| 𝑥 𝑦+1 𝑦 𝑦 𝑥 − 1 𝑐| 𝑙𝑛 | | = 𝑙𝑛 | 𝑥 𝑦 𝑦 +𝑥−1 1 = 𝑥 𝑐 // Sol General 𝑦+1 𝑑𝑦 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2(𝑦 − 1) 𝑑𝑥

𝒚′ =

𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐 𝟐(𝒚 − 𝟏)

𝒄. 𝒊. : 𝒚(𝟎) = −𝟏

∫ 2(𝑦 − 1)𝑑𝑦 = ∫(3𝑥 2 + 4𝑥 + 2)𝑑𝑥

2 ( 2 − 𝑦) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑐 // Sol. General 𝑦2

2(

(−1)2

2 𝑐=3

− (−1)) = 𝑐

𝑦 2 − 2𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 3 // Sol. Particular

(𝟒𝒚 + 𝒚𝒙𝟐 )𝒅𝒚 − 𝟐(𝒙 + 𝒙𝒚𝟐 )𝒅𝒙 = 𝟎

𝑑𝑦 (4𝑦 + 𝑦𝑥 2 ) − (2𝑥 + 2𝑥𝑦 2 ) = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2) = 𝑥(2 + 2𝑦 2 ) 𝑦(4 + 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 2 2+𝑦 4 + 𝑥2 1 1 1 𝑙𝑛|2 + 𝑦 2 | = 𝑙𝑛|4 + 𝑥 2 | + 𝑙𝑛|𝑐| 2 2 2 2 + 𝑦 2 = 𝑐(4 + 𝑥 2 ) // Sol General 𝒚′ =

𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑦 2 √1 + 𝑥2 𝑥 ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 √1 + 𝑥2 𝑦3 = √1 + 𝑥2 + 𝑐 // Sol. General 3

𝒙

𝒚𝟐 √𝟏 + 𝒙𝟐

( ÷ 𝑑𝑥)

E.D.O. que se reducen a variables separables En ciertas ocasiones se debe realizar un cambio de variable, par a lograr que la ecuación dada pueda ser de variables separables , son ecuaciones de la forma: 𝑦 ′ = 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐)

Para resolver este tipo de ecuaciones se debe hacer la sustitución 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 Derivando z respecto a x:

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑦 ′ :

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= [𝑑𝑥 − 𝑎] 𝑏 1 𝑑𝑧

EJEMPLOS:

𝑆𝑒𝑎 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑑𝑦 1 = 𝑧 ① 𝑑𝑥 ①=② 1 𝑑𝑧 −1 = 𝑧 𝑑𝑥 1 𝑑𝑧 1+ = 𝑧 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 1+𝑧 1+𝑧−1 ) = ∫ 𝑑𝑥 ∫( 1+𝑧 1 ) = ∫ 𝑑𝑥 ∫ (1 − 1+𝑧 𝑧 − 𝑙𝑛|1 + 𝑧| = 𝑥 + 𝑐

𝑦 ′ = 𝑓(𝑧)

②

𝑑𝑧 𝑑𝑥

①

= 𝑎+𝑏

𝑑𝑦 𝑑𝑥

①=② 1 𝑑𝑧 𝑓(𝑧) = [ − 𝑎] 𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑏𝑓(𝑧) + 𝑎 = 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝐸𝑐. 𝑉. 𝑆 𝑎 + 𝑏𝑓(𝑧) 𝒚′ =

𝟏 𝒙+𝒚+𝟏

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥

=1+

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 1 − 𝑙𝑛|𝑥 + 𝑦 + 1| = 𝑥 + 𝑐

=

𝑑𝑧 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

−1 ②

𝑦 + 1 − 𝑙𝑛|𝑥 + 𝑦 + 1| = 𝑐 // Sol. General

𝒚′ = (𝒙 + 𝒚)𝟐

𝑧= 𝑥+𝑦 𝑦′ = 𝑧2 ①

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 1 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦

①=② 𝑑𝑧 𝑧2 = −1 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑧2 + 1 = 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 2 𝑧 +1 arctan(𝑧) = 𝑥 + 𝑐 𝑧 = tan(𝑥 + 𝑐)

𝑑𝑥

=

𝑑𝑧 𝑑𝑥

−1 ②

𝑥 + 𝑦 = tan(𝑥 + 𝑐) // Sol. General

𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 + 2 𝑦′ = 𝑒 𝑧 ① ①=②

𝑒𝑧 = 2 −

2 − 𝑒𝑧 =

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑧 𝑑𝑥

𝒚′ = 𝒆𝟐𝒙−𝒚+𝟐

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑧

𝑑𝑥

= 2 − 𝑑𝑥

= 2 − 𝑑𝑥 ② 𝑑𝑧

𝑢 = 2 − 𝑒𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑥

∫ 2−𝑒 𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑧

−∫

𝑑𝑢

𝑢(2−𝑢) 𝐴

𝑑𝑦

= ∫ 𝑑𝑥

−

𝑑𝑢 = 𝑥 − ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 2−𝑢 𝑢 𝐵

1 1 𝑙𝑛|𝑢| − 𝑙𝑛|2 − 𝑢| 2 2

=𝑥+𝑐

1 1 𝑙𝑛|2 − 𝑒 𝑧 | − 𝑙𝑛|2 − 2 − 𝑒 𝑧 | = 𝑥 + 𝑐 2 2

𝑙𝑛 |

𝑒 2𝑥−𝑦+2

2−𝑒 2𝑥−𝑦+2

| = 𝑥 + 𝑐 // Sol.General

𝒚′ = √𝒙 + 𝒚

𝑑𝑢 2−𝑢

; 𝑒𝑧 = 2 − 𝑢

= 𝑑𝑧

1 𝑢(𝑢−2)

= 𝑢+ 𝐴

𝐵 𝑢−2

1 = 𝐴(𝑢 − 2) + 𝐵𝑢 𝐴=𝐵=

1

2

𝑧= 𝑥+𝑦 𝑦 ′ = √𝑧 ① ①=② 𝑑𝑧 −1 √𝑧 = 𝑑𝑥 𝑑𝑧 ∫ − 1+√𝑧 = ∫ 𝑑𝑥

2∫

∫

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 1 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 1 ② = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = √𝑧

𝑑𝑢

𝑢+1−1 1+𝑢

2𝑢 𝑑𝑢

1+𝑢

𝑢2 = 𝑧 2𝑢𝑑𝑢 = 𝑑𝑧

= ∫ 𝑑𝑥

𝑑𝑢 ]= 𝑥+𝑐 1+𝑢 2𝑢 − 2𝑙𝑛|𝑢 + 1| = 𝑥 + 𝑐 2√𝑧 − 2𝑙𝑛|√𝑧 + 1| = 𝑥 + 𝑐

2 ∫ 1+𝑢 = 𝑢𝑑𝑢

2 [∫ 𝑑𝑢 − ∫

2√𝑥 + 𝑦 − 2𝑙𝑛|√𝑥 + 𝑦 + 1| = 𝑥 + 𝑐

// Sol.General

Ecuaciones Homogéneas Existe una clase de E.D.O. de primer primero orden que no son de variables separables, pero que 𝑦 𝑥 mediante el cambio de variable 𝑢 = 𝑦 ó 𝑢 = 𝑥 , se transforman en ecuaciones separables, y estas son las llamadas ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Definición:

Dada una ecuación diferencial de la forma 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑓(𝑥, 𝑦) se dice que es una función homogénea de grado k si al sustituir 𝑥 por 𝜆𝑥 y 𝑦 por 𝜆𝑦, entonces 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = 𝜆𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦)

EJEMPLO:

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = (𝜆𝑥)3 + 3(𝜆𝑥)(𝜆𝑦) + (𝜆𝑦)3 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = 𝜆3 (𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 ) 𝑆𝑖 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = 𝜆3 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥 + 𝜆𝑦)

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒚)

Definición.

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑦 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) ≠ 𝜆𝑘 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) 𝑁𝑜 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎

Una E.D.O. de la forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 )𝑑𝑦 = 0 en la que los coeficientes 𝑀(𝑥, 𝑦 ) y 𝑁(𝑥, 𝑦 ) son funciones homogéneas del mismo grado, se denomina ECUACIÓN HOMOGÉNEA. Teorema.

Si una ecuación 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es homogénea entonces el cambio de variable 𝑢 = ó 𝑢=

𝑥

𝑦

𝑦 𝑥

transforma la ecuación dada en una ecuación de variables separables 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) si f no

depende por separado de x, de y , sino que depende del cociente hace sustitución

𝑢=

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 𝑦 ′ = 𝐹(𝑢) 𝐹(𝑢) = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 𝑢′ 𝑥 = 𝐹(𝑢) − 𝑢 𝑑𝑢 𝑥 = 𝐹(𝑢) − 𝑢 𝐸. 𝑉. 𝑆 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) − 𝑢 𝑥

𝑦 → 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑥

𝑦

𝑥

ó 𝑦 se dice 𝑦 ′ = 𝐹 ( 𝑥 ) se 𝑥

EJEMPLOS: (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚)𝒚′ = 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚

𝑑𝑦 = 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = (𝑦 2 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑀(𝑥, 𝑦 )

(𝑥 2 + 2𝑥𝑦)

𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = (𝜆𝑥)2 + 2(𝜆𝑥)(𝜆𝑦) = 𝜆2 (𝑥 2 + 2𝑥𝑦) = 𝜆2 𝑁(𝑥, 𝑦 ) 𝑁 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2

𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = (𝜆𝑦)2 − 2(𝜆𝑥)(𝜆𝑦) = 𝜆2 (𝑦 2 − 2𝑥𝑦) = 𝜆2 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑀 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2 ⇒ (𝑥 2 + 2𝑥𝑦)𝑦 ′ = 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 𝐸𝑐. 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎

𝑦

𝑦 2 − 2𝑥𝑦 𝑦) 𝑦′ = = 𝐹𝑥2( 𝑥 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 𝑥2 𝑥 22 ′ 2𝑥𝑦 𝑥 𝑦 = + 2 𝑥 𝑥2 𝑦 2 𝑦 ( ) − 2 (𝑥 ) 𝑦 𝑥 ′ ①𝑦 = =𝐹( ) 𝑦 ...